閉折線號心研究的進展

1、1閉折線號心研究的進展k曾建國（贛南師范學院數(shù)學與計算機科學學院江西贛州341000）1993年，楊之先生提出了“一般折線研究”這一初等幾何研究新課題[1]1996年，中國“折線研究小組”成立。自課題提出至今，關于折線的“組合拓撲性質”與“度量性質”的研究取得了豐碩成果。十余年來的研究表明，“折線研究”是一個具有很強生命力、研究前景廣闊的初等數(shù)學研究課題。在閉折線的研究成果中，“度量性質”的研究成果占絕大多數(shù)，這包括閉折線研究專著3部[

2、24]、發(fā)表論文已超過一百篇。2002年后，隨著閉折線“號心”的概念的提k出[5]，“號心”已成為閉折線研究的一大熱點，至今已發(fā)表的關于號心研究的論文kk已超過70篇。下面就近幾年來閉折線號心的研究的進展情況作一簡要的介紹。k1.閉折線號心的研究k1.1閉折線的號心概念的建立k在人們對圓內接閉折線的重心、垂心、歐拉（Euler）圓心及圓外切閉折線的奈格爾（Nagel）點、斯俾克(Spieker)圓心等諸“心”性質進行廣泛深入研究的基礎上

3、，熊曾潤教授于2002年提出了圓內接閉折線的號心及圓外切閉折線的號心概念[2]，kk同年9月又將號心概念進一步推廣至一般的閉折線[5]：k定義：設是閉折線所在平面內的定點，是任一給定的正整數(shù)，則O121nAAAA?k滿足等式的點稱為閉折線（關于點）的號心。11niiOQOAk???????????Q121nAAAA?Ok在這一定義中，當定點是圓內接（圓外切）閉折線的外心（內心）時，則垂心O（奈格爾點）、歐拉圓心（斯俾克圓心）、重心就依次

4、是該閉折線的1號心、2號心、n號心。由此可見，閉折線號心概念是上述諸“心”概念的統(tǒng)一推廣。而對統(tǒng)一推廣k后的一般閉折線的號心性質的深入研究，其理論價值和學術意義不言而喻。k1.2閉折線號心性質的研究k自閉折線號心概念提出至今，國內作者已發(fā)表的有關閉折線號心研究的論文有kk60余篇[573]?！度ふ勯]折線的號心》[3]一書對閉折線號心的性質進行了較系統(tǒng)的研kk究，本書匯集了閉折線號心研究已取得的大部分成果，包括定理、推論、命題共122k個

5、。其研究范圍從該書目錄標題可見一斑：3（3）當，3，1，2時，可得3n?m?k?推論推論5圓內接閉折線的垂心與任三頂點的垂心的連線，平行于外心與121nAAAA?其余個頂點的重心的連線(3)n?推論推論6圓內接閉折線的歐拉圓心與任三頂點的歐拉圓心的連線，平行121nAAAA?于內心與其余個頂點的重心的連線(3)n?以上推論都是之前未曾發(fā)現(xiàn)的新結論，而它們只不過是定理1的某些特例。2.空間有限點集的號心性質的研究k從閉折線的號心定義可以看

6、出，號心的位置由閉折線的頂點121nAAAA?kk及定點的位置確定，而與閉折線的構造方式（頂點之間連接的邊的順12nAAA?O序）無關。因此，閉折線的號心實質上也就是“平面有限點集121nAAAA?k的號心”。將這一概念拓廣至三維空間，我們進一步研究了“空間有限12nAAA?k點集的號心”，得到了關于四面體、多面體及一般的空間有限點集的號心的一些新kk性質[74100]。此方面的研究大致可分為兩個方面：（1）將平面幾何有關定理推廣至三維

7、空間（2）將平面閉折線的號心的研究成果推廣至三維空間k由于“空間有限點集的號心”等概念的引入，使傳統(tǒng)立體幾何增添了新的研究k內容，此方面的研究工作也因此取得了許多創(chuàng)新成果。例如，將三角形的某些“心”的優(yōu)美性質加以推廣，揭示了球內接多面體的偽垂心、歐拉球心、重心、號心及號kk球面……的一系列性質；著名的三角形“九點圓定理”也被成功地推廣至四面體、球內接多面體，發(fā)現(xiàn)了關于球內接多面體的多點共球、多圓共球的性質；還將某些平面幾何的軌跡定理推廣

8、至空間有限點集的號心……k受篇幅限制，這里僅以熊曾潤先生在文[74]中的一個定理為例，說明號心研究k帶來的創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)：定理2：四面體的號球面必通過12個特殊點，即1234AAAA1k?（i）各頂點與號心連線的等分點（）；jAkP1k?jM1234j?（ii）各一級頂點子集的號心（）；jV1k?jQ1234j?（iii）自點引直線與直線垂直相交的垂足（）。jQjAPjH1234j?（注：四面體的外接球半徑為，號心為，四面體的號球面1234A