材料力學 第四章 本構關系

1、第四章 本構關系,靜力學問題和運動學問題是通過物體的材料性質聯(lián)系起來的。力學量（應力，應力速率等）和運動學量（應變，應變速率等）之間的關系式稱之為本構關系或本構方程。,本章僅討論不考慮熱效應的線彈性本構關系——廣義胡克定律。,第四章 本構關系,,,第四章 本構關系,§4-1 熱力學定律與應變能§4-2 各向異性材料的本構關系§4-3 具有彈性對稱面的彈性材料的本構關系§4-4

2、 各向同性彈性材料的彈性常數§4-5 各向同性彈性材料的應變能密度,目 錄,,設在直角坐標系中Ox1x2x3中，位移矢量,因而速度和加速度分別為 , 。,，,并設體積力密度和作用在s上的表面力密度分別為,，,為坐標軸Oxi的單位矢量。,考察作用在微元體上的體積力 和表面力 在單位時間內所做的功,,(1),§4-1 熱力學定律與應變能,設物體的密度

3、為,，則微元體的動能為,,(2),單位時間內動能的變化率為,,(3),由熱力學第一定律可知材料的內能U和動能K的變化率等于外力功的變化率,,(4),§4-1 熱力學定律與應變能,設物體的應變能密度為W，則,,(5),由（1）式、力的邊界條件及奧高公式可得面力的功率為,,§4-1 熱力學定律與應變能,(1),式中 為表面s的外法線 對于坐標軸

4、 夾角的余弦。將幾何方程對時間求導，得,,從而,。由于,是對稱的，而,是反對稱的,。外力功率為,因而,(6),應變率張量 和轉動率張量,§4-1 熱力學定律與應變能,由（3）、（4）和（6）式,,(7),由（5）式可得,(8),,(9),其中 為應變張量對時間的變化率，稱為應變率張量。,,§4-1 熱力學定律與應變能,令初始狀態(tài)的應變能W=0，則,,(10),,(11),此式給出了彈性物質的

5、應力-應變關系，稱之為格林公式。,,§4-1 熱力學定律與應變能,§4-2 各向異性材料的本構關系,線彈性材料的最一般的本構關系（非張量形式）為：,,(12),式中,為彈性系數，它們必須通過實驗才能確定，當它們明顯的依賴于點的坐標時，材料是非均勻的。當只考慮均勻彈性介質時,是常數。,是全微分,,注意到應變能密度W是狀態(tài)函數，,其有二階連續(xù)偏導數，從而,,(13),所以這些彈性常數之間滿足對稱性條件,,(14),&

6、#167;4-2 各向異性材料的本構關系,（廣義格林公式）,應力-應變關系（12）中獨立的彈性常數只有21個。在對稱性條件下的應力-應變關系被稱為各向異性彈性材料的廣義胡克定律。,由齊次函數的歐拉定理和彈性體的格林公式（11）,,,(15),在這種情況下還可以得到（11）式的對偶形式,,§4-2 各向異性材料的本構關系,,注：該式只在線彈性應力-應變關系條件下才成立。,本構關系寫成張量形式,,式中,為四階張量，稱為彈性系數

7、張量或簡稱彈性張量，獨立的彈性系數也是21個。其滿足對稱性條件,,應變能密度W可寫成,,卡斯提亞諾（Castigliano）公式,§4-2 各向異性材料的本構關系,（一）具有一個彈性對稱面,設物體內每點都有這樣一個彈性對稱面，并且這些彈性對稱面是互相平行的。取Oxy平面為彈性對稱面，Oz軸與此對稱面垂直，因此Oz軸為材料的主軸。,表示,坐標系中的位移分量，取坐標系 ,,使得它由關于對Oxy平面的反演

8、得到，此時位移分量為,因而有,由剪應變分量和位移分量的關系可得,,§4-3 具有彈性對稱面的彈性材料的本構關系,即與z方向有關的剪應變分量變號，其余分量不變，其中,考慮到 W 的展開式（15） ，坐標變換并不改變W的值。因此必須使含 和 的一次項的剛度系數等于0，含,和,的乘積項因不變號而不受限制，這樣可得,,（一）具有一個彈性對稱面,§4-3 具有彈性對稱面的彈性材料的本構關系,因此在材料具

9、有一個彈性對稱面的情況下有如下應力-應變關系,,(16),獨立的彈性系數只有13個。,（一）具有一個彈性對稱面,§4-3 具有彈性對稱面的彈性材料的本構關系,（二）具有三個彈性對稱面,設具有三個彈性對稱面的材料其三個彈性對稱面彼此垂直，因而，可取它們?yōu)樽鴺似矫?，于是，Ox，Oy，Oz軸均為材料主軸。在（16）式中的常數進一步有,,因此有如下應力-應變關系：,,(17),具有這種應力-應變關系的材料稱為正交各向異性彈性材料，

10、這時獨立的彈性常數只有9個。,§4-3 具有彈性對稱面的彈性材料的本構關系,（三）各向同性面與橫觀各向同性彈性材料,若過物體內每一點都有一個平面，在這平面內的各個方向上彈性性質是相同的，則此平面是各向同性面。取Oz軸垂直于各向同性面，同時Ox軸和Oy軸位于此平面內，并使Ox，Oy，Oz軸組成右手系。,首先將坐標系Oxyz繞Oz軸旋轉90°，得到新坐標系,,由應力分量和應變分量之間的坐標變換得,,,§4-3

