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文檔簡(jiǎn)介
1、Chapter2VectSpacesOurfirsttechnicaltopicfthisbookislinearalgebrawhichisoneofthefoundationstonesofappliedmathematicsingeneraleconometricsstatisticsinparticular.Dataderedbyobservationarenaturallystedinvects.Relatedvectsare
2、naturallygroupedintomatrices.Onceourdataareganizedthiswayweneedtoperfmbasicarithmeticoperationssolveequationsquadraticminimizationproblems.Inthischapterwecoverthefoundationsofvectoperationsusedinlinearalgebra.Aswe’llseet
3、heconceptualaspectsoflinearalgebraareclearestifwebeginbystrippingawaydetailssuchasmatriceslookinsteadatlinearoperationsfromameabstractperspective.2.1VectsVectSpaceLet’sbeginwithvectspacebasicvectoperations.2.1.1VectsFarb
4、itraryN∈NthesymbolRNrepresentsthesetofallNvectsvectsoflengthN.Atypicalelementhasthefmx=?????x1x2...xN?????wherexn∈Rfeachn9VectSpaces11xyxyFigure2.2VectadditionIfα∈Rthenthescalarproductofαxisdefinedtobeαx=α???x1...xN???:=
5、???αx1...αxN???ThusadditionscalarmultiplicationaredefinedintermsofdinaryadditionmultiplicationinRcomputedelementbyelementaddingmultiplyingrespectively.1Figures2.22.3showexamplesofvectadditionscalarmultiplicationinthecase
6、N=2.Subtractionoftwovectsisperfmedelementbyelementjustlikeaddition.Subtractionisnotaprimitiveoperationbecausethedefinitioncanbegivenintermsofadditionscalarmultiplication:x?y:=x(?1)y.Anillustrationofsubtractionisgiveninfi
7、gure2.4.Onewaytorememberthisoperationistodrawalinefromytoxthenshiftittotheigin.TheinnerproductoftwovectsxyinRNisdenotedby?xy?defined1.Insomeinstancesthenotionofscalarmultiplicationincludesmultiplicationofvectsbycomplexnu
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