工程力學(xué)力的平移定理04

1、,平面任意力系：各力的作用線位于同一平面內(nèi)，但既不匯交 于一點(diǎn)又不相互平行的力系叫平面任意力系。,研究方法：,平面任意力系(未知),平面匯交力系(已知),,,平面力偶系(已知),§4–1 力的平移,定理： 作用在剛體上的力可以平行移動(dòng)到剛體上的任一點(diǎn)而不 改變其對(duì)剛體的作用效應(yīng)，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶， 其力偶矩等于原

2、來(lái)的力對(duì)新的作用點(diǎn)的力矩。,=,=,∴,,,平移,等效,可知：平移時(shí)力的大小、方向不變，M 隨平移點(diǎn)的位置而變。,∴,,平移,,§4–2 平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化,一、 平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化,平面任意力系,平面匯交力系：,平面力偶系：,平面匯交力系合力：,平面力偶系合力偶矩：,MO,的作用線過O點(diǎn)，稱 為平面任意力系的主矢。,稱 MO 為平面任意力系對(duì)簡(jiǎn)化中心 O 點(diǎn)的主矩。,=,平面任意力系,平面匯交力系：,平面

3、力偶系：,平面匯交力系合力：,平面力偶系合力偶矩：,MO,結(jié)論：平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化，可得到一個(gè)力和一個(gè)力偶， 這個(gè)力等于該力系的主矢，力的作用線通過簡(jiǎn)化中心 O點(diǎn)，這個(gè)力偶的力偶矩等于該力系對(duì)簡(jiǎn)化中心 O 點(diǎn) 的主矩。,可知：O 點(diǎn)位置不同時(shí)，主矢 不變，主矩 MO 不同。,=,,,MO,取坐標(biāo)系 Oxy ，則,,O,主矢的解析式：,,對(duì)O 點(diǎn)主矩的解析式：,=,固定

4、端(插入端)的約束力：,如：,雨 棚,車 刀,,,認(rèn)為固定端受一平面任意力系作用；,將平面任意力系向 A 點(diǎn)簡(jiǎn)化，得,一力：,一力偶：MA,,限制物體移動(dòng)。,限制物體轉(zhuǎn)動(dòng)。,固定端約束力：,二、 平面任意力系簡(jiǎn)化的最后結(jié)果,簡(jiǎn)化結(jié)果：,1. 平面任意力系簡(jiǎn)化為一個(gè)力偶,若,此時(shí)原力系簡(jiǎn)化為一力偶，其力偶矩為 ，且為一常量。,即 MO 與 O 點(diǎn)位置無(wú)關(guān)(力偶對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩都相同)

5、。,2. 平面任意力系簡(jiǎn)化為一個(gè)合力,若,合力的作用線過O 點(diǎn)。,原力系簡(jiǎn)化為一合力 ，且,若,原力系簡(jiǎn)化為一力，一力偶，可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為一力。,MO,,作用線通過 A 點(diǎn)，,,,3. 平面任意力系平衡的情形,若,則平面任意力系平衡。,MO=FR·d,§4–3 平面任意力系的平衡條件,一、平面任意力系平衡方程的基本形式,簡(jiǎn)化結(jié)果： 主矢 ，主矩 MO,若

6、 時(shí)，力系向其他點(diǎn)簡(jiǎn)化也均為零，,力系一定平衡——充分性；,反之，若要力系平衡， 、MO 必須為零——必要性。,∴ 平面任意力系的平衡條件： 、MO 均為零。,即：,,而：,∴得平衡方程,,力系各力在 x 軸上投影的代數(shù)和為零；,力系各力在 y 軸上投影的代數(shù)和為零；,力系各力對(duì)任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和為零。,二、平面任意力系平衡方程的二力矩形式與三力矩形式,其中A、B為任意兩點(diǎn)，但 A、B 連線不得垂直于 x

7、軸(或 y 軸)。,,1. 二力矩形式,2. 三力矩形式,,其中 A、B、C 為任意三點(diǎn)，但 A、B、C 三點(diǎn)不得共線。,當(dāng)平面任意力系平衡方程用于平面匯交力系時(shí)：,,對(duì)力系匯交點(diǎn)總有：,∴ 只需,當(dāng)平面任意力系平衡方程用于平面力偶系時(shí)：,總有：,∴ 只需,三、平面平行力系的平衡條件,平面平行力系：力系中各力作用線位于同一平面且相互平行。,設(shè)力系各力平于 y 軸：,即總有：,∴ 只需,可求解二各未知量。,則各力在 x 軸上的投影均為

