待定系數(shù)法求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式

1、最全的待定系數(shù)法求遞推數(shù)列通項(xiàng)第1頁共12頁用待定系數(shù)法求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式初探用待定系數(shù)法求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式初探摘要:本文通過用待定系數(shù)法分析求解9個(gè)遞推數(shù)列的例題，得出適用待定系數(shù)法求其通項(xiàng)公式的七種類型的遞推數(shù)列，用于解決像觀察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂項(xiàng)相消法和公式法等不能解決的數(shù)列的通項(xiàng)問題。關(guān)鍵詞:變形對(duì)應(yīng)系數(shù)待定遞推數(shù)列數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中占有重要的地位，推導(dǎo)通項(xiàng)公式是學(xué)習(xí)數(shù)列必由之路，特別是根據(jù)遞推公式推導(dǎo)出通項(xiàng)公式，對(duì)教

2、師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)來說都是一大難點(diǎn)，遞推公式千奇百怪，推導(dǎo)方法卻各不相同，靈活多變。對(duì)學(xué)生的觀察、分析能力要求較高，解題的關(guān)鍵在于如何變形。常見的方法有觀察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂項(xiàng)相消法和公式法。但是對(duì)比較復(fù)雜的遞推公式，用上述方法難以完成，用待定系數(shù)法將遞推公式進(jìn)行變形，變成新的數(shù)列等差數(shù)列或等比數(shù)列。下面就分類型談?wù)勅绾卫么ㄏ禂?shù)法求解幾類數(shù)列的遞推公式。一、型（為常數(shù)，且）1nnapaq???pq、01pqp??例題例

3、題1.1.在數(shù)列中，試求其通項(xiàng)公式。??na11a?121nnaa???分析：分析：顯然，這不是等差或等比數(shù)列，但如果在的兩邊同時(shí)加上1，整理121nnaa???為，此時(shí)，把和看作一個(gè)整體，或者換元，令112(1)nnaa????11na??1na?，那么，即，，因此，數(shù)列或111nnba????1nnba??12nnbb??1112ba?????1na???nb就是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，或者，進(jìn)一步求出。12nna??2n

4、nb?21nna??啟示：啟示：在這個(gè)問題中，容易看出在左右兩邊加上1就構(gòu)成了新的等比數(shù)列，那??1na?不易看出在左右兩邊該加幾后構(gòu)成新的等比數(shù)列時(shí)，該怎么辦呢？其實(shí)，已知，可變形為的形式，然后展開括號(hào)、移121nnaa???12()nnaa??????最全的待定系數(shù)法求遞推數(shù)列通項(xiàng)第3頁共12頁開、移項(xiàng)、整理，比較對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，列出方程(1)(1)pxqpyxr????????解得211(1)1qxpxrqryppp????????

5、????????即122(1)1(1)11(1)1nnqqrqqranpanpppppp?????????????????????則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以p為公比21(1)1nqqranppp????????????121(1)1qqrappp??????的等比數(shù)列。于是就可以進(jìn)一步求出的通項(xiàng)。??na同理，若其中是關(guān)于n的多項(xiàng)式時(shí)，也可以構(gòu)造新的等比數(shù)()1apafnnn???()fn列，利用待定系數(shù)法求出其通項(xiàng)。比如當(dāng)=時(shí)，可設(shè)2()f

6、nqnrns???221(1)(1)()nnaxnynzpaxnynz??????????展開根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)分別相等求解方程即可。為n的三次、四次、五次等多項(xiàng)式時(shí)也能用同樣的思路和方法進(jìn)行求解。()fn而如果當(dāng)是n的指數(shù)式，即時(shí)，遞推公式又將如何變形呢？()fn()nfnqr??三(011)1naparqspqrpqpqnn????????型且例題例題3.3.在數(shù)列中，試求其通項(xiàng)。??na11a?132nnnaa???na分析分析1：由于