第五章矩陣分析(改)

1、48第五章第五章矩陣分析矩陣分析本章將介紹矩陣微積分的一些內(nèi)容本章將介紹矩陣微積分的一些內(nèi)容.包括向量與矩陣序列的收斂性、矩陣包括向量與矩陣序列的收斂性、矩陣的三種導(dǎo)數(shù)和矩陣微分與積分的概念，簡(jiǎn)要介紹向量與矩陣范數(shù)的有關(guān)知識(shí)的三種導(dǎo)數(shù)和矩陣微分與積分的概念，簡(jiǎn)要介紹向量與矩陣范數(shù)的有關(guān)知識(shí).5.15.1向量與矩陣的范數(shù)向量與矩陣的范數(shù)從計(jì)算數(shù)學(xué)的角度看，在研究計(jì)算方法的收斂性和穩(wěn)定性問題時(shí)，范數(shù)從計(jì)算數(shù)學(xué)的角度看，在研究計(jì)算方法的收斂性

2、和穩(wěn)定性問題時(shí)，范數(shù)起到了十分重要的作用起到了十分重要的作用.一、向量的范數(shù)一、向量的范數(shù)定義定義1設(shè)是數(shù)域是數(shù)域上維（數(shù)組）向量全體的集合，維（數(shù)組）向量全體的集合，是定義在是定義在VFnx上的一個(gè)實(shí)值函數(shù)，如果該函數(shù)關(guān)系還滿足如下條件：上的一個(gè)實(shí)值函數(shù)，如果該函數(shù)關(guān)系還滿足如下條件：V1）非負(fù)性）非負(fù)性對(duì)中任何向量中任何向量，恒有，恒有，并且僅當(dāng)，并且僅當(dāng)時(shí)，才有時(shí)，才有Vx0x?0?x=0=0；x2）齊次性）齊次性對(duì)中任意向量中任

3、意向量及中任意常數(shù)中任意常數(shù)，有，有VxFkxkkx?3）三角不等式）三角不等式對(duì)任意對(duì)任意，有，有Vyx?，yxyx???則稱此函數(shù)則稱此函數(shù)（有時(shí)為強(qiáng)調(diào)函數(shù)關(guān)系而表示為（有時(shí)為強(qiáng)調(diào)函數(shù)關(guān)系而表示為）為上的一種向量范數(shù)上的一種向量范數(shù).x?V例1對(duì)中向量中向量，定義，定義nC??Tnxxxx21??＝，222212nxxxx?????Hxx則為上的一種向量范數(shù)上的一種向量范數(shù)[表示復(fù)數(shù)表示復(fù)數(shù)的模的模].].2xnCixix證首先，首

4、先，2nxC是上的實(shí)值函數(shù)，并且滿足1）非負(fù)性）非負(fù)性當(dāng)時(shí)，時(shí)，；當(dāng)；當(dāng)時(shí)，時(shí)，；0x?0x?0x?0x?503）三角不等式）三角不等式對(duì)任意向量對(duì)任意向量1212()()TTnnxxxxyyyy??????iiiiiiyxyxyx??????maxmaxiiiiyxmaxmax??=.???yx綜上可知綜上可知確為向量范數(shù)確為向量范數(shù).?x上兩例中的上兩例中的是常用的三種向量范數(shù)是常用的三種向量范數(shù).?xxx21一般地，對(duì)于任何不小于

5、一般地，對(duì)于任何不小于1的正數(shù)的正數(shù)，向量，向量的函數(shù)的函數(shù)p??Tnxxxx21??pnipipxx11?????????也構(gòu)成向量范數(shù)，稱為向量的也構(gòu)成向量范數(shù)，稱為向量的范數(shù)范數(shù).p?注（注（1）當(dāng)）當(dāng)時(shí)，時(shí)，1p?1pxx?（2）當(dāng)）當(dāng)時(shí)，時(shí)，為22范數(shù)，它是酉空間范數(shù)；當(dāng)范數(shù)，它是酉空間范數(shù)；當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)，為實(shí)數(shù)時(shí)，2p?2xix為歐氏空間范數(shù)；為歐氏空間范數(shù)；12221()niixx???由范數(shù)的存在，可知向量的范數(shù)有無窮多種

6、，而且，向量的范數(shù)并范數(shù)的存在，可知向量的范數(shù)有無窮多種，而且，向量的范數(shù)并p?不僅限于不僅限于范數(shù)范數(shù).在驗(yàn)證向量的范數(shù)定義中，三角不等式的過程中常涉及到在驗(yàn)證向量的范數(shù)定義中，三角不等式的過程中常涉及到p?兩個(gè)著名的不等式，即：兩個(gè)著名的不等式，即：1、HlderHlder不等式不等式設(shè)正實(shí)數(shù)設(shè)正實(shí)數(shù)滿足滿足則對(duì)任意的則對(duì)任意的有pq111pq??nxyC?11111()()nnnpqpqiiiiiiixyxy???????2、Mi