8、零，,,也可用二力矩形式：,其中 A、B 連線不得與各力平行。,,,例1 支架的橫梁AB與斜桿DC彼此以鉸鏈C連接，并各以鉸鏈A、 D連接于鉛直墻上，如圖所示。已知桿AC=CB，桿DC與 水平線成45º角；載荷F=10kN，作用于B處。設(shè)梁和桿的 重量忽略不計(jì)，求鉸鏈A的約束力和桿DC所受的力。,1. 取AB桿為研究對(duì)象；,3. 選坐標(biāo)系，列平衡方程,解：,2. 作受力圖；,SF

9、x= 0 FAx +FC cos45º = 0,SFy= 0 FAy +FC sin45º – F = 0,SMA(F)= 0 FC cos45º·l – F·2l = 0,4. 求解,FC = 28.28kN,FAx = – 20kN,FAy = – 10kN,,例2 伸臂式起重機(jī)如圖所示，勻質(zhì)伸臂AB 重P =2200 N，吊車 D、E連同吊起重物各重F1= F

10、2=4000 N。已知：l =4.3 m， a = 1.5 m，b = 0.9 m，c = 0.15 m， a = 25º。 試求A處的約束力，以及拉索 BH 的拉力。,解：,1.取伸臂AB為研究對(duì)象,2.受力分析如圖,3.選如圖坐標(biāo)系，列平衡方程,SFx= 0 FAx – FB cosa = 0,SFy= 0 FAy–F1–P– F2+FB sina = 0,SMA(F)= 0,4.聯(lián)立求解,

11、FB = 12456 NFAx = 11290 NFAy = 4936 N,例3 外伸梁的尺寸及載荷如圖所示，F(xiàn)1=2 kN，F(xiàn)2=1.5 kN， M =1.2 kN·m，l1=1.5 m，l2=2.5 m。 試求支座A及支座B的約束力。,1. 取梁為研究對(duì)象,解：,2. 受力分析如圖,3. 選坐標(biāo)系，列平衡方程,SFx= 0 FAx – F2 cos60º = 0,SFy=

12、 0 FAy+ FB –F1–F2 sin60º= 0,SMA(F)= 0,FBl2–M –F1l1–F2 sin60º(l1+l2) = 0,4. 求解,FB = 3.56 kN FAx = 0.75 kN FAy = – 0.261k N,例4 如圖所示為一懸臂梁，A 為固定端，設(shè)梁上受分布集度為 q 的均布載荷作用，在自由端 B 受一集中力F 和一力偶 M 作用，梁

13、的跨度為 l。試求固定端的約束力。,2.受力分析如圖,1. 取梁為研究對(duì)象,解：,3. 選坐標(biāo)系，列平衡方程,SFx= 0 FAx – F cos45º = 0,SFy= 0 FAy – ql –F sin45º= 0,SMA(F)= 0,MA– ql·l/2 – F cos45º·l + M = 0,4. 求解,FAx = 0.707 F FAy = ql+ 0.7

14、07F,解：,1.取梁AB為研究對(duì)象,2.受力分析如圖,其中F=q×AB=300 N，作用在AB的中點(diǎn)C處。,3.選坐標(biāo)系，列平衡方程。,SFx= 0 FAx = 0,SFy= 0 FAy – F +FD = 0,SMA(F)= 0,例5 梁AB上受到一個(gè)均布載荷和一個(gè)力偶作用，已知載荷集度　　(即梁的每單位長(zhǎng)度上所受的力)q = 100 N/m，力偶矩 M = 500 N·m。長(zhǎng)度A

15、B =3m，DB =1m。 試求活動(dòng)鉸支座 D 和固定鉸支座A的約束力。,例5 梁AB上受到一個(gè)均布載荷和一個(gè)力偶作用，已知載荷集度　　(即梁的每單位長(zhǎng)度上所受的力)q = 100 N/m，力偶矩 M = 500 N·m。長(zhǎng)度AB =3m，DB =1m。 試求活動(dòng)鉸支座 D 和固定鉸支座A的約束力。,3.選坐標(biāo)系，列平衡方程。,SFx= 0 FAx = 0,SFy= 0 FA

