[教育]巖石力學(xué)課件第四章巖石本構(gòu)關(guān)系與強(qiáng)度理論

1、1,巖石力學(xué),遼寧科技大學(xué),Rock 　Mechanics,2,,第四章 巖石本構(gòu)關(guān)系與強(qiáng)度理論,3,,4.1彈性力學(xué)基礎(chǔ)知識,4,,巖石力學(xué)的研究對象是巖石或巖體，其力學(xué)性質(zhì)可用彈性、塑性、粘性和三者組合來表示，如彈性、彈塑性、粘彈性、彈塑粘性等?！椥粤W(xué)是巖石力學(xué)的基礎(chǔ)理論。,5,,彈性力學(xué)是固體力學(xué)的一個分支，研究彈性體由于受外力作用或由于溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、形變和位移。,（一） 彈性力學(xué)的基本內(nèi)容,1、研究任務(wù)

2、,彈性力學(xué)的研究對象為一般及復(fù)雜形狀的構(gòu)件、實體結(jié)構(gòu)、板殼等。,2、研究對象,一、彈性力學(xué)的基本知識,6,,（二） 彈性力學(xué)的基本假設(shè),在彈性力學(xué)中，在滿足實用所需精度的前提下做一些必要的假設(shè)，使問題得以求解。,（1）連續(xù)性假設(shè)：這樣物體內(nèi)的一些物理量，例如應(yīng)力、應(yīng)變和位移等可用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)表示它們的變化規(guī)律。,（2）完全彈性假設(shè)：假定物體為完全彈性體，則服從虎克定律---應(yīng)力和相應(yīng)的形變成正比，彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或形變的大小而變化。

3、,（3）均勻性假設(shè)：假定物體由同一材料組成，這樣物體的彈性不隨位置坐標(biāo)而變化。,彈性力學(xué)的基本假設(shè)為：,,一、彈性力學(xué)的基本知識,7,,（4）各向同性假設(shè)：物體內(nèi)一點的彈性性質(zhì)在所有各個方向都相同。,（5）小變形假設(shè)：假定位移和形變是微小的。這樣，可以用變形前的尺寸代替變形后的尺寸，在考察物體的應(yīng)變和位移時，可以略去高階小量，這對于方程的線性化十分重要。,以上的假設(shè)對于工程中不少問題是適用的，但對于一些問題的誤差太大，就必須用另外的簡化

4、方案，但許多概念基本理論仍然是共同的，彈性力學(xué)是學(xué)習(xí)塑性力學(xué)、斷裂力學(xué)、有限元方法等學(xué)科的基礎(chǔ)。,一、彈性力學(xué)的基本知識,8,,,,,幾何方程,物理方程,平衡方程,邊界條件,,一、彈性力學(xué)的基本知識,,（三） 彈性力學(xué)的解題程序,位移解,應(yīng)力解,,,,,,,,9,,一、彈性力學(xué)的基本知識,（四）各物理量之間的關(guān)系,10,,1、平面應(yīng)力問題,（一） 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題,在實際問題中，任何一個彈性體嚴(yán)格地說都是空間物體，它所受的外力

5、一般都是空間力系。但是，當(dāng)所考察的彈性體的形狀和受力情況具有一定特點時，只要經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮喕土W(xué)的抽象處理，就可以歸結(jié)為彈性力學(xué)平面問題。 平面問題分為平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題。,等厚度薄板，承受平行于板面并且不沿厚度變化的面力，同時體力也平行于板面并且不沿厚度變化。σz = 0 τzx = 0 τzy = 0,,二、平面問題的基本理論,11,,特點：,1) 長、寬尺寸遠(yuǎn)大于厚度,2) 沿板面受有平行板

6、面的面力，且沿厚度均布，體力,平行于板面且不沿厚度變化，在平板的前后表面上,無外力作用。,二、平面問題的基本理論,12,,2、平面應(yīng)變問題,很長的柱體，在柱面上承受平行于柱面并且不沿長度變化的面力，同時體力也平行于柱面并且不沿長度變化。εz = 0 τzx = 0 τzy = 0,x,圖 2－2,如：水壩、受內(nèi)壓的圓柱管道和長水平巷道等。,二、平面問題的基本理論,13,,（二） 平衡微分方程,,,,二、平面問題的基本理論,1

7、4,,略去二階及二階以上的微量后便得 同樣 、 、 都一樣處理，得到圖示應(yīng)力狀態(tài)。,對平面應(yīng)力狀態(tài)考慮體力時，仍可證明剪應(yīng)力互等定理。以通過中心D并平行于z軸的直線為矩軸，列出力矩的平衡方程 ：,將上式的兩邊除以 得到：,二、平面問題的基本理論,15,,,,,,,下面推導(dǎo)平面應(yīng)力問題的平衡微分方程，對單元體列平衡方程：,二、平面問題的基本理論,16,,,整理

8、得:,,,這兩個微分方程中包含著三個未知數(shù) 。因此決定應(yīng)力分量的問題是超靜定的；還必須考慮形變和位移，才能解決問題。 對于平面應(yīng)變問題,雖然前后面上還有 ,但它們完全不影響上述方程的建立。所以上述方程對于兩種平面問題都同樣適用。,二、平面問題的基本理論,17,,（三） 幾何方程,,在平面問題中，彈性體中各點都可能產(chǎn)生任意方向的位移。通過彈性體內(nèi)的任一點P，取一單元體PAB，如圖所示。彈性體受力以后P

9、、A、B三點分別移動到P′、A′、B′。,,一、P點的正應(yīng)變,在這里由于小變形，由y方向位移v所引起的PA的伸縮是高一階的微量，略去不計。,二、平面問題的基本理論,18,,同理可求得：,二、P點的剪應(yīng)變,線段PA的轉(zhuǎn)角：,同理可得線段PB的轉(zhuǎn)角：,所以,二、平面問題的基本理論,19,,因此得到平面問題的幾何方程：,由幾何方程可見，當(dāng)物體的位移分量完全確定時，形變分量即可完全確定。反之，當(dāng)形變分量完全確定時，位移分量卻不能完全確定。,二、