11、 具有彈性對稱面的彈性材料的本構關系,將其代入（17）式得,,將此式與（17）式比較得,,(18),（三）各向同性面與橫觀各向同性彈性材料,§4-3 具有彈性對稱面的彈性材料的本構關系,其次，將Oxyz繞Oz軸旋轉45°，則有,,于是，具有一個各向同性面的彈性材料有如下的應力-應變關系：,,具有這種應力應變關系的材料稱為橫觀各向同性彈性材料，這種材料的獨立彈性系數只有5個。,(19),（三）各向同性面與橫觀各向

12、同性彈性材料,§4-3 具有彈性對稱面的彈性材料的本構關系,現設物體內通過某點任意平面都是彈性對稱面，因而，過該點的任何一個方向都是材料的主方向。稱這種材料為各向同性彈性材料。 首先，由于任何一個面都是彈性對稱面，故將坐標系 繞 軸旋轉90°得到新的坐標系 ，有在這種情況下，可推出,（四）完全彈性對稱與各向同性材料,（l）,（m）,§4-3 具

13、有彈性對稱面的彈性材料的本構關系,獨立的彈性系數只有2個,,（20）,（四）完全彈性對稱與各向同性材料,§4-3 具有彈性對稱面的彈性材料的本構關系,,各向同性線性彈性材料的應力-應變關系,其中 ， 和 稱為拉梅系數。（20）稱為各向同性線性彈性介質的廣義胡克定律。各向同性線性彈性材料只有2個獨立的彈性常數；伴隨正應變只有正應力，同時伴隨切應

14、變也只有切應力。由（20）可得利用此式，可得廣義胡克定律的另一種形式,（21）,（四）完全彈性對稱與各向同性材料,§4-3 具有彈性對稱面的彈性材料的本構關系,應指出，（22）成立必須要求彈性系數滿足條件,（23）,（22）,,（四）完全彈性對稱與各向同性材料,§4-3 具有彈性對稱面的彈性材料的本構關系,考慮簡單拉伸情況:設拉伸方向平行于Ox軸的方向，則這時物體內的應力狀態(tài)為,于是，由（22）得,（a）

15、,（b）,（c）,§4-4 各向同性彈性材料的彈性常數,比較（b）, （c）得,（24）,（25）,由于,因而,（26）,（27）,考慮純剪切情況：設切應力作用在Oxy平面，于是，物體內的應力狀態(tài)為,§4-4 各向同性彈性材料的彈性常數,因而，由（20）有,（e）,由純剪切實驗給出,（f）,比較（c）（f），得到,（28）,（d）,§4-4 各向同性彈性材料的彈性常數,§4-4 各向同性

16、彈性材料的彈性常數,楊（Young）,楊（Thomas Yang）1773年生于英國，1829年逝世。他是一個多才多藝的學者，曾以物理學及考古學著稱，他曾藉助于羅塞塔石辨認了埃及的象形文字，他建立了光的波動理論。在彈性理論方面首先給出了應力、應變間的定量數值關系，從而使得彈性力學正式成為一門科學。他還是首先考慮剪切彈性變形的科學家。,泊松（Poisson）,§4-4 各向同性彈性材料的彈性常數,泊松（Simeon-Denis

17、 Possion）1781年生于法國，1840年逝世。他原學醫(yī)學，后于1798年進巴黎綜合工科學校改學數學。后在該校任教。著有數學、天文學、電學和力學方面的著作，其代表性力學著作《力學教程》于1811年問世，“泊松比”便以他的名字命名。,因此若采用 作為彈性常數，則各向同性線性彈性廣義胡克定律可寫成,（29）,（30）,,,§4-4 各向同性彈性材料的彈性常數,采用工程應變中的應力分量的符號時，則廣義胡克

18、定律為,（31）,（32）,,§4-4 各向同性彈性材料的彈性常數,在線性應力、應變對應的關系中，應變能密度W有一般 表達式,（33）,將（20）中的應力分量代入上式得到,式中，已利用了關系式（25）利用張量的求和約定，將上式展開得到,§4-5 各向同性彈性材料的應變能密度,由（32）可見，應變能是應變分量 的二次齊次函數，由（27）， 所以 ，等號成立當且僅當,應變

19、能密度W亦可用應力分量來表示，即,（34）,§4-5 各向同性彈性材料的應變能密度,借助于（29），W還可表示為,將其展開后得到,§4-5 各向同性彈性材料的應變能密度,例 題,1 圖a）所示雙向拉伸薄板，在變形過程中其應變 的關系如圖b）所示。設材料為各向同性線彈性。試沿路徑積分求在B點時物體中單位體積的應變能。提示：對薄板，,圖a）,圖b）,解：,應變能的一般公式為：,由于,所以,根據本

20、題的具體情況,由于,例 題,則,把 提出得,由于在OA段,在AB段,例 題,代入前面方程得：,積分得：,整理得：,例 題,2 根據彈性理論的應變能公式 ，導出材料力學中桿件拉伸，彎曲及圓桿扭轉的應變能公式：,例 題,首先推導,例 題,其次推導：,例 題,再次推導：,例 題,例 題,3 若平均正應力為

21、 ，平均正應變?yōu)?，試求 與 之間的關系式。,解：代入本構方程，可得,,作 業(yè),1 證明：對各向同性彈性體，若主應力 ，則相應的主應變,2假設在各向同性彈性體中，某一單元體上有應力 ，其余應力分量為零。試采用路徑積分證明，沿圖所示的三種過程中的任何一種由零應力狀態(tài)到達該應力狀態(tài)時，單位體積