§37 趨勢面分析方法

1、第六節(jié) 趨勢面分析方法,趨勢面分析的一般原理 趨勢面模型的適度檢驗 趨勢面分析應(yīng)用實例,一、趨勢面分析的一般原理,趨勢面分析，是利用數(shù)學(xué)曲面模擬地理系統(tǒng)要素在空間上的分布及變化趨勢的一種數(shù)學(xué)方法。 它實質(zhì)上是通過回歸分析原理，運用最小二乘法擬合一個二維非線性函數(shù)，模擬地理要素在空間上的分布規(guī)律，展示地理要素在地域空間上的變化趨勢。,趨勢面分析方法常常被用來模擬資源、環(huán)境、人口及經(jīng)濟(jì)要素在空間上的分布規(guī)律，它是在空間分析方面具

2、有重要的應(yīng)用價值。 趨勢面是一種抽象的數(shù)學(xué)曲面，它抽象并過濾掉了一些局域隨機因素的影響，使地理要素的空間分布規(guī)律明顯化。,通常把實際的地理曲面分解為趨勢面和剩余面兩部分，前者反映地理要素的宏觀分布規(guī)律，屬于確定性因素作用的結(jié)果；而后者則對應(yīng)于微觀局域，是隨機因素影響的結(jié)果。 趨勢面分析的一個基本要求，就是所選擇的趨勢面模型應(yīng)該是剩余值最小，而趨勢值最大，這樣擬合度精度才能達(dá)到足夠的準(zhǔn)確性?？臻g趨勢面分析，

3、正是從地理要素分布的實際數(shù)據(jù)中分解出趨勢值和剩余值，從而揭示地理要素空間分布的趨勢與規(guī)律。,（一）建立趨勢面模型,設(shè)某地理要素的實際觀測數(shù)據(jù)為 ， 趨勢值擬合值為 ，則有

4、 式中：εi即為剩余值（殘差值）。 顯然，當(dāng)（xi，yi）在空間上變動時，（3.6.1）式就刻畫了地理要素的實際分布曲面、趨勢面和剩余面之間的互動關(guān)系。,（3.6.1）,趨勢面分析的核心：從實際觀測值出發(fā)推算趨勢面，一般采用回歸分析方法，使得殘差平方和趨于最小，即：,,,,,這就是在最小二乘法意義下的趨勢曲面擬合。,用來計

5、算趨勢面的數(shù)學(xué)方程式有多項式函數(shù)和傅立葉級數(shù)，其中最為常用的是多項式函數(shù)形式。因為任何一個函數(shù)都可以在一個適當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)用多項式來逼近，而且調(diào)整多項式的次數(shù)，可使所求的回歸方程適合實際問題的需要。,多項式趨勢面的形式 ：① 一次趨勢面模型： ② 二次趨勢面模型： ③ 三次趨勢面模型：,,,,（3.6.2）,（3.6.3）,（3.6.4）,（二） 估計趨勢面模型的參數(shù),實質(zhì)：根據(jù)觀測值zi，xi，yi（i=1,2,…,n）確定多項

6、式的系數(shù)a0，a1，…，ap，使殘差平方和最小。 過程： ① 將多項式回歸（非線性模型）模型轉(zhuǎn)化為多元線性回歸模型。,,,令 則,②其殘差平方和為,（3.6.5）,③求Q對a0，a1，…，ap的偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于0，得正規(guī)方程組：(式中 為個p+1個未知量）,（3.6.6）,③用矩陣形式表示,,,,則（3.6.6）式變?yōu)?（3.6.7）,④ 對于二元二次多項式有

7、 其正規(guī)方程組為,,,,,,由式（3.6.7）求解，可得：,（3.6.8）,二、 趨勢面模型的適度檢驗,趨勢面擬合適度的R2檢驗趨勢面擬合適度的顯著性F檢驗趨勢面適度的逐次檢驗,趨勢面分析擬合程度與回歸模型的效果直接相關(guān)，因此，對趨勢面分析進(jìn)行適度性檢驗是一個關(guān)系到趨勢面能否在實際研究中加以應(yīng)用的關(guān)鍵問題，也是趨勢面分析中不可缺少的重要環(huán)節(jié)。 這可以通過以下檢驗來完成：,（一）趨勢面擬合適度的R2檢驗,趨勢面

