初中幾何三角形五心及定理性質(zhì)

1、第1頁共6頁初中幾何三角形五心定律及性質(zhì)初中幾何三角形五心定律及性質(zhì)三角形的重心，外心，垂心，內(nèi)心和旁心稱之為三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，內(nèi)心定理，旁心定理的總稱重心定理三角形的三條邊的中線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的重心。三中線交于一點(diǎn)可用燕尾定理證明，十分簡(jiǎn)單。（重心原是一個(gè)物理概念，對(duì)于等厚度的質(zhì)量均勻的三角形薄片，其重心恰為此三角形三條中線的交點(diǎn)，重心因而得名）重心的性質(zhì)：1、重心到頂點(diǎn)的距

2、離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2︰1。2、重心和三角形任意兩個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比。3、重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù)，即其重心坐標(biāo)為（（X1X2X3）3，（Y1Y2Y3）3）。5.以重心為起點(diǎn)，以三角形三頂點(diǎn)為終點(diǎn)的三條向量之和等于零向量。外心定理第3頁共6頁垂心的性質(zhì)：1、三角形三個(gè)頂點(diǎn)，三個(gè)垂足，垂心這7個(gè)點(diǎn)可以得到6個(gè)

3、四點(diǎn)圓。2、三角形外心O、重心G和垂心H三點(diǎn)共線，且OG︰GH=1︰2。（此直線稱為三角形的歐拉線（Eulerline））3、垂心到三角形一頂點(diǎn)距離為此三角形外心到此頂點(diǎn)對(duì)邊距離的2倍。4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。推論：1.若D、E、F分別是△ABC三邊的高的垂足，則∠1=∠2。（圖1）2.三角形的垂心是其垂足三角形的內(nèi)心。（圖1）3.若D、E、F分別是△ABC三邊的高的垂足，則∠1=∠2。（圖2）定理證明已知：ΔABC中，AD