10、平面問題的基本理論,20,,一、平面應(yīng)力問題的物理方程,且有：,二、平面問題的基本理論,（四） 物理方程,21,,二、平面應(yīng)變問題的物理方程,二、平面問題的基本理論,22,,作代換,就可得到平面應(yīng)變中的關(guān)系式：,由于這種相似性，在解平面應(yīng)變問題時，可把對應(yīng)的平面問題的方程和解答中的彈性常數(shù)進(jìn)行上述代換，就可得到相應(yīng)的平面應(yīng)變問題的解。,二、平面問題的基本理論,三、平面應(yīng)力的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式與平面應(yīng)變的關(guān)系式之間的 變換

11、關(guān)系,將平面應(yīng)力中的關(guān)系式：,23,,（五） 邊界條件,當(dāng)物體處于平衡狀態(tài)時,其內(nèi)部各點的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)滿足平衡微分方程；在邊界上應(yīng)滿足邊界條件。,1、位移邊界條件,二、平面問題的基本理論,24,,2、應(yīng)力邊界條件,當(dāng)物體的邊界上給定面力時，則物體邊界上的應(yīng)力應(yīng)滿足與面力相平衡的力的平衡條件。,其中 和 為面力分量， 、 、 、 為邊界上的應(yīng)力分量。,當(dāng)邊界面垂直于 軸時，應(yīng)力邊界條件簡化為：,當(dāng)邊界面垂直于 軸時，

12、應(yīng)力邊界條件簡化為：,二、平面問題的基本理論,25,,3、混合邊界條件,（1）.物體的一部分邊界上具有已知位移，因而具有位移邊界條件，令一部分邊界上則具有已知面力。則兩部分邊界上分別有應(yīng)力邊界條件和位移邊界條件。如圖，懸臂梁左端面有位移邊界條件：,上下面有應(yīng)力邊界條件：,右端面有應(yīng)力邊界條件：,二、平面問題的基本理論,26,,（2）.在同一邊界上，既有應(yīng)力邊界條件又有位移邊界條件。如圖連桿支撐邊界條件：,如圖齒槽邊界條件：,二、平面問

13、題的基本理論,27,,（六） 極坐標(biāo)中的平衡微分方程,三、平面問題的極坐標(biāo)解答,28,,,（七） 極坐標(biāo)中的幾何方程,,,三、平面問題的極坐標(biāo)解答,29,,,,,,,,（1）平面應(yīng)力情況：,三、平面問題的極坐標(biāo)解答,（七） 極坐標(biāo)中的物理方程,,,（2）平面應(yīng)變情況：,將上式中的 換為 ， 換為 。,30,,（一） 直角坐標(biāo)下的基本方程,1 平衡微分方程,2 幾何方程,三、彈性力學(xué)空間問題簡介,31,,3 物

14、理方程,對于各向同性體，形變分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系如下：,這就是空間問題的物理方程。,將應(yīng)力分量用應(yīng)變分量表示，物理方程又可表示為：,其中：,三、彈性力學(xué)空間問題簡介,32,,（二） 空間軸對稱問題,三、彈性力學(xué)空間問題簡介,33,,（二） 圓柱坐標(biāo)系下的基本方程,1 平衡方程,2 幾何方程,三、彈性力學(xué)空間問題簡介,34,,3 物理方程,由于圓柱坐標(biāo)，是和直角坐標(biāo)一樣的正交坐標(biāo)，所以可直接根據(jù)虎克定律得物理方程：,

15、應(yīng)力分量用形變分量表示的物理方程：,其中：,三、彈性力學(xué)空間問題簡介,35,第4.1節(jié)結(jié)束，謝謝！,36,4.2　巖石彈性本構(gòu)關(guān)系,37,巖石的本構(gòu)關(guān)系是反映巖石力學(xué)性狀的數(shù)學(xué)表達(dá)式，表示形式一般為應(yīng)力—應(yīng)變—強(qiáng)度—時間的關(guān)系?！”緲?gòu)關(guān)系也稱為本構(gòu)定律、本構(gòu)方程、本構(gòu)關(guān)系數(shù)學(xué)模型、本構(gòu)模型。,1、彈性本構(gòu)關(guān)系，塑性本構(gòu)關(guān)系；2、線性彈性本構(gòu)關(guān)系，非線性彈性本構(gòu)關(guān)系；3、各向同性本構(gòu)關(guān)系，非各向同性本構(gòu)關(guān)系；4、巖石流變本構(gòu)關(guān)系。

16、,基本概念,38,1、各向同性體的線彈性本構(gòu)模型　若物體內(nèi)的任一點沿任何方向的彈性都相同，則這樣的物體稱為各向同性體?！「飨蛲泽w的彈性參數(shù)中只有二個是獨立的，即彈性模量E和泊松比μ（或體積模量K和剪切模量G）。,一、線彈性本構(gòu)模型,39,一、線彈性本構(gòu)模型,二個參數(shù)：E和μ,40,一、線彈性本構(gòu)模型,二個參數(shù)：K和G,41,平面應(yīng)變問題,一、線彈性本構(gòu)模型,42,平面應(yīng)力問題,一、線彈性本構(gòu)模型,43,在巖體某一平面內(nèi)的各方向彈性

17、性質(zhì)相同，這個面稱為各向同性面，而垂直此面方向的力學(xué)性質(zhì)不同，具有這種性質(zhì)的物體稱為橫觀各向同性體?！∪纾簩訝顜r體,一、線彈性本構(gòu)模型,2、橫觀各向同性體的線彈性本構(gòu)模型,44,一、線彈性本構(gòu)模型,（只有5個獨立的常數(shù)）,45,二、鄧肯－張雙曲線彈性本構(gòu)模型,康納(Kondner)在1963 年根據(jù)大量土的三軸試驗的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線，提出可以用雙曲線擬合三軸試驗的 (σ 1 ? σ 3 ) ～ ε a 曲線，即：其中a 、b

18、為試驗常數(shù)。對于常規(guī)三軸壓縮試驗， ε a ＝ ε 1 。鄧肯等人根據(jù)這一雙曲線應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系等提出了一種目前被廣泛應(yīng)用的增量彈性模型，一般被稱為鄧肯一張(Duncan—Chang)模型。,46,二、鄧肯－張雙曲線彈性本構(gòu)模型,鞍鋼前峪尾礦庫尾礦砂三軸試驗結(jié)果,47,二、鄧肯－張雙曲線彈性本構(gòu)模型,鄧肯－張E-B模型：,其中為K、n、φ、c、Rf 、Kb 和m 是七個材料常數(shù)。,48,二、鄧肯－張雙曲線彈性本構(gòu)模型,Duncan 雙曲線模

