二階線(xiàn)性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法(1)

1、二階線(xiàn)性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法課程背景：二階線(xiàn)性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法是高考中數(shù)列的一個(gè)高頻考點(diǎn)，由于其遞推數(shù)列的特殊性和復(fù)雜性，很多學(xué)生感到無(wú)從下手，是學(xué)生高考中較大的一個(gè)失分點(diǎn)，其實(shí)本題來(lái)源于課本習(xí)題，本課就這個(gè)問(wèn)題以課本習(xí)題為載體來(lái)深入的探討和研究一下二階線(xiàn)性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法課程內(nèi)容：真題再現(xiàn)：真題再現(xiàn)：1.（2015廣東文19）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，，??nannSn?N11a?232a?354a?且當(dāng)時(shí)，2n…

2、211458nnnnSSSS??????（1）求的值；4a（2）求證：為等比數(shù)列；112nnaa????????（3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式??na2.在數(shù)列中，，（），求數(shù)列的通項(xiàng)公式??na11a?21a?11nnnaaa????2n???na問(wèn)題呈現(xiàn)：?jiǎn)栴}呈現(xiàn)：第一題中的第三問(wèn)是難點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，易得2n…211458nnnnSSSS??????，即，實(shí)際上就是已知，求21114()4()()nnnnnnSSSSSS?????????211

3、4nnnaaa????2114nnnaaa????的通項(xiàng)公式。第2題更是典型的已知（），??na11nnnaaa????2n?求數(shù)列的通項(xiàng)公式??na這兩題的共同特點(diǎn)是：已知數(shù)列求的通項(xiàng)公式，即1221(0)nnnaaabapaqanNpq??????????na二階線(xiàn)性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法。這是學(xué)生的一個(gè)難點(diǎn)，同時(shí)也是高考重點(diǎn)考查的知識(shí)，很多學(xué)生感到很繁瑣，無(wú)從下手。實(shí)質(zhì)，此類(lèi)題型來(lái)源于我們的課本習(xí)題課本例題呈現(xiàn)：課本例題呈現(xiàn)：例

4、13已知數(shù)列，（），求數(shù)列的通項(xiàng)公式。（人教版高中數(shù)學(xué)必??na21213225??????nnnaaaaa3n?修5第二章數(shù)列復(fù)習(xí)參考題B組第6題）解法1：（歸納猜想）由已知可得：猜想11a?234521944145aaaa????(用數(shù)學(xué)歸納法證明略)111[7313(1)]()4nnnanN????????解法2：（構(gòu)造法）將變形，2132????nnnaaa]23)[2(3)2(21211?????????????nnnnnna

5、aaaaa????若即或者3則是一個(gè)等比數(shù)列公比為2.時(shí)，是一個(gè)23?????1?????1nnaa????1???1nnaa??首項(xiàng)為7公比為3的數(shù)列①1173nnnaa?????時(shí)，是一個(gè)首項(xiàng)為13公比為的等比數(shù)列3??13nnaa??1?②11313(1)nnnaa???????由①②兩式消去得：1na?111[7313(1)]()4nnnanN????????結(jié)論運(yùn)用結(jié)論運(yùn)用對(duì)于文中所涉及的第一小題（2015廣東文19）的第三小

6、問(wèn)我們便可以運(yùn)用此法解答.題目中已經(jīng)求出遞推方程，所以其特征方程為，解得方程只有兩個(gè)相等的實(shí)根即：，所以2114nnnaaa????214xx??12????，可得：121()()2nnacnc??11a??232a?122121()121(2)()12cccc??????????10c?22c??12nnna??第（2）小題的遞推公式（），其特征方程為.解得.可11nnnaaa????2n?21xx??1152x??2152x??設(shè)1

7、1121515()()22nnnacc??????.，可得：解得11a??21a?121211515122cccc???????????15125c??25125c??代入可得na11515[()()]225nnna????由此可見(jiàn)遇到此類(lèi)求通項(xiàng)公式的題用特征根方程通過(guò)待定系數(shù)法解決此類(lèi)問(wèn)題是很簡(jiǎn)單的.回頭梳理整個(gè)通項(xiàng)公式的探究過(guò)程我最大的感觸是不要輕易放過(guò)教材中的任何一道題目.教材是專(zhuān)家經(jīng)驗(yàn)的積累、智慧的結(jié)晶，所以每道例題、習(xí)題都有其