華中科技大學(xué)考研數(shù)學(xué)分析真題答案

1、2008年華中科技大學(xué)招收碩士研究生年華中科技大學(xué)招收碩士研究生.入學(xué)考試自命題試題數(shù)學(xué)分析一、一、求極限求極限1111lim(1...)23nnIn???????解:一方面顯然1I?另一方面，且1111...23nn?????1lim1nnn???由迫斂性可知。1I?注：注：可用如下兩種方式證明1lim1nnn???1）令，則1nnnh??22(1)2(1)1(2)2nnnnnnnhhhnn????????即，從而lim0nnh???

2、1lim1nnn???2）由有。234...1231nnnnn??limlim11nnnnnn???????二、證明二、證明為某個(gè)函數(shù)的全微分，并求它的為某個(gè)函數(shù)的全微分，并求它的2232(38)(812)yxyxydxxxyyedy????原函數(shù)。原函數(shù)。證明：記，，則22()38Pxyxyxy??32()812yQxyxxyye???，2316Pxxyy????2316Qxxyx?????PQyx?????是某個(gè)函數(shù)的全微分PdxQ

3、dy??設(shè)原函數(shù)為，則()xy?xyddxdyPdxQdy???????2232238()4()xxyxyxyxyxyy??????????32328()812yyxxyyxxyye??????????()12()12(1)yyyyeyyeC?????????322()412(1)yxyxyxyyeCC???????所求原函數(shù)為（為常數(shù)）三、設(shè)三、設(shè)是空間區(qū)域且不包含原點(diǎn)，其邊界是空間區(qū)域且不包含原點(diǎn)，其邊界為封閉光滑曲面：用為封閉光滑

4、曲面：用表示表示的??n??單位外法向量，單位外法向量，和，證明：，證明：()rxyz??222rrxyz?????lim2nnx????六、設(shè)反常積分六、設(shè)反常積分絕對(duì)收斂且絕對(duì)收斂且，證明，證明收斂。收斂。0()fxdx??lim()0xfx???20()fxdx??證明：由于，故，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)lim()0xfx???10A??1xA?()1fx?2()()fxfx?再由絕對(duì)收斂知，對(duì)，有0()fxdx??0???20A??2()A

5、fxdx????取，則12maxAAA?22()()()AAAfxdxfxdxfxdx??????????故收斂。20()fxdx??注：注：這里還差0不是的瑕點(diǎn)這一條件，若不然討論()fx320sinxxdx???由下題可知絕對(duì)收斂，但發(fā)散。這是因?yàn)?20sinxxdx???230sinxdxx??發(fā)散；收斂。2300sin14xdxdxxx?????233sin1xdxdxxx???????七、討論反常積分七、討論反常積分的斂散性（

6、包括絕對(duì)收斂、條件收斂和發(fā)散）的斂散性（包括絕對(duì)收斂、條件收斂和發(fā)散），其，其0sinpxdxx??中為常數(shù)。為常數(shù)。0p?解：記112001sinsinsinpppxxxIdxdxdxIIxxx??????????1）先討論（可以用瑕積分收斂判別的推論）1I由可知，，當(dāng)時(shí)，0sinlim1xxx??0???0x???1sin322xx??，是定積分，只需考慮110sinsinppxxIdxdxxx??????1sinpxdxx??0s