發(fā)散級(jí)數(shù)和正交級(jí)數(shù)的探討

1、高等數(shù)學(xué)小論文發(fā)散級(jí)數(shù)和正交級(jí)數(shù)的探討June26200814發(fā)散級(jí)數(shù)和正交級(jí)數(shù)的探討發(fā)散級(jí)數(shù)和正交級(jí)數(shù)的探討劉海偉PB07210219信息學(xué)院0702班在初步學(xué)習(xí)完級(jí)數(shù)這章后，深深被里面所體現(xiàn)的深刻的數(shù)學(xué)思想所吸引，也很好的體現(xiàn)出哲學(xué)方法論。比如始終貫穿科學(xué)研究的方法，化未知的為以已知，用已知去估計(jì)未知。即使一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的函數(shù)都可以通過(guò)三角或者冪級(jí)數(shù)等等簡(jiǎn)單函數(shù)的和形式來(lái)表達(dá)，真的是很精彩。但是總感覺(jué)這里還有很多的東西書(shū)上未做出合適的

2、解釋或者分析，不痛不癢，吊足了胃口。鑒于本人目前的知識(shí)水平，文章中有很多尚未解決的問(wèn)題，還望老師和親愛(ài)的同學(xué)們能夠給以指導(dǎo)。正交級(jí)數(shù)正交級(jí)數(shù)導(dǎo)入：高等數(shù)學(xué)導(dǎo)論第462頁(yè)，定義2：若對(duì)于在區(qū)間[ab]上可積且平方可積的任意函數(shù)f(x)貝塞爾不等式成為等式∞∑k=1|ak|2=∫ba|f(x)|2dx就稱(chēng)函數(shù)系是完備的標(biāo)準(zhǔn)正交系，等式即為廣義的巴賽瓦爾等式，這樣，只有φn(x)是完備正交系時(shí)，才能得出平方收斂于f(x)，因?yàn)檫@時(shí)有φn(x)

3、Sn(x)limn→∞∫ba|Sn(x)?f(x)|2dx=0即函數(shù)f(x)可以表示成函數(shù)系的線性組合φn(x)f(x)=∞∑n=1anφn(x)其中an=∫baf(x)φn(x)dx這里，教材引入了一個(gè)新的定義，函數(shù)空間:區(qū)間[ab]上可積且平方可積的復(fù)值函數(shù)的全L2體。并且定義了空間的內(nèi)積和模.如同n維Euclid空間一樣，函數(shù)空間的完備標(biāo)準(zhǔn)系就是這個(gè)空間的標(biāo)準(zhǔn)基，L2φn(x)就是系數(shù)。稱(chēng)廣義的巴賽瓦爾等式就是函數(shù)空間的勾股定理。

4、an(x)仔細(xì)分析這里的定義，不難發(fā)現(xiàn)，這里的定義其實(shí)我們都見(jiàn)過(guò)，并不新。見(jiàn)高等數(shù)學(xué)導(dǎo)論的第12頁(yè)，有n維歐氏空間的相關(guān)定義。將直角坐標(biāo)系的中的點(diǎn)距離公式和向?3量的模的公式推廣到中，?n設(shè)，為中任意兩個(gè)元素，x=(ξ1ξ2ξ3ξn)y=(η1η2η3ηn)?n稱(chēng)為x和y的距離，ρ(xy)=n∑i=1(ξi?ηi)2稱(chēng)為x的模，|x|=n∑i=1ξi2高等數(shù)學(xué)小論文發(fā)散級(jí)數(shù)和正交級(jí)數(shù)的探討June26200834()≤(∫E|f?g|2

5、dx)12(∫E|f?g|2dx)12=ρ(fh)ρ(gh)其中（）式還是不知道如何過(guò)渡。權(quán)且放在這里，待以后解決。另，這里是兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系，姑且記為2維，猜想應(yīng)該也是可以推導(dǎo)出n維的函數(shù)空間的，正如歐氏空間一樣，只要符合前面所說(shuō)的3條性質(zhì)就可以了。發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)教材在一引入級(jí)數(shù)這個(gè)概念之后，很快的就將我們的注意力引到了收斂級(jí)數(shù)上，似乎級(jí)數(shù)一旦發(fā)散就是毫無(wú)用處的。事實(shí)上，真的是這樣嗎？看如下級(jí)數(shù)∞∑n=0anxn大家都知道這里取=1，

6、x=1會(huì)得出結(jié)論anlimx→1?(1?xx2?x3)=12.=limx→1?(1x)?1這個(gè)結(jié)論是相當(dāng)有趣的，右端的級(jí)數(shù)是發(fā)散的，但是求和也得出一個(gè)結(jié)果，盡管我們這個(gè)是不正確的，但是這個(gè)究竟是什么。查閱了相關(guān)書(shū)籍，才知道在Cauchy之前的數(shù)學(xué)家在分析級(jí)數(shù)時(shí)是不分發(fā)散或是收斂的。Abel定義有收斂半徑rf(x)=∞∑n=0anxn且x=r時(shí)收斂則有l(wèi)imx→1?f(x)=∞∑n=0anxn但若不收斂而在r=1時(shí)存在，就是發(fā)散級(jí)數(shù)和的定

7、義?！蕖苙=0anlimx→r?f(x)這個(gè)定義就是將發(fā)散級(jí)數(shù)和收斂級(jí)數(shù)的定義統(tǒng)一了，特別的彰顯了數(shù)學(xué)的大統(tǒng)一的美學(xué)觀。在熱學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，遇到一系列的積分。如等，熱學(xué)教材上稱(chēng)該式為2π∫ξ0e?ξ2dξ誤差函數(shù)，并且制成了誤差函數(shù)表了。顯然這個(gè)函數(shù)是不能被分解為收斂函數(shù)的，但是距具體計(jì)算而已，我們不妨仍然將其展開(kāi)。只是做下適當(dāng)?shù)淖冃?，利用分部積分就可以得到，∫∞te?ξ2dξ=e?t22t(1?12t21?3(2t2)2?1?3?5(