19、型可以反映土變形的非線性和一定程度反映土變形的彈塑性；由于它建立在廣義虎克定律的彈性理論的基礎(chǔ)上，很容易為工程界接受；參數(shù)及材料常數(shù)不多，物理意義明確，只需常規(guī)三軸壓縮試驗即可確定，所以為巖土工程界所熟知和廣泛應(yīng)用，成為最普及的本構(gòu)模型之一。,49,4.3　巖石塑性本構(gòu)關(guān)系,50,塑性是材料的一種變形性質(zhì)或變形的一個階段，材料進(jìn)入塑性的特征是當(dāng)荷載卸載以后存在不可恢復(fù)的永久變形。,－、塑性本構(gòu)關(guān)系及特點,51,塑性本構(gòu)關(guān)系與彈性相比具有

20、如下特點： 1、應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系的多值性 對于同一應(yīng)力往往有多個應(yīng)變值與它相對應(yīng)，因而不能像彈性本構(gòu)關(guān)系那樣建立應(yīng)力和應(yīng)變的一一對應(yīng)關(guān)系，通常只能建立應(yīng)力增量和應(yīng)變增量間的關(guān)系。要描述塑性材料的狀態(tài)，除了要用應(yīng)力和應(yīng)變這些基本狀態(tài)變量外，還需要用能夠刻畫塑性變形歷史的內(nèi)狀態(tài)變量（塑性應(yīng)變，塑性功等)。,－、塑性本構(gòu)關(guān)系及特點,52,2、本構(gòu)關(guān)系的復(fù)雜性 描述塑性階段本構(gòu)關(guān)系不能像彈性力學(xué)只用一組物理方程，通常包括三組方程：

21、 (1)屈服條件：材料達(dá)到塑性狀態(tài)的應(yīng)力條件，通式可寫為：,－、塑性本構(gòu)關(guān)系及特點,h是標(biāo)量的內(nèi)變量，可代表塑性功、塑性體應(yīng)變和等效塑性體應(yīng)變等。,53,庫侖屈服條件:,－、塑性本構(gòu)關(guān)系及特點,德魯克－普拉格屈服條件:,54,初始屈服條件：從自然狀態(tài)開始第一次屈服的屈服條件。　后繼屈服條件：產(chǎn)生塑性變形后，隨內(nèi)變量的增長而形式發(fā)生了變化的屈服條件?！∮不?guī)律：屈服面的大小和形狀由于內(nèi)變量的出現(xiàn)而發(fā)生變化的規(guī)律。,－、塑性本構(gòu)

22、關(guān)系及特點,55,理想塑性模型：屈服面的大小和形狀不隨內(nèi)變量的出現(xiàn)而發(fā)生變化?！〉认蛴不Ｐ停呵娴拇笮『托螤铍S內(nèi)變量的出現(xiàn)而而均勻擴(kuò)大（硬化）或縮?。ㄜ浕??！‰S動硬化模型：屈服面的大小和形狀隨內(nèi)變量的出現(xiàn)保持不變，而在應(yīng)力空間作平動。,－、塑性本構(gòu)關(guān)系及特點,56,(2)加—卸載準(zhǔn)則：材料進(jìn)入塑性狀態(tài)以后繼續(xù)塑性變形或回到彈性狀態(tài)的準(zhǔn)則?！τ谟不牧希?－、塑性本構(gòu)關(guān)系及特點,57,(3)本構(gòu)方程：材料在塑性階段的應(yīng)

23、力應(yīng)變關(guān)系（全量理論）或應(yīng)力與應(yīng)變增量間的關(guān)系（增量理論）。通式可寫為：,式中：R 表示某一函數(shù)關(guān)系。,－、塑性本構(gòu)關(guān)系及特點,58,dλ是一個待定的非負(fù)尺度參數(shù)，加載時＞0，中性變載和卸載時＝0?！為塑性勢函數(shù)，g=f時稱關(guān)聯(lián)塑性，否則為非關(guān)聯(lián)塑性。,－、塑性本構(gòu)關(guān)系及特點,59,二、FLAC中的M－C彈塑性本構(gòu)模型,60,二、FLAC中的M－C彈塑性本構(gòu)模型,塑性勢函數(shù)：,61,二、FLAC中的M－C彈塑性本構(gòu)模型,總應(yīng)變與主應(yīng)

24、力增量：,62,二、FLAC中的M－C彈塑性本構(gòu)模型,剪切屈服塑性應(yīng)變：,63,二、FLAC中的M－C彈塑性本構(gòu)模型,迭代一步后的應(yīng)力調(diào)整與塑性修正,按彈性試算的推測應(yīng)力,新應(yīng)力在屈服面上，從而得出：,64,二、FLAC中的M－C彈塑性本構(gòu)模型,拉伸屈服塑性應(yīng)變：,65,第4.3節(jié)結(jié)束，謝謝！,66,4.4　巖石粘性本構(gòu)關(guān)系（巖石流變理論）,67,流變性質(zhì)：指材料的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系與時間因素有關(guān)的性質(zhì)?！×髯儸F(xiàn)象：材料變形過程中具有時

25、間效應(yīng)的現(xiàn)象。 巖石的變形不僅表現(xiàn)出彈性和塑性，而且也具有流變性質(zhì)，巖石的流變包括蠕變、松弛和彈性后效。,一、巖石流變的概念,68,蠕變是當(dāng)應(yīng)力不變時，變形隨時間增加而增長的現(xiàn)象。 松弛是當(dāng)應(yīng)變不變時，應(yīng)力隨時間增加而減小的現(xiàn)象。 彈性后效是加載或卸載時，彈性應(yīng)變滯后于應(yīng)力的現(xiàn)象。,一、巖石流變的概念,69,當(dāng)巖石在某一較小的恒定荷載持續(xù)作用下，其變形量雖然隨時間增長有所增加，但蠕變變形的速率則隨時間增長而減少，最后變形趨于