16、y – F +FD = 0,SMA(F)= 0,4.聯(lián)立求解,FD= 475 NFAx= 0 FAy= –175 N,例6 某飛機(jī)的單支機(jī)翼重 G=7.8 kN。飛機(jī)水平勻速直線飛行時(shí)， 作用在機(jī)翼上的升力 F = 27 kN，力的作用線位置如圖示， 其中尺寸單位是mm。試求機(jī)翼與機(jī)身連接處的約束力。,解：,1.取機(jī)翼為研究對(duì)象,2.受力分析如圖,3.選坐標(biāo)系，列平衡方程。,SFx= 0 FAx = 0,S

17、Fy= 0 FAy – G +F = 0,SMA(F)= 0,4.聯(lián)立求解,FAx=0 N FAy=-19.2 kNMA=-38.6 kN·m (順時(shí)針）,例7 塔式起重機(jī)如圖所示。機(jī)架重G1=700 kN，作用線通過塔架的中心。 最大起重量G2=200 kN，最大懸臂長(zhǎng)為12 m，軌道AB的間距為4 m。 平衡荷重G3到機(jī)身中心線距離為6 m。試問： (1)保證起重

18、機(jī)在滿載和空載時(shí)都不翻倒，求平衡荷重G3應(yīng)為多少? (2)若平衡荷重G3=180kN，求滿載時(shí)軌道A，B給起重機(jī)輪子的約束力？,解：,1.取起重機(jī)為研究對(duì)象,2.受力分析如圖,SMB(F)= 0,3.列平衡方程,SMA(F)= 0,G3×(6+2)+G1×2–G 2×(12-2) – FA×4 = 0,G3×(6 –2) –G1×2–G 2×(12+2)+FB&

19、#215;4= 0,4. 起重機(jī)不翻倒時(shí)平衡荷重G3,(1) 滿載時(shí)(G2=200 kN)不繞B點(diǎn)翻倒,應(yīng)有FA≥0，即,臨界情況下為FA=0，可得G3min,8G3min+2G1–10G 2= 0,∴ G3min= 75 kN,(2) 空載時(shí)(G2=0)不繞A點(diǎn)翻倒,應(yīng)有FB≥0，即,臨界情況下為FB=0，可得G3max,2G1– 4G3max= 0,∴ G3max= 350 kN,∴有 75 kN ＜ G3 ＜ 350 kN,5

20、.取G3=180kN，求滿載(G2=200 kN) 時(shí)軌道A，B對(duì)起重機(jī)的約束力FA、 FB。,=210 kN,= 870 kN,§4–5 靜定與靜不定問題的概念,匯交力系,未知力數(shù)：,平衡方程：,平行力系,未知力數(shù)：,平衡方程：,F1、F2,FA、FB,任意力系,未知力數(shù)：,平衡方程：,FAx、Fay、MA,靜定問題： 未知力數(shù) ≤ 靜力平衡方程數(shù),匯交力系,未知力數(shù)：,平衡方程：,平行力系,未知力數(shù)：

21、,平衡方程：,、F3,、FC,F1、F2,FA、FB,任意力系,未知力數(shù)：,平衡方程：,FAx、FAy、MA,、FB,,,在靜定問題上再加上多余約束，則成為靜不定問題。,此時(shí)僅由靜力平衡方程不能求解全部未知量。,靜不定問題(超靜定問題)： 未知力數(shù) > 靜力平衡方程數(shù),須建立補(bǔ)充方程求解，在材料力學(xué)中研究。,注意：實(shí)際中多余約束可提高結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性，并 不多余。多余約束只是針對(duì)結(jié)構(gòu)平衡而言是多余的。,,,如：

