3-3 周期信號的頻域分析傅里葉級數(shù)

1、§ 3-3 周期信號的頻域分析─傅里葉級數(shù),1.周期信號的傅里葉級數(shù)分析根據(jù)傅里葉級數(shù)理論，任何滿足滿足狄里克雷(Dirichlet)條件的周期連續(xù)信號 都可表示為無限多個、頻率為基頻倍數(shù)的復正弦信號的加權和，若 其中， 為任何整數(shù)， 為周期， 為基頻， 為相應的角頻率，則,,,,,,,信號與系統(tǒng),周期信號的傅里葉級數(shù)分析（1,3,5,7,9,39）,,,,

2、信號與系統(tǒng),,信號與系統(tǒng),,信號與系統(tǒng),,信號與系統(tǒng),,信號與系統(tǒng),§ 3-3 周期信號的頻域分析─傅里葉級數(shù),1.周期信號的傅里葉級數(shù)分析用FS分析是對周期信號進行諧波分解，即用諧波加權和來合成信號，因此，F(xiàn)S分析又稱為諧波分析。 FS分析是一個正交級數(shù)展開分析。,信號與系統(tǒng),§ 3-3 周期信號的頻域分析─傅里葉級數(shù),2.周期信號傅里葉變換的物理意義－離散譜（1）采樣序列

3、的FS和FT,,,信號與系統(tǒng),（1）采樣序列的FS和FT,,信號與系統(tǒng),§ 3-3 周期信號的頻域分析─傅里葉級數(shù),2.周期信號傅里葉變換的物理意義－離散譜（2）周期信號的FT－離散譜,,,信號與系統(tǒng),§ 3-3 周期信號的頻域分析─傅里葉級數(shù),2.周期信號傅里葉變換的物理意義－離散譜（2）周期信號的FT－離散譜周期信號的頻譜是離散的，并且在 的譜線強度為 給出

4、了利用FT計算FS系數(shù)的方法,,,,,信號與系統(tǒng),§ 3-3 周期信號的頻域分析─傅里葉級數(shù),2.周期信號傅里葉變換的物理意義－離散譜（2）周期信號的FT－離散譜對實周期信號有 ，于是有正余弦分量形式的FS展開式,,,,,信號與系統(tǒng),完備的正交函數(shù)集,是一個完備的正交函數(shù)集,,,,,,,信號與系統(tǒng),傅里葉級數(shù),周期信號 ，周期為T1，基波角頻率為： ，若滿足狄里赫利條件，則可以展

5、開為三角形式的FS,信號與系統(tǒng),傅里葉級數(shù)：余弦或正弦形式,,信號與系統(tǒng),幅度譜和相位譜,周期信號頻譜：離散性、諧波性、收斂性,信號與系統(tǒng),例：畫出頻譜圖,步驟：1) 求?02) 將x(t)表示為實形式的三角級數(shù)3) c0,cn,?n畫圖4) 求|F0 |, |Fn |, ?Fn ，并畫圖,§ 3-3 周期信號的頻域分析─傅里葉級數(shù),2.周期信號傅里葉變換的物理意義－離散譜（2）周期信號的FT－離散譜兩種展開形式

6、的系數(shù)之間的關系是通過諧波分析，周期信號可表示為無限多個、頻率為基頻倍數(shù)、幅度為 、相位為 的余弦信號之和。,,,,,,信號與系統(tǒng),§ 3-3 周期信號的頻域分析─傅里葉級數(shù),3.典型周期信號的FS分析（1）周期信號的FS分析步驟步1. 截取與周期信號 相應的非周期信號 ，并計算其FT表示式 ；步2. 計算周期信號 的 后，得其指數(shù)形式的FS展開式，并計算其離散譜，畫出其離

7、散幅度譜和離散相位譜；步3. 計算周期信號 的諧波形式或正余弦形式的FS展開式。,,,,,,,,,信號與系統(tǒng),§ 3-3 周期信號的頻域分析─傅里葉級數(shù),3.典型周期信號的FS分析（2）典型周期信號的FS分析例3-17：周期矩形脈沖信號以幅度為E的窗函數(shù) 為基周期、占空比 的周期矩形脈沖信號,,,,,,,,,,,,,信號與系統(tǒng),周期矩形脈沖信號的FS和FT,,信號與系統(tǒng),§ 3-3 周

8、期信號的頻域分析─傅里葉級數(shù),3.典型周期信號的FS分析（2）典型周期信號的FS分析例3-17：周期矩形脈沖信號特殊的，當占空比 時， 為方波信號方波信號只有直流分量和奇次余弦分量，并且諧波幅度呈倒數(shù)衰減規(guī)律,,,,,,,,,,,,,信號與系統(tǒng),},隨諧波數(shù)的增加，誤差逐步減小,§ 3-3 周期信號的頻域分析─傅里葉級數(shù),3.典型周期信號的FS分析（2）典型周期信號的FS分析例3-18：三角脈