26、一個穩(wěn)定的極限值，這種蠕變稱為穩(wěn)定蠕變。,一、巖石流變的概念,70,當(dāng)荷載較大時，蠕變不能穩(wěn)定于某一個極限值，而是無限增長直到破壞（abcd)，這種蠕變稱為不穩(wěn)定蠕變。這是典型的蠕變曲線。,一、巖石流變的概念,71,依應(yīng)變速率蠕變過程可分為三個階段： 1、ab段，應(yīng)變速率隨時間增加而減小，稱為減速蠕變段或初始蠕變段。,一、巖石流變的概念,2、bc段:應(yīng)變速率不變，稱為等速蠕變段 3、cd段：應(yīng)變速率迅速增加直到巖石破壞，稱為加速

27、蠕變段。,72,一種巖石既可發(fā)生穩(wěn)定蠕變，也可發(fā)生不穩(wěn)定蠕變，這取決于巖石應(yīng)力的大小。超過某一臨界應(yīng)力時，蠕變向不穩(wěn)定蠕變發(fā)展，小于此臨界應(yīng)力時，蠕變按穩(wěn)定蠕變發(fā)展，通常稱此臨界應(yīng)力為巖石的長期強(qiáng)度。,一、巖石流變的概念,73,在流變學(xué)中，流變性主要研究材料流變過程中的應(yīng)力、應(yīng)變和時間的關(guān)系，用應(yīng)力、應(yīng)變和時間組成的流變方程來表達(dá)，流變方程主要包括本構(gòu)方程、蠕變方程和松弛方程。,二、巖石流變模型簡述,74,在一系列的巖石流變試驗基礎(chǔ)上，

28、建立反映巖石流變性質(zhì)的流變方程的方法主要有： 1、經(jīng)驗方程法；　2、微分方程法(流變模型理論法)。,二、巖石流變模型簡述,75,根據(jù)巖石蠕變試驗結(jié)果，由數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的回歸擬合方法建立經(jīng)驗方程。巖石蠕變經(jīng)驗方程的通常形式為：,三、經(jīng)驗方程法,式中：ε(t)為t時間的應(yīng)變；ε0為瞬時應(yīng)變；ε1(t)為初始段應(yīng)變；ε2(t)為等速段應(yīng)變；ε3(t)為加速段應(yīng)變。,76,(1)、冪函數(shù)方程（大理巖試驗結(jié)果）：第1、2段軸向蠕變方程：,三、

29、經(jīng)驗方程法,第1、2段側(cè)向蠕變方程：,77,(2)、指數(shù)方程　閃長玢巖試件進(jìn)行單軸壓縮蠕變試驗，加載到5噸后產(chǎn)生加速蠕變，其蠕變曲線為指數(shù)方程：,三、經(jīng)驗方程法,78,三、經(jīng)驗方程法,(3)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)混合方程干燥鈣質(zhì)石灰?guī)r：,干燥白云質(zhì)石灰?guī)r,干燥砂巖,79,四、微分方程法基本元件,微分方程法在研究巖石的流變性質(zhì)時，將介質(zhì)理想化，歸納成各種模型。模型可用理想化的具有彈性、塑性和粘性等基本性能的元件組合而成，通過這些元

30、件不同形式的串聯(lián)和并聯(lián)，得到一些典型的流變模型體，相應(yīng)地推導(dǎo)出它們的有關(guān)微分方程，即建立模型的本構(gòu)方程和有關(guān)的特性曲線?！∥⒎帜Ｐ图仁菙?shù)學(xué)模型，又是物理模型，數(shù)學(xué)上簡便，比較形象，容易掌握。,80,四、微分方程法基本元件,1、彈性元件（H）,胡克體的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系是線彈性的，其本構(gòu)方程為：,81,四、微分方程法基本元件,彈性元件（H）的性能： (1)、具有瞬時彈性變形性質(zhì)，無論荷載大小，只要應(yīng)力不為零，就有相應(yīng)的應(yīng)變，當(dāng)應(yīng)力變?yōu)榱?/p>

31、(卸載)時，應(yīng)變也為零，說明沒有彈性后效，即與時間無關(guān)。 (2)、應(yīng)變恒定時，應(yīng)力也保持不變，應(yīng)力不因時間增長而減小，即無應(yīng)力松弛性質(zhì)。 (3)、應(yīng)力保持恒定，應(yīng)變也保持不變，即無蠕變性質(zhì)。,82,四、微分方程法基本元件,2、塑性元件（Y） 物體所受的應(yīng)力達(dá)到屈服極限時便開始產(chǎn)生塑性變形，即使應(yīng)力不再增加，變形仍不斷增長，具有這一性質(zhì)的物體為理想的塑性體，其力學(xué)模型用一個摩擦片(或滑塊)表示，并以符號Y代表。,83,四、微分

32、方程法基本元件,理想塑性體的本構(gòu)方程為：,84,四、微分方程法基本元件,3、粘性元件 牛頓流體是一種理想粘性體，符合牛頓流動定義，即應(yīng)力與應(yīng)變速率成正比，牛頓流體的力學(xué)模型是用一個帶孔活塞組成的阻尼器，并用符號N表示，通常稱為粘性元件。,85,四、微分方程法基本元件,粘性元件的本構(gòu)關(guān)系為：,式中：η為牛頓粘性系數(shù)將上式積分，并考慮初始條件可得：,86,四、微分方程法基本元件,粘性元件性質(zhì)： (1)、牛頓體的應(yīng)變與時間有關(guān)，無瞬

33、時變形。 (2)、去掉外力后應(yīng)變?yōu)槌?shù)，活塞的位移立即停止，不再恢復(fù)。牛頓體無彈性后效，有永久變形。 (3)、當(dāng)應(yīng)變保持某一恒定值后，應(yīng)力為零，無應(yīng)力松弛性能。,87,四、微分方程法基本元件,基本元件組合：1、串聯(lián)　應(yīng)力：σ＝σ1＝σ2　應(yīng)變：ε＝ε1＋ε22、并聯(lián)　應(yīng)力：σ＝σ1＋σ2　應(yīng)變：ε＝ε1＝ε2,三個基本元件串聯(lián)、并聯(lián)、串并聯(lián)和并串聯(lián)等多種形式的組合，構(gòu)成模擬巖石的多種模型,88,五、圣維南體,圣維南體

