論文-橢圓的焦點弦長公式的四種推導(dǎo)方法及其應(yīng)用

1、橢圓的焦點弦長公式的四種推導(dǎo)方法及其應(yīng)用橢圓的焦點弦長公式的四種推導(dǎo)方法及其應(yīng)用江西省上猶中學(xué)江西省上猶中學(xué)劉鵬劉鵬關(guān)鍵詞：橢圓關(guān)鍵詞：橢圓焦點弦焦點弦弦長公式弦長公式應(yīng)用應(yīng)用摘要摘要：直線與橢圓相交時的弦長問題，可以用萬能的弦長公式解決即212=1ABkxx??或者，而有一種特殊的弦是過焦點的弦，它的弦長有專門的公式：2112=1()kAByy?，如果記住公式，可以給我們解題帶來方便.22222cosabABac???下面我們用萬能弦

2、長公式，余弦定理，焦半徑公式，仿射性四種方法來推導(dǎo)橢圓的焦點弦長公式，這幾種方法涉及到很多思想，最后舉例說明其應(yīng)用.解法一解法一：根據(jù)弦長公式直接帶入解決.題：設(shè)橢圓方程為，左右焦點分別為，直線l過橢圓的右焦點交12222??byax12(0)(0)FcFc?2F橢圓于兩點，求弦長.1122()()AxyBxyAB橢圓方程可化為……①，12222??byax0222222???bayaxb直線l過右焦點，則可以假設(shè)直線為：(斜率不存在即

3、為時)，代入①得：xmyc??0m?，整理得，222222222()20bmaymcbybcab?????222224()20bmaymcbyb????∴，2412122222222mcbbyyyybmabma???????∴2424222221122222222222244(1)=1()1()1()kmcbbabmAByymmbmabmabma???????????∴??2222221abABmbma???（1）若直線l的傾斜角為，且

4、不為則，則有：?90?1tanm????2222222222221111tantanababABmbmaba??????????????解：由解法一知.由橢22212121222222222=()22mcbacxxmycmycmyyccbmabma?????????????圓的第二定義可得焦半徑公式，那么2122FAaexFBaex????故222221212222222222(1)=2()abmababmABaexaexaexxbma

5、bma????????????后面分析同解法一.解法四解法四：利用仿射性解決題：設(shè)橢圓方程為，左右焦點分別為，直線l過橢圓的右焦點交12222??byax12(0)(0)FcFc?2F橢圓于兩點，求弦長.1122()()AxyBxyAB解：利用仿射性，可做如下變換，則原橢圓變?yōu)?，這是一個以原點為圓xxayyb???????222()()xya??心，為半徑的圓.假設(shè)原直線的斜率為，則變換后斜率為.橢圓中弦長akakb212=1ABkxx