初中幾何三角形五心及定理性質(zhì)

1、第1頁共6頁初中幾何三角形五心定律及性質(zhì)初中幾何三角形五心定律及性質(zhì)三角形的重心，外心，垂心，內(nèi)心和旁心稱之為三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，內(nèi)心定理，旁心定理的總稱重心定理三角形的三條邊的中線交于一點。該點叫做三角形的重心。三中線交于一點可用燕尾定理證明，十分簡單。（重心原是一個物理概念，對于等厚度的質(zhì)量均勻的三角形薄片，其重心恰為此三角形三條中線的交點，重心因而得名）重心的性質(zhì)：1、重心到頂點的距

2、離與重心到對邊中點的距離之比為2︰1。2、重心和三角形任意兩個頂點組成的3個三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比。3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。4、在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術(shù)平均數(shù)，即其重心坐標為（（X1X2X3）3，（Y1Y2Y3）3）。5.以重心為起點，以三角形三頂點為終點的三條向量之和等于零向量。外心定理第3頁共6頁垂心的性質(zhì)：1、三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6個

3、四點圓。2、三角形外心O、重心G和垂心H三點共線，且OG︰GH=1︰2。（此直線稱為三角形的歐拉線（Eulerline））3、垂心到三角形一頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離的2倍。4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。推論：1.若D、E、F分別是△ABC三邊的高的垂足，則∠1=∠2。（圖1）2.三角形的垂心是其垂足三角形的內(nèi)心。（圖1）3.若D、E、F分別是△ABC三邊的高的垂足，則∠1=∠2。（圖2）定理證明已知：ΔABC中，AD