34、由一個彈簧和一個摩擦片串聯(lián)組成，代表彈塑性體。,89,五、圣維南體,1、本構(gòu)方程 當(dāng)σ小于摩擦片的摩擦阻力時，彈簧產(chǎn)生瞬時彈性變形σ／k，而摩擦片沒有變形，即ε2＝0；當(dāng)σ＞σs時，即克服了摩擦片的摩擦阻力后，摩擦片在σ作用下無限制滑動。本構(gòu)方程為：,90,五、圣維南體,2、卸載特性 如在某時刻卸載，使σ＝0，則彈性變形全部恢復(fù)，塑性變形停止，但已發(fā)生的塑性變形永久保留。 圣維南體代表理想彈塑性體，無蠕變，無松弛，無彈性后效

35、。,91,六、馬克斯威爾體,馬克斯威爾體（Maxwell)是一種彈粘性體，它由一個彈簧和一個阻尼器串聯(lián)組成。,92,六、馬克斯威爾體,1、本構(gòu)方程　由串聯(lián)可得：,93,六、馬克斯威爾體,2、蠕變方程在恒定荷載條件下：本構(gòu)方程簡化為：,模型有瞬時應(yīng)變，并隨著時間增長應(yīng)變逐漸增大，這種模型反映的是等速蠕變。,94,六、馬克斯威爾體,3、松弛方程　保持ε不變，則有dε/dt＝0，本構(gòu)方程變?yōu)椋?95,六、馬克斯威爾體,時間t增加時，應(yīng)

36、力σ逐漸減少，即應(yīng)變恒定時，應(yīng)力隨時間的增長而逐漸減少，產(chǎn)生松弛現(xiàn)象。,96,六、馬克斯威爾體,馬克斯威爾體具有瞬時變形、等速蠕變和松弛的性質(zhì)，屬于不穩(wěn)定蠕變，可用來描述具有這些性質(zhì)的巖石。,97,七、開爾文體,開爾文體（Kelvin)是一種粘彈性體，它由胡克體與牛頓體即一個彈簧和一個阻尼器并聯(lián)而成。,98,1、本構(gòu)方程　由并聯(lián)可得：,七、開爾文體,99,2、蠕變方程在恒定荷載條件下：本構(gòu)方程簡化為：,模型屬穩(wěn)定蠕變。,七、開爾文

37、體,100,3、缷載方程　t=t1時卸載，σ＝0，本構(gòu)方程變?yōu)椋?七、開爾文體,101,當(dāng)t=t1時，應(yīng)力雖已減為零，但應(yīng)變是隨時間的增長逐漸減小，阻尼器在彈簧收縮時，也隨之逐漸恢復(fù)變形，當(dāng)t→∞時，應(yīng)變?yōu)?，表明彈性元件與粘性元件完全恢復(fù)變形，這種現(xiàn)象即為彈性后效。,七、開爾文體,102,4、松馳方程　模型應(yīng)變保持恒定，ε＝ε0＝常數(shù)，本構(gòu)方程變?yōu)椋?七、開爾文體,當(dāng)應(yīng)變保持恒定時，應(yīng)力也就保持恒定，并不隨時間增長而減小，即模型元

38、無應(yīng)力松弛性能。 綜上所述，開爾文體屬于穩(wěn)定蠕變模型，有彈性后效，沒有松弛。,103,八、廣義開爾文體,廣義開爾文體由一個開爾文元件和一個彈簧串聯(lián)組成。,104,八、廣義開爾文體,1、本構(gòu)方程由于串聯(lián)，故：,對于彈簧：,對于開爾文體：,105,八、廣義開爾文體,整理即得廣義開爾文體本構(gòu)方程：,106,八、廣義開爾文體,2、蠕變方程,3、彈性后效,107,九、飽依?。瓬愤d體,飽依丁—湯姆遜體由一個馬克斯威爾體和一個彈簧并聯(lián)組成

39、。,108,1、本構(gòu)方程由于并聯(lián)，故：,對于胡克體：,對于馬克斯威爾體：,九、飽依?。瓬愤d體,109,兩部分并聯(lián)、整理即得馬克斯威爾體本構(gòu)方程：,九、飽依?。瓬愤d體,110,2、蠕變方程,九、飽依?。瓬愤d體,穩(wěn)定蠕變模型有彈性后效,111,十、巖石長期強(qiáng)度,一般情況下，當(dāng)荷載達(dá)到巖石瞬時強(qiáng)度時，巖石發(fā)生破壞，在巖石承受荷載低于其瞬時強(qiáng)度的情況下，如持續(xù)作用較長時間，由于流變作用，巖石也可能發(fā)生破壞?！r石的強(qiáng)度是隨外載作用時

40、間的延長而降低的，通常把作用時間t→∞的強(qiáng)度(最低值)S∞稱之為巖石的長期強(qiáng)度。,112,十、巖石長期強(qiáng)度,長期強(qiáng)度曲線可用指數(shù)型經(jīng)驗方程表示：,113,十、巖石長期強(qiáng)度,巖石的長期強(qiáng)度的確定,114,十、巖石長期強(qiáng)度,巖石的長期強(qiáng)度的確定,115,十、巖石長期強(qiáng)度,巖石長期強(qiáng)度是一種極有意義的時間效應(yīng)指標(biāo)，當(dāng)衡量永久性及使用期長的巖石工程的穩(wěn)定性時，不應(yīng)以瞬時強(qiáng)度而應(yīng)以長期強(qiáng)度作為巖石強(qiáng)度的計算指標(biāo)。,116,十、巖石長期強(qiáng)度,在恒定

41、荷載長期作用下，巖石會在比瞬時強(qiáng)度小得多的情況下破壞，根據(jù)目前試驗資料，對于大多數(shù)巖石，長期強(qiáng)度／瞬時強(qiáng)度（S∞ /S0)為0.4～0.8，軟巖和中等堅固巖石為0.4 ～ 0.6，堅固巖石為0.7 ～ 0.8。,117,第4.4節(jié)結(jié)束，謝謝！,118,4.5 巖石強(qiáng)度理論,119,巖石的強(qiáng)度是指巖石抵抗破壞的能力?！∑茐氖侵笌r石材料的應(yīng)力超過了它的極限或者變形超過了它的使用限制，本章主要指應(yīng)力超過了它的極限?！r石材料破壞的形式主要

