數(shù)學(xué)建模練習(xí)題

1、數(shù)學(xué)建模習(xí)題題目題目11.在超市購(gòu)物時(shí)你注意到大包裝商品比小包裝商品便宜這種現(xiàn)象了嗎。比如潔銀牙膏50g裝的每支1.5元，120g裝的每支3.00元，二者單位重量的價(jià)格比是1.2:1.試用比例方法構(gòu)造模型解釋這個(gè)現(xiàn)象。（1）分析商品價(jià)格C與商品重量w的關(guān)系。價(jià)格由生產(chǎn)成本、包裝成本和其他成本等決定，這些成本中有的與重量w成正比，有的與表面積成正比，還有與w無(wú)關(guān)的因素。（2）給出單位重量?jī)r(jià)格c與w的關(guān)系，畫(huà)出它的簡(jiǎn)圖，說(shuō)明w越大c越小，但

2、是隨著w的增加c減小的程度變小，解釋實(shí)際意義是什么。解答：（1）分析：生產(chǎn)成本主要與重量w成正比，包裝成本主要與表面積s成正比，其他成本也包含與w和s成正比的部分，上述三種成本中都包含有與ws均無(wú)關(guān)的成本。又因?yàn)樾螤钜欢〞r(shí)一般有故商品的價(jià)格s∝23可表示為（α，β，γ為大于0的常數(shù)）。C=αωβ23（2）單位重量?jī)r(jià)格顯然c是w的減函數(shù)。說(shuō)明c==?13?1大包裝比小包裝的商品更便宜，曲線是下凸的，說(shuō)明單價(jià)的減少值隨著包裝的變大是逐漸降低

3、的，不要追求太大包裝的商品。函數(shù)圖像如下圖所示：題目題目22.在考慮最優(yōu)定價(jià)問(wèn)題時(shí)設(shè)銷售期為T(mén)，由于商品的損耗，成本q隨時(shí)間增長(zhǎng)，設(shè)β為增長(zhǎng)率。又設(shè)單位時(shí)間的銷售量為(p為價(jià)q=0x=a?bp格)。今將銷售期分為和兩段，每段的價(jià)格固定，記為0tT2T2tT1.求的最優(yōu)值，使銷售期內(nèi)的總利潤(rùn)最大。如果要求銷售期T內(nèi)的總銷212售量為再求的最優(yōu)值。012.0(23)∫?0()題目題目44.雨滴勻速下降，空氣阻力與雨滴表面積和速度平方的乘積成

4、正比，試確定雨速與雨滴質(zhì)量的關(guān)系。解答：雨滴質(zhì)量m，體積V，表面積S與某特征尺寸l之間的關(guān)系為，m∝V∝3，可得。雨滴在重力和空氣阻力的作用下以勻速v降落，所S∝2S∝2312以=，而.由以上關(guān)系得.121∝2∝2v∝16題目題目55.某銀行經(jīng)理計(jì)劃啊用一筆資金進(jìn)行有價(jià)證券的投資，可供購(gòu)進(jìn)的證券以及其信用等級(jí)、到期年限、收益如表1所示。按照規(guī)定，市政證券的收益可以免稅，其他證券的收益需按50%的稅率納稅。此外還有以下限制：1）政府及代辦

5、機(jī)構(gòu)的證券總共至少要購(gòu)進(jìn)400萬(wàn)元；2）所購(gòu)證券的平均信用等級(jí)不超過(guò)1.4（信用等級(jí)數(shù)字越小，信用程度越高）；3）所購(gòu)證券的平均到期年限不超過(guò)5年。表1證券信息證券信息證券名稱證券種類信用等級(jí)到期年限到期稅前收益%A市政294.3B代辦機(jī)構(gòu)2155.4C政府145D政府134.4E市政524.5問(wèn)：（1）若該經(jīng)理有1000萬(wàn)元資金，應(yīng)如何投資？（2）如果能夠以2.75%的利率借到不超過(guò)100萬(wàn)元資金，該經(jīng)理如何操作？（3）在1000萬(wàn)元