第5章 粘性流體動力學基本方程組

1、第5章粘性流體動力學基本方程組5.1粘性流體動力學基本方程流體運動所遵循的規(guī)律是由物理學三大守恒定律規(guī)定的，即質(zhì)量守恒定律，動量守恒定律和能量守恒定律。這三大定律對流體運動的數(shù)學描述就是動力學基本方程組。但這個方程組是不封閉的，要使其封閉還需加上輔助的物性關系等。一般情況下，現(xiàn)在還求不出這個方程組的解析解，但研究這個方程組的性質(zhì)卻具有極其重要的意義，因為所有的流動現(xiàn)象都是由這個方程組所規(guī)定的。粘性流動的一個基本特征是流動的有旋性。因此研

2、究渦的產(chǎn)生、輸運和擴散就是很重要的了。這些性質(zhì)也都是由流體動力學基本方程組所規(guī)定的。對流體運動的描述有兩種方法，即拉格朗日法和歐拉法；對基本定理的數(shù)學表述也有兩種方法，即積分形式和微分形式。本章將采用歐拉法和微分形式來表述基本方程。5.1.1質(zhì)量守恒定律——連續(xù)方程連續(xù)方程是質(zhì)量守恒定律在運動流體中的數(shù)學表達式。由于不涉及力的問題，因此粘性流體力學與非粘性流體方程完全相同，在非粘性流體中所做的推導和討論在這里全部有效?？疾炝黧w通過一微元

3、體的界面所引起的微元體內(nèi)質(zhì)量的變化問題。根據(jù)質(zhì)量守恒定律，單位體積上通過微元體界面流出的質(zhì)量流量即矢量?u的散度?????u，它應等于微元體內(nèi)單位時間單位體積所減少的質(zhì)量：??0t????????u(5.1.1)展開后得：??????0uvwtxyz????????????????(5.1.2)連續(xù)方程表示單位時間內(nèi)流人流出微元體的質(zhì)量必與密度變化相平衡。對于定常流，此式可變?yōu)椋??????0uvwxyz????????????(5.1

4、.3)??0????u(5.1.4)對于不可壓縮流，(5.1.2)式變?yōu)椋??????0uvwxyz?????????即iiux?=0(5.1.5)由張量分析的知識可知，iiux?是應變量張量的主對角線上三元素之和，恒為常數(shù)，表示微元體的體積變化率。式(5.1.5)表示總的體積變化率為零，與流體的不可壓縮一致。dddyxyzy??P，dddzxyzz??P于是可得作用于單位容積的表面力的合力向量為(ddddddddd)dddyxzyxz

5、xyzxyzxyzxyzxyzxyz??????????????????PPPPPPP(5.1.11)式中xP，yP和zP都是向量，還可以把它們沿三個坐標方向分解，即分解為正應力?和平行于各微元面的切應力?。例如，作用于與x軸垂直的微元面上的應力xP可分解為（圖51）：xxxyxz??????Pijk(5.1.12a)同理有yyxyyz??????Pijk(5.1.12b)zzxzyz??????Pijk(5.1.12c)式中注足是這樣

6、規(guī)定的：正應力?的注足代表應力的方向，切向力?的第一個注足代表與切應力所在平面垂直的方向，第二個注足代表切應力的方向。例如，xy?表示作用在與x軸垂直的平面上沿y向的切應力。由式(5.1.12)可見，要完全描述微元體上應力P需要九個標量。這九個標量就組成了應力張量，表示為zxyxx?????zyyxy???zyzxz???(5.1.13)容易證明這個張量是對稱的，由式(5.1.11)，(5.1.12)和(5.1.13)可寫出如下的單位容