42、有兩類：　1、斷裂破壞，破壞發(fā)生于應(yīng)力達(dá)到強(qiáng)度極限；　2、流動破壞，出現(xiàn)顯著的塑性變形或流動現(xiàn)象 ，流動破壞發(fā)生于應(yīng)力達(dá)到屈服極限。,基本概念,120,簡單應(yīng)力狀態(tài)下可通過試驗來確定材料的強(qiáng)度，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下對材料在各種應(yīng)力狀態(tài)下一一進(jìn)行試驗來建立強(qiáng)度準(zhǔn)則顯然難以實現(xiàn)?！〔捎门袛嗤评淼姆椒ㄌ岢鲆恍┘僬f，推測材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的破壞原因，建立強(qiáng)度準(zhǔn)則，這樣的一些假說稱為強(qiáng)度理論。,基本概念,121,巖石強(qiáng)度理論：研究巖石在各種應(yīng)力

43、狀態(tài)下的強(qiáng)度準(zhǔn)則的理論?！?qiáng)度準(zhǔn)則（破壞判據(jù)）：表征巖石在極限應(yīng)力狀態(tài)下(破壞條件)的應(yīng)力狀態(tài)和巖石強(qiáng)度參數(shù)之間的關(guān)系?！∫话憧梢员硎緸闃O限應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)力間的關(guān)系方程，或表示為處于極限平衡狀態(tài)截面上的剪應(yīng)力和正應(yīng)力間的關(guān)系方程。,基本概念,122,一、庫侖準(zhǔn)則,,最簡單、最重要的準(zhǔn)則是由庫侖于1773年提出的“摩擦”準(zhǔn)則。 庫侖認(rèn)為，巖石的破壞主要是剪切破壞，巖石的強(qiáng)度，即抗摩擦強(qiáng)度等于巖石本身抗剪切摩擦的粘結(jié)力和剪切面

44、上法向力產(chǎn)生的摩擦力。即平面中的剪切強(qiáng)度準(zhǔn)則為：,123,一、庫侖準(zhǔn)則,,圖解表示（應(yīng)力圓）,124,一、庫侖準(zhǔn)則,,主應(yīng)力空間的表達(dá)式,125,二、莫爾準(zhǔn)則,,莫爾(1900年)把庫侖準(zhǔn)則進(jìn)一步推廣，最主要的貢獻(xiàn)是認(rèn)識到材料性質(zhì)本身乃是應(yīng)力的函數(shù)。他總結(jié)指出“到極限狀態(tài)時，滑動平面上的剪應(yīng)力達(dá)到一個取決于正應(yīng)力與材料性質(zhì)的最大值”。,126,二、莫爾準(zhǔn)則,,τ＝f(σ)在τ-σ坐標(biāo)系中為一條對稱于σ軸的曲線，它可通過單軸抗拉、單軸壓縮

45、及三軸壓縮等試驗求得，由對應(yīng)于各種應(yīng)力狀態(tài)下的極限莫爾應(yīng)力圓的包絡(luò)線給定，即各極限莫爾圓的外公切線 (稱為莫爾強(qiáng)度包絡(luò)線 )。,127,二、莫爾準(zhǔn)則,,莫爾包絡(luò)線的具體表達(dá)式，可根據(jù)試驗結(jié)果用擬合法求得。目前已提出的包絡(luò)線形式有：斜直線型、二次拋物線型、雙曲線型等，其中斜直線型與庫侖準(zhǔn)則一致，可以認(rèn)為庫侖準(zhǔn)則是莫爾準(zhǔn)則的一個特例。,128,二、莫爾準(zhǔn)則,泥灰?guī)r、砂巖、泥頁巖等巖石的強(qiáng)度包絡(luò)線近似于二次拋物線。,1、二次拋物線型

46、,129,二、莫爾準(zhǔn)則,二次拋物線型的表達(dá)式為：,式中：σt為巖石的單軸抗拉強(qiáng)度； n為待定系數(shù)。,130,二、莫爾準(zhǔn)則,,2．雙曲線型　砂巖、灰?guī)r、花崗巖等巖石的強(qiáng)度包絡(luò)線近似于雙曲線。,131,二、莫爾準(zhǔn)則,,雙曲線型的表達(dá)式為：,式中：Φ1為包絡(luò)線漸進(jìn)線的傾角。,132,二、莫爾準(zhǔn)則,,莫爾強(qiáng)度理論實質(zhì)上是一種剪應(yīng)力強(qiáng)度理論?！∧獱枏?qiáng)度理論的優(yōu)點：比較全面地反映了巖石的強(qiáng)度特征，既適用于塑性巖石，也適用于脆性巖石

47、的剪切破壞，同時也反映了巖石抗拉強(qiáng)度遠(yuǎn)小于抗壓強(qiáng)度這一特性，并能解釋巖石在三向等拉時發(fā)生破壞，而在三向等壓時不會破壞的特點。,133,二、莫爾準(zhǔn)則,,莫爾強(qiáng)度理論的缺點是忽略了中間主應(yīng)力的影響，與試驗結(jié)果有一定的出入。另外，該判據(jù)只適用于剪切破壞，受拉區(qū)的適用性還值得進(jìn)一步探討，并且不適用于膨脹或蠕變破壞。,134,二、莫爾準(zhǔn)則,,莫爾強(qiáng)度理論的修正：,135,三、格里菲斯強(qiáng)度,,格里菲斯于1920年認(rèn)為，鋼和玻璃之類的脆性材料，其斷裂

48、的起因是分布在材料中的微小裂紋尖端有拉應(yīng)力集中所致?！「窭锓扑菇⒘舜_定斷裂擴(kuò)展的能量不穩(wěn)定原理。,136,三、格里菲斯強(qiáng)度,,1924年，Griffith把他的理論推廣到用于壓縮試驗的情況，在不考慮摩擦對壓縮下閉合裂紋的影響和假定橢圓裂紋將從最大拉應(yīng)力集中點開始擴(kuò)展的情況下，獲得了雙向壓縮下裂紋擴(kuò)展準(zhǔn)則，即所謂的Griffith強(qiáng)度準(zhǔn)則。,137,三、格里菲斯強(qiáng)度,,138,三、格里菲斯強(qiáng)度,,格里菲斯理論特點：　1、材料

