幾種遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

1、幾種遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法幾種遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法1幾種遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法遞推數(shù)列常常是高考命題的熱點(diǎn)之一.所謂遞推數(shù)列是指由遞推公式所確定的數(shù)列.由相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系給出的遞推公式稱(chēng)為一階遞推公式，由相鄰三項(xiàng)的關(guān)系給出的遞推公式稱(chēng)為二階遞推公式，依次類(lèi)推.等差數(shù)列和等比數(shù)列是最基本的遞推數(shù)列.遞推數(shù)列基本問(wèn)題之一是由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式.下面是常見(jiàn)的遞推數(shù)列及其通項(xiàng)公式的求法1一階線性遞推數(shù)列求通項(xiàng)問(wèn)題一階線性遞推數(shù)列主要有如下幾種形

2、式：（1）1()nnxxfn???這類(lèi)遞推數(shù)列可通過(guò)累加法而求得其通項(xiàng)公式(數(shù)列f(n)可求前n項(xiàng)和).當(dāng)為常數(shù)時(shí)，通過(guò)累加法可求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式而當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，則()fn()fn為二階等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式應(yīng)當(dāng)為形式，注意與等差數(shù)列求和公式一般形1()nnxxfn???2nxanbnc???式的區(qū)別，后者是，其常數(shù)項(xiàng)一定為０2nSanbn??（2）1()nnxgnx??這類(lèi)遞推數(shù)列可通過(guò)累乘法而求得其通項(xiàng)公式(數(shù)列g(shù)(n)可求前n

3、項(xiàng)積).當(dāng)為常數(shù)時(shí)，用累乘法可求得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式()gn（3）；1(01)nnx=qxdqdqq??為常數(shù)這類(lèi)數(shù)列通?？赊D(zhuǎn)化為，或消去常數(shù)轉(zhuǎn)化為二階遞推式.1()nnxpqxp????211()nnnnxxqxx??????［例１］已知數(shù)列中，求的通項(xiàng)公式nx｛｝11121(2)nnxxxn?????，nx｛｝［解析］解法一轉(zhuǎn)化為型遞推數(shù)列1()nnxpqxp????∵∴又，故數(shù)列｛｝是首項(xiàng)為２，公比為121(2)nnxxn????

4、，112(1)(2)nnxxn?????，112x??1nx?２的等比數(shù)列∴，即12nnx??21nnx??解法二轉(zhuǎn)化為型遞推數(shù)列211()nnnnxxqxx??????∵=2xn11(n≥2)①∴=2xn1②nx1nx?②－①，得(n≥2)，故｛｝是首項(xiàng)為x2x1=2，公比為２的等比數(shù)列，112()nnnnxxxx?????1nnxx??即，再用累加法得11222nnnnxx?????A21nnx??解法三用迭代法當(dāng)然此題也可2123

5、1221212(21)12212222121nnnnnnnnxxxxx???????????????????????用歸納猜想法求之，但要用數(shù)學(xué)歸納法證明幾種遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法幾種遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法3這類(lèi)數(shù)列可取對(duì)數(shù)得，從而轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列型遞推數(shù)列.1lglglgnnxxc???2可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列或一些特殊數(shù)列的二階遞推數(shù)列［例５］設(shè)數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式12215521()333nnnnxxxxxxnN???????.｛｝

6、滿足：，，nx｛｝［解析］由可得2152()33nnnxxxnN?????，2111222()()333nnnnnnxxxxxxnN?????????.－設(shè)11212521333nnnnyxxyyxx????????，則｛｝是公比為的等比數(shù)列，且，故即用累加法得2()3nynN??n（）12(2)3nnxxn????n1（）或12111221222()()()()()333nnnnnnnxxxxxxxx?????????????????

7、??，11221112()()()222()()1333nnnnnnnxxxxxxxx????????????????????21()233[1()]2313nn?????).［例６］在數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式12211()nnnnxxxxxxnN???????｛｝中，已知，，nx｛｝［解析］可用換元法將其轉(zhuǎn)化為一階線性遞推數(shù)列令使數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列(待定)11nnnyxax???，ny｛｝2a1aa２即∴對(duì)照已給遞推式，有21121

8、1()nnnnxaxaxax??????，212112()nnnxaaxaax?????即的兩個(gè)實(shí)根121211aaaa????，，21210aaxx???、是方程從而1212151515152222aaaa???????－，；或，∴①211151515(222nnnnxxxx?????????)或②211151515(222nnnnxxxx?????????)由式①得；由式②得11515()22nnnxx?????11515()22n