多重生命函數(shù)的風(fēng)險序研究

1、基金項目：安徽省教育廳自然科學(xué)項目壽險精算中利率風(fēng)險防范研究(2006KJ237B)資助。作者簡介：李孝豐（1974—），男，安徽省長豐縣人，安徽工程科技學(xué)院，碩士研究生，研究方向：金融控制。Email:lixiaofeng551@王傳玉（1964—），男，安徽省蕪湖市人，安徽工程科技學(xué)院，副教授，碩士，研究方向：保險精算。多重生命函數(shù)的風(fēng)險序研究多重生命函數(shù)的風(fēng)險序研究李孝豐，王傳玉（安徽工程科技學(xué)院應(yīng)用數(shù)理系，安徽蕪湖24100）摘

2、要摘要：隨機序作為一種重要方法，在統(tǒng)計學(xué)，可靠性，排隊論，精算數(shù)學(xué)等研究領(lǐng)域受到了越來越多的重視。本文研究了兩列壽命隨機變量的連生狀態(tài)和最后生存狀態(tài)，在獨立但不同分布的假設(shè)下，給出了它們的剩余壽命和失效時間的風(fēng)險排序。關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：剩余壽命；失效時間；隨機序；連生狀態(tài)；最后生存者狀態(tài)中圖分類號：中圖分類號：O213.2文獻表示碼：文獻表示碼：A0引言引言最早的有關(guān)隨機序概念的研究工作始于Hardy，Littlewood與Po’lya于1

3、934年發(fā)表的關(guān)于不等式的名著[1].他們在兩個非負向量之間引入的占優(yōu)關(guān)系，實際上即是一階停止損失序，此后，隨機序在排隊論、可靠性、統(tǒng)計學(xué)等多種領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用[24].自然，基于期望效用原理，隨機序也在經(jīng)濟金融決策領(lǐng)域[5，6]及在保險精算領(lǐng)域[7，8]的研究中備受青睞.多生命函數(shù)在精算學(xué)中占有非常重要的地位，連生狀態(tài)和最后生存狀態(tài)是多重生命函數(shù)的兩種特殊情況，多重生命函數(shù)的分布特征是相關(guān)產(chǎn)品定價和評估的基礎(chǔ)，一般沒有現(xiàn)成的多重生

4、命的生命表的使用，所以研究多重生命函數(shù)的風(fēng)險排序顯得尤為重要.本文在兩列壽命隨機變量獨立但不同分布的假設(shè)下，????1212nnXXXYYY??主要研究了它們的連生狀態(tài)和最后生存狀態(tài)的剩余壽命和失效時間在隨機序意義下的關(guān)系.1預(yù)備知識預(yù)備知識1.1生存函數(shù)對于新生個體，其死亡年齡是一個連續(xù)性隨機變量.用記的分布函數(shù)，則X??FxX并記為新生個體的生存函數(shù)，其????0.FxPXxx?????????1SxFxPXx????中.??01S

5、?1.2歲人的剩余壽命x剩余壽命是指新生嬰兒在活到某年齡時剩余的壽命，新生嬰兒在生存到歲的條件下x并于年齡歲前死亡的概率為z??????????????.1FzFxSxSzPxXzXxFxSx????????壽命隨機變量在活動時的剩余壽命記為.XttX1.3生效時間在本文中，我們把壽命隨機變量消亡在之前的失效時間記為.有：Xt??tX意義下小于，如果為關(guān)于的遞增函數(shù).Y????GtFttR?定理定理2.1[4]設(shè)和是任意兩隨機變量，如果

6、，則.XYhrXY?stXY?定理定理2.2[4]下面兩條件等價：（1）（2）hrXY?tsttXY?定義定義2.4.1如果非負隨機變量，，其生存函數(shù)為，則的平均剩余壽XEX?????FxX命為其中.????0EXtXtttmt??????????其它????sup:0ttFt???定義定義2.4.2假定和是兩隨機壽命，其平均剩余壽命函數(shù)分別為和，如果對所有XYml，則稱在平均剩余序意義下小于。記作.????tmtlt?XYmrlXY?

7、定理定理2.3假定和是兩隨機變量，其平均剩余壽命函數(shù)分別為和，若，則XYhlhrXY?.mrlXY?證明：由定義2.4.1知，又因為??????ttmtFxdxFtt????????????所以????????expxtfuFxduFuFt???????????????????exptxttmthududxtt???????故即。因為，所以.hrXY?????hulu?????mtlt?mrlXY?定義2.5設(shè)和是兩個連續(xù)的兩隨機變量，

8、和分別為和的分布函數(shù).如果函XYFGXY數(shù)是關(guān)于的單調(diào)函數(shù)，則稱在逆死亡力序意義下小于，記作.????FxGxXXYhrXY?定理定理2.4[4]設(shè)和是兩個兩隨機變量，如果，則.XYhrXY?stXY?3幾個主要結(jié)果幾個主要結(jié)果定理定理3.1假定是兩組獨立的隨機變量，且滿足??12iiXYim??則.12ihriXYim???????11minminmmrlmXXYY???證明：首先證明當(dāng)，且假定的死亡函數(shù)分別為則2m?1212XXYY