8、與實際面的擬合度系數(shù)R2是測定回歸模型擬合優(yōu)度的重要指標(biāo)。一般用變量z的總離差平方和中回歸平方和所占的比重表示回歸模型的擬合優(yōu)度?？傠x差平方和等于回歸平方和與剩余平方和之和。即,越大（或 越?。┚捅硎疽蜃兞颗c自變量的關(guān)系越密切，回歸的規(guī)律性越強、效果越好。記 越大，趨勢面的擬合度就越高。,,,,,,,為剩余平方和，它表示隨機因素對的離差的影響， 為回歸平方和，它表示個自變量對因

9、變量的離差的總影響。,（3.6.9）,（二）趨勢面擬合適度的顯著性F檢驗,趨勢面適度的F檢驗，是對趨勢面回歸模型整體的顯著性檢驗。 方法：是利用變量z的總離差平方和中剩余平方和與回歸平方和的比值，確定變量z與自變量x、y之間的回歸關(guān)系是否顯著。即 結(jié)果分析：在顯著性水平α下，查F分布表得Fα，若計算的F值大于臨界值Fα，則認(rèn)為趨勢面方程顯著；反之則不顯著。,,（3.6.10）,（三）趨勢面適度的逐次檢驗,方法： (1)求出較

10、高次多項式方程的回歸平方和與較低次多項式方程的回歸平方和之差， (2)將此差除以回歸平方和的自由度之差，得出由于多項式次數(shù)增高所產(chǎn)生的回歸均方差， (3)將此均方差除以較高次多項式的剩余均方差，得出相繼兩個階次趨勢面模型的適度性比較檢驗值F。 若所得的F值是顯著的，則較高次多項式對回歸作出了新貢獻(xiàn)，若F值不顯著，則較高次多項式對于回歸并無新貢獻(xiàn)。相應(yīng)的方差分析表見表3.6.1。,表3.6.1 多項式趨勢面由K次增高

11、至（K+1）次 的回歸顯著性檢驗,,,,需要注意的是，在實際應(yīng)用中，往往用次數(shù)低的趨勢面逼近變化比較小的地理要素數(shù)據(jù)，用次數(shù)高的趨勢面逼近起伏變化比較復(fù)雜的地理要素數(shù)據(jù)。次數(shù)低的趨勢面使用起來比較方便，但具體到某點擬合較差；次數(shù)較高的趨勢面只在觀測點附近效果較好，而在外推和內(nèi)插時則效果較差。,三、趨勢面分析應(yīng)用實例,某流域1月份降水量與各觀測點的坐標(biāo)位置數(shù)據(jù)如表3.6.2所示。下面，我們以降水量為因變量z，地理

12、位置的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別為自變量x、y，進(jìn)行趨勢面分析，并對趨勢面方程并進(jìn)行適度F檢驗。,表3.6.2 流域降水量及觀測點的地理位置數(shù)據(jù),建立趨勢面模型 ① 首先采用二次多項式進(jìn)行趨勢面擬合，用最小二乘法求得擬合方程為,,,,,,解題步驟：,,圖3.6.1 某流域降水量的二次多項式趨勢面,② 再采用三次趨勢面進(jìn)行擬合，用最小二乘法求得擬合方程為,,,圖3.6.2 某流域降水量的三次多項式趨勢面,① 趨勢面擬合適度的R2檢驗

13、 根據(jù)R2-檢驗方法計算，結(jié)果表明，二次趨勢面的判定系數(shù)為R22=0.839，三次趨勢面的判定系數(shù)為R32=0.965，可見二次趨勢面回歸模型和三次趨勢面回歸模型的顯著性都較高，而且三次趨勢面較二次趨勢面具有更高的擬合程度。,模型檢驗,② 趨勢面適度的顯著性F檢驗 根據(jù)F檢驗方法計算，結(jié)果表明，二次趨勢面和三次趨勢面的F值分別為F2=6.236和F3=6.054。在置信水平α=0.05下，查F分布表得F2α=

14、 ，F(xiàn)3α= 。顯然， ，而 ，故二次趨勢面的回歸方程顯著而三次趨勢面不顯著。因此，F(xiàn)檢驗的結(jié)果表明，用二次趨勢面進(jìn)行擬合比較合理。,趨勢面比較：在二次和三次趨勢面檢驗中，對兩個階次趨勢面模型的適度進(jìn)行比較，相應(yīng)的方差分析計算結(jié)果見表3.6.3。,③ 趨勢面適度的逐次檢驗,表3.6.3 二次