49、單軸抗壓強(qiáng)度是抗拉強(qiáng)度的8倍，反映了脆性材料的基本力學(xué)特征。這個由理論上嚴(yán)格給出的結(jié)果，數(shù)量級上是合理的，但在細(xì)節(jié)上還有些出入。,139,三、格里菲斯強(qiáng)度,,2、材料發(fā)生斷裂時，可能處于各種應(yīng)力狀態(tài)，這一結(jié)果驗證了格里菲斯準(zhǔn)則所認(rèn)為的，不論何種應(yīng)力狀態(tài)，材料都是因裂紋尖端附近達(dá)到極限拉應(yīng)力而斷裂開始擴(kuò)展的基本觀點，即材料的破壞機(jī)理是拉伸破壞，在準(zhǔn)則的理論解中還可以證明，新裂紋與最大主應(yīng)力方向斜交，而且擴(kuò)展方向會最終趨于與最大主應(yīng)力平行。

50、,140,三、格里菲斯強(qiáng)度,,Griffith強(qiáng)度準(zhǔn)則是針對玻璃和鋼等脆性材料提出來的，因而只適用于研究脆性巖石的破壞，而對一般的巖石材料，Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則的適用性要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于Griffith強(qiáng)度準(zhǔn)則。,141,四、德魯克－普拉格強(qiáng)度準(zhǔn)則,,Mohr-Coulomb準(zhǔn)則體現(xiàn)了巖土材料壓剪破壞的實質(zhì)，所以獲得廣泛的應(yīng)用，但這類準(zhǔn)則沒能反映中間主應(yīng)力的影響，不能解釋巖土材料在靜水壓力下也能屈服或破壞的現(xiàn)象。,142,四、德魯

51、克－普拉格強(qiáng)度準(zhǔn)則,,德魯克－普拉格強(qiáng)度準(zhǔn)則是摩爾－庫侖準(zhǔn)則和塑性力學(xué)中著名的米塞斯強(qiáng)度準(zhǔn)則基礎(chǔ)上的擴(kuò)展和推廣而得。,143,四、德魯克－普拉格強(qiáng)度準(zhǔn)則,,K與α為實驗常數(shù)，與巖石內(nèi)摩擦角和粘結(jié)力的關(guān)系為：,144,四、德魯克－普拉格強(qiáng)度準(zhǔn)則,,德魯克－普拉格準(zhǔn)則計入了中間主應(yīng)力的影響，又考慮了靜水壓力作用，克服了摩爾－庫侖準(zhǔn)則的主要弱點，已在國內(nèi)外巖土力學(xué)與工程的數(shù)值計算分析中獲得廣泛的應(yīng)用。,145,五、巖土強(qiáng)度理論綜述與比較,我們

52、所熟知的材料的四種古典的強(qiáng)度理論是：　1、最大正（拉）應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）；　2、最大正（拉）應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）；　3、最大剪應(yīng)力理論　　?。ǖ谌龔?qiáng)度理論）；　4、能量理論　　　　　　（第四強(qiáng)度理論）?！∵@些強(qiáng)度理論主要是針對如鋼材等連續(xù)介質(zhì)提出來的，對于碎散、多相的土一般不適用。,146,1.屈雷斯卡（Tresca）準(zhǔn)則　　屈雷斯卡強(qiáng)度準(zhǔn)則實際上是古典強(qiáng)度理論中的最大剪應(yīng)力理論。它是1864 年屈雷斯卡針對金屬材

53、料所提出的一個屈服準(zhǔn)則。用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示成：　　k 是一個材料常數(shù)，是試驗中試樣破壞時的純剪應(yīng)力。σ1 和σ3 分別為最大和最小主應(yīng)力。如果用應(yīng)力不變量形式表述，上式可寫成：,五、巖土強(qiáng)度理論綜述與比較,147,在土力學(xué)中，這一準(zhǔn)則只有對于飽和粘土的不排水強(qiáng)度指標(biāo)才適用。這時這個準(zhǔn)則在主應(yīng)力空間σ1、σ2、σ3（σ1、σ2、σ3 只代表三個主應(yīng)力，而不代表大小次序）表示為一個正六邊形的棱柱面。它在π平面的斷面是一個正六邊形。,

54、五、巖土強(qiáng)度理論綜述與比較,148,2、廣義屈雷斯卡準(zhǔn)則（Extended Tresca criterion）Tresca 準(zhǔn)則沒有反映平均主應(yīng)力p（或應(yīng)力第一不變量I1）對抗剪強(qiáng)度的影響，所以它一般不適用于表示土的強(qiáng)度，對于巖土材料，人們推廣這個強(qiáng)度準(zhǔn)則成為廣義的屈雷斯卡準(zhǔn)則，可表示成：,其中αI1 反映平均主應(yīng)力的影響。,10,五、巖土強(qiáng)度理論綜述與比較,149,廣義屈雷斯卡準(zhǔn)則所定義的破壞面在主應(yīng)力空間是一個正六邊形的角錐面。,

55、五、巖土強(qiáng)度理論綜述與比較,150,3. 密塞斯（Von Mises）準(zhǔn)則這一準(zhǔn)則實際上是古典強(qiáng)度理論中形變能（畸變能）理論。實質(zhì)上也是一種以八面體剪應(yīng)力判斷破壞的理論。它們用三個主應(yīng)力可以表示為：用應(yīng)力不變量也可表示為：,五、巖土強(qiáng)度理論綜述與比較,151,密塞斯準(zhǔn)則在主應(yīng)力空間代表一個圓柱面。它在π平面上的軌跡是一個園。由于它不像Tresca 準(zhǔn)則那樣有一些角點，在用作屈服面時，Mises 準(zhǔn)則是光滑的，所以人們常在數(shù)值計算

