上海交通大學《矩陣分析》試卷(a)(2004

1、上海交通大學上海交通大學《矩陣分析矩陣分析》試卷試卷(A)(2004.01.09)一、單項選擇題一、單項選擇題(每題每題3分，共分，共15分)AAABC1.設(shè)F是數(shù)域，是數(shù)域，，則，則()mnHomFF??A.dim(Im)dim(ker)m????B.dim(Im)dim(ker)n????C.dim(Im)dim(ker)m??????D.dim(Im)dim(ker)n?????2.設(shè)M是n階實數(shù)矩陣，若階實數(shù)矩陣，若M的n個蓋爾

2、圓彼此分離，則個蓋爾圓彼此分離，則MA.可以對角化可以對角化B.不能對角化不能對角化C.冪收斂冪收斂D.冪發(fā)散冪發(fā)散3.設(shè)，則，則A=2222221212134400033ttttttAttttteeeteeeeeeee?????????????????A.B.C.D.214020031??????????114010061??????????224020031??????????204020061??????????4.設(shè)收斂，則收斂

3、，則A可以取為可以取為1()(1)kkkAfAk?????A.B.C.D.0091????????0091???????1011???????1021??????5.設(shè)3階矩陣階矩陣A滿足滿足且其最小多項式且其最小多項式m(x)242(4)(3)AEAEO???滿足條件滿足條件為某實數(shù)，則為某實數(shù)，則A可以相似于可以相似于2(1)(2)(3)1mmmaa??A.B.200130002M????????????200120922M????

4、????????C.D.200120022M???????????????200030013M????????????射為射為：，再將，再將線性拓展到整個線性拓展到整個?112230?????????上。則上。則是滿足題意的一個線性變換。是滿足題意的一個線性變換。3C?上述線性變換顯然不是唯一的（實際上有無窮多個）：比如，上述線性變換顯然不是唯一的（實際上有無窮多個）：比如，將上面的線性變換第一個基元素的像與第二個基元素的像對調(diào)，即將上

5、面的線性變換第一個基元素的像與第二個基元素的像對調(diào)，即可得一個新的滿足題意的線性變換。原因在于除去可得一個新的滿足題意的線性變換。原因在于除去k（k是任是任011??????????意復數(shù)）的像（＝意復數(shù)）的像（＝0）確定外，其與相鄰的像不是完全確定的。）確定外，其與相鄰的像不是完全確定的。12.復數(shù)域復數(shù)域C是實數(shù)域是實數(shù)域R上的上的2維線性空間維線性空間.試定義試定義C上的一個內(nèi)上的一個內(nèi)積使得使得1與成為成為C的一個標準正交基；并

6、求的一個標準正交基；并求的長度的長度.1i?1i?解對任意對任意xjyji?C，j=12有xjyji=(xjyj)1yj(1i)。為。為使1與成為成為C的一個標準正交基，必要且只要的一個標準正交基，必要且只要1i?=0，=1，=1必要且只要必要且只要=(x1y1)(x2y2)y1y2.上式定義了一個上式定義了一個C上的內(nèi)積：對稱性與正定性是顯然的；且由上的內(nèi)積：對稱性與正定性是顯然的；且由于該內(nèi)積還是于該內(nèi)積還是x1，x2，y1，y2的

7、二次型，故雙線性性質(zhì)也成立。的二次型，故雙線性性質(zhì)也成立。在上述內(nèi)積下，向量在上述內(nèi)積下，向量xyi的長度等于的長度等于[(xy)2y2]12因此因此1－i的長度為長度為512.13.設(shè)，試求矩陣，試求矩陣B使得使得。152010001A?????????????5BA?解A的特征值為－的特征值為－1，－，－1，1。屬于－。屬于－1的特征向量與廣義特的特征向量與廣義特征向量為征向量為，；屬于；屬于1的特征向量為的特征向量為。令。令100