9、沖信號以三角窗函數(shù) 為基周期的周期三角脈沖信號,,,,,,,,,,,,,,信號與系統(tǒng),例3-18：三角脈沖信號,三角脈沖信號只有直流分量和奇次余弦分量諧波幅度呈平方倒數(shù)衰減規(guī)律，即比方波的衰減規(guī)律要快,信號與系統(tǒng),§ 3-3 周期信號的頻域分析─傅里葉級數(shù),3.典型周期信號的FS分析（2）典型周期信號的FS分析例3-19：鋸齒脈沖信號以鋸齒波窗函數(shù) 為基周期的周期鋸齒脈沖信號,,,,,,,,,,,,

10、,,信號與系統(tǒng),例3-19：鋸齒脈沖信號,鋸齒脈沖信號只有正弦分量諧波幅度呈倒數(shù)衰減規(guī)律，與方波的衰減規(guī)律相同,,信號與系統(tǒng),§ 3-3 周期信號的頻域分析─傅里葉級數(shù),3.典型周期信號的FS分析（2）典型周期信號的FS分析例3-20：半波余弦脈沖信號以半波余弦窗函數(shù) 為基周期的周期半波余弦脈沖信號,,,,,,,,,,,,,,信號與系統(tǒng),例3-20：半波余弦脈沖信號,半波余弦脈沖信號只有直流分量、

11、基波余弦分量和偶次余弦分量諧波幅度呈倒數(shù)平方衰減規(guī)律,,信號與系統(tǒng),§ 3-3 周期信號的頻域分析─傅里葉級數(shù),3.典型周期信號的FS分析（2）典型周期信號的FS分析例3-21：全波余弦脈沖信號以全波余弦窗函數(shù) 為基周期的周期全波余弦脈沖信號,,,,,,,,,,,,,,信號與系統(tǒng),例3-21：全波余弦脈沖信號,全波余弦脈沖信號只有直流分量和偶次余弦分量，這些分量的幅度都是半波的兩倍，并且半波中存在

12、的基波分量已不復存在。這是因為全波信號的實際周期已減為半波的一半。,,信號與系統(tǒng),§ 3-3 周期信號的頻域分析─傅里葉級數(shù),3.典型周期信號的FS分析（2）典型周期信號的FS分析例3-22：導通角 的余弦脈沖波 幅度為E、導通角為 的余弦窗函數(shù)是： 其中， ，即 以它為基周期的周期脈沖波是高頻丙類功率放大電路中使用的輸出電流波形,,,,

13、,,,,,,,,,,,,,,信號與系統(tǒng),例3-22：導通角2θ余弦脈沖波,,信號與系統(tǒng),§ 3-3 周期信號的頻域分析─傅里葉級數(shù),4.對稱性與FS系數(shù)的關系當實信號 滿足某對稱性時，其FS展開式中的有些項就不會出現(xiàn)，致使展開式相對簡單。信號對稱性分為對整周期而言的偶函數(shù)和奇函數(shù)，以及對半周期而言的奇諧函數(shù)和偶諧函數(shù)。,,,,,,,,,,,,信號與系統(tǒng),§ 3-3 周期信號的頻域分析─傅里葉級數(shù),4.對

14、稱性與FS系數(shù)的關系當周期信號 為實偶函數(shù)時，其頻譜為實偶函數(shù)，因此 ，使得 ，因此FS展開式中無正弦項。這是很容易理解的，因為實偶信號中不可能含有具有奇對稱性的正弦分量。,,,,,,,,,,,,信號與系統(tǒng),§ 3-3 周期信號的頻域分析─傅里葉級數(shù),4.對稱性與FS系數(shù)的關系周期信號 為實奇函數(shù)時，其頻譜為虛奇函數(shù)，因此 ，使得 ，因此FS展開式中無

15、直流項，也無余弦項。因為實奇信號中不可能含有具有偶對稱性的直流和余弦分量。,,,,,,,,,,,,,信號與系統(tǒng),§ 3-3 周期信號的頻域分析─傅里葉級數(shù),4.對稱性與FS系數(shù)的關系例如，周期矩形波、周期三角脈沖信號、半波余弦脈沖信號、全波余弦脈沖信號和導通角為 的余弦脈沖波都是偶對稱，它們都只含有直流分量和余弦分量，而鋸齒脈沖信號奇對稱，它只含有正弦分量。,,,,,,,,,,,,,信號與系統(tǒng),§ 3-3

16、 周期信號的頻域分析─傅里葉級數(shù),4.對稱性與FS系數(shù)的關系周期信號 滿足 時， 使得 ，這樣 ，從而有 ，這意味著，周期信號 無直流分量和偶次諧波分量，僅含有奇次諧波分量。因此，把它稱為奇諧信號。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,信號與系統(tǒng),§ 3-3 周期信號的頻域分析─傅里葉級數(shù),4.對稱性與FS系

17、數(shù)的關系周期信號 滿足 時， 使得 ，這樣 ，從而有 ，這意味著，周期信號 無奇次諧波分量，僅含有偶次諧波分量。因此，我們把它稱為偶諧信號。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,信號與系統(tǒng),§ 3-3 周期信號的頻域分析─傅里葉級數(shù),4.對稱性與FS系數(shù)的關系需要指出的是，實際上，具有偶諧特性的信號周期已經(jīng)