56、中選用為屈服準(zhǔn)則?？墒撬鼪]有反映平均主應(yīng)力p 對抗剪強(qiáng)度的影響，所以和Tresca 準(zhǔn)則一樣，只對于飽和粘土的不排水強(qiáng)度可以近似地使用。,五、巖土強(qiáng)度理論綜述與比較,152,4. 廣義密塞斯（Extended Von Mises）準(zhǔn)則為了反映平均主應(yīng)力p（或者應(yīng)力第一不變量I1）對土抗剪強(qiáng)度的影響，Drucker 和Prager 于1952 年發(fā)展了廣義Mises 準(zhǔn)則（Extended Von Mises criterion）或者D

57、rucker－Prager 準(zhǔn)則。它的表達(dá)式可寫成：,其中k 與α為材料常數(shù)。廣義密塞斯準(zhǔn)則在主應(yīng)力空間表示為一個正圓錐面，在π平面軌跡仍是一個圓。,五、巖土強(qiáng)度理論綜述與比較,153,廣義Mises準(zhǔn)則（德魯克－普拉格準(zhǔn)則）所定義的破壞面在主應(yīng)力空間是一個圓錐面。在π平面上的截面形狀為一圓形。,四、德魯克－普拉格強(qiáng)度準(zhǔn)則,154,5. 莫爾－庫侖強(qiáng)度準(zhǔn)則莫爾（Mohr）于1900 年給出強(qiáng)度公式：　　　　　　即一個平面上的抗剪

58、強(qiáng)度τf 取決于作用于這個平面上的正應(yīng)力σ。其中破壞包線的函數(shù)f(σ )由試驗確定。最簡單的莫爾包線是線性的：,五、巖土強(qiáng)度理論綜述與比較,155,莫爾－庫侖強(qiáng)度準(zhǔn)則，已被廣泛應(yīng)用于巖土材料。它表明材料的抗剪強(qiáng)度與作用于該平面上正應(yīng)力有關(guān)。引起材料破壞不是由于最大剪應(yīng)力，而是決定在某個平面上τ－σ的最危險組合。用應(yīng)力不變量可表示為：,五、巖土強(qiáng)度理論綜述與比較,156,莫爾－庫侖強(qiáng)度準(zhǔn)則在主應(yīng)力空間為不規(guī)則六面錐體表面，在π平面上的截面

59、形狀為一不規(guī)則的六邊形。,五、巖土強(qiáng)度理論綜述與比較,157,6. 萊特－鄧肯強(qiáng)度準(zhǔn)則萊特和鄧肯在1975 年針對無粘性土提出了一種適用于砂土的彈塑性模型，采用不相關(guān)聯(lián)的流動準(zhǔn)則，但其中屈服面，塑性勢面和破壞面在形狀上是一致的。這樣就提出了一個很有代表性的破壞準(zhǔn)則。它用應(yīng)力不變量的形式表示：,其中kf 是與砂土密度有關(guān)的材料常數(shù)。,五、巖土強(qiáng)度理論綜述與比較,158,萊特－鄧肯強(qiáng)度準(zhǔn)則的破壞面在主應(yīng)力空間是一個錐面，頂點在坐標(biāo)原點。在

60、π平面的軌跡是梨形的封閉曲線。在常規(guī)三軸壓縮試驗中，當(dāng)?→0°時趨近于圓；當(dāng)?＝90°時，它退化為一個正三角形。由于在各向等壓（σ1＝σ2＝σ3）時I13/I3 =27，所以kf>27 是必要條件，因為靜水壓力下不會引起材料破壞。,五、巖土強(qiáng)度理論綜述與比較,159,對于砂土和正常固結(jié)粘土，萊特的破壞準(zhǔn)則是相當(dāng)成功的，它的表達(dá)式簡單，試驗常數(shù)少，并且能較全面地反映復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下土強(qiáng)度的主要影響因素。,五、巖土強(qiáng)

61、度理論綜述與比較,160,五、巖土強(qiáng)度理論綜述與比較,161,7. 松岡元-中井照夫破壞準(zhǔn)則基于空間滑動面概念，松岡元等認(rèn)為三維主應(yīng)力狀態(tài)中的三個莫爾圓對于土的強(qiáng)度都有影響，因而強(qiáng)度理論公式中應(yīng)包含有這三個剪切角。,五、巖土強(qiáng)度理論綜述與比較,162,對于砂土，它的破壞準(zhǔn)則表示為：,五、巖土強(qiáng)度理論綜述與比較,163,松岡元—中井照夫破壞準(zhǔn)則在主應(yīng)力空間的形式也是一個圓錐面，π平面軌跡與萊特－鄧肯準(zhǔn)則相似。,五、巖土強(qiáng)度理論綜述與比較

62、,164,8. 雙剪應(yīng)力強(qiáng)度理論我國西安交通大學(xué)的俞茂宏認(rèn)為土的破壞不僅僅取決于大主剪應(yīng)力（σ1-σ3），而是由三個主剪應(yīng)力中的較大的兩個所決定的。提出了雙剪應(yīng)力強(qiáng)度理論。,五、巖土強(qiáng)度理論綜述與比較,165,廣義雙剪應(yīng)力強(qiáng)度理論的原理及表達(dá)式這個強(qiáng)度理論的原理是：當(dāng)作用于某土單元上的兩個占主導(dǎo)地位的主剪應(yīng)力及相應(yīng)的主正應(yīng)力的函數(shù)達(dá)到某一極限值時，土單元發(fā)生破壞。其一般表達(dá)式為：其中b、c 和β為三個材料常數(shù)。,五、巖土

63、強(qiáng)度理論綜述與比較,166,廣義雙剪應(yīng)力強(qiáng)度理論在主應(yīng)力空間中的極限狀態(tài)面為一個不等邊開口的錐面。,五、巖土強(qiáng)度理論綜述與比較,167,廣義雙剪應(yīng)力強(qiáng)度理論的特例（1） 當(dāng)b＝β＝0 時，退化成屈雷斯卡強(qiáng)度準(zhǔn)則。 （2） 當(dāng)b＝0 時，退化為莫爾－庫侖強(qiáng)度準(zhǔn)則?！≌{(diào)整參數(shù)b 和β，這種強(qiáng)度理論的應(yīng)用范圍較大，但由于事先需要判斷，所以相對比較麻煩，在實際問題中應(yīng)用不夠廣泛。,五、巖土強(qiáng)度理論綜述與比較,168,第四章結(jié)束，謝