22、,物系外力：物系外其他物體對(duì)物系的作用力叫物系外力。,剛體系：由若干個(gè)剛體通過約束所組成的系統(tǒng)。又稱為物系。,§4–4 剛體系的平衡,物系內(nèi)力：物系內(nèi)部各物體之間的相互作用力叫物系內(nèi)力。,如：主動(dòng)力、約束力。,如：左圖中AC桿與CE桿在C鉸鏈處的相互作用力。,物系平衡的特點(diǎn)：,① 物系靜止,② 物系平衡時(shí)，其中每一物體也處于平衡狀態(tài)，滿足各自的 平衡條件。,③ 對(duì)每一物體都可列出相應(yīng)的獨(dú)立平衡方程，其總和即為物

23、系具有的獨(dú)立平衡方程的數(shù)目。,設(shè)物系由 n 個(gè)物體組成，每個(gè)物體均受平面任意力系作用，其平衡方程數(shù)為 3，則物系的獨(dú)立平衡方程數(shù)為 3n 個(gè)，可求解 3n 個(gè)未知量。,當(dāng)物系中某些物體受平面匯交力系或平面平行力系作用時(shí)，其平衡方程數(shù)應(yīng)相應(yīng)減少。,若物系未知量數(shù)不多于物系的獨(dú)立平衡方程數(shù)時(shí)，為靜定問題，否則為靜不定問題。,未知力數(shù)：,平衡方程數(shù)：3×2=6,FAx、FAy、MA、 FCx、FCy、FB,未知力數(shù)：,∴ 為靜定

24、問題。,FAx、FAy、MA、 FCx、FCy、 FBx、FBy,平衡方程數(shù)：3×2=6,∴ 為靜不定問題。,對(duì)靜定問題，可列出每一物體的平衡方程，再組成方程組聯(lián)立求解，但常要進(jìn)行較繁的數(shù)學(xué)運(yùn)算。,在解題時(shí)，若能選取適當(dāng)?shù)难芯繉?duì)象，列出必須足夠的平衡方程，可使運(yùn)算過程簡(jiǎn)便。,求解物系平衡問題的一般方法：,例7 如圖所示為曲軸沖床簡(jiǎn)圖，由輪I，連桿AB和沖頭B組成。 A，B兩處為鉸鏈連接。OA=R，AB=

25、l。如忽略摩擦和物體 的自重，當(dāng)OA在水平位置，沖壓力為 F 時(shí)系統(tǒng)處于平衡狀 態(tài)。求(1)作用在輪I 上的力偶矩 M 的大??；(2)軸承O處的 約束反力；(3)連桿AB受的力；(4)沖頭給導(dǎo)軌的側(cè)壓力。,解：,1.取沖頭為研究對(duì)象,受力分析如圖,列平衡方程,求解得：,2.取輪 I 為研究對(duì)象,受力分析如圖,列平衡方程,求解得：,例8 三鉸拱橋及尺寸如圖所示，由左右兩段用鉸鏈C連

26、接，又用 鉸鏈A，B與基礎(chǔ)相連接。已知每段重G = 40 kN，重心分別 在D，E處，且橋面受一集中載荷F =10 kN。 設(shè)各鉸鏈都是光滑的，試求平衡時(shí)各鉸鏈中的力。,解：,1.取AC段為研究對(duì)象,受力分析如圖,列平衡方程,SFx= 0 FAx – FCx = 0,SFy= 0 FAy – G – FCy = 0,SMC(F)= 0,FAx×6 –FAy× 6 +G×5 =

27、 0,2.取BC段為研究對(duì)象,受力分析如圖,列平衡方程,SFx= 0 FBx + F'Cx = 0,SFy= 0 FBy +F'Cy –G – F = 0,SMC(F)= 0,FBx×6 +FBy×6 –F×3 – G×5 =0,列平衡方程,SFx= 0 FAx – FCx = 0,SFy= 0 FAy – G – FCy = 0,SMC(F)= 0,FAx

28、5;6 –FAy× 6 +G×5 = 0,列平衡方程,SFx= 0 FBx + F'Cx = 0,SFy= 0 FBy +F'Cy –G – F = 0,SMC(F)= 0,FBx×6 +FBy× 6 –F×3 – G×5 =0,聯(lián)立求解得：,FAx = -FBx =FCx = 9.17 kN,FAy= 42.5 kN FBy= 47.5 kN

29、 FCy= 2.5 kN,此時(shí)求解過程較繁。,若先取整體為研究對(duì)象,受力分析如圖,列平衡方程,SFx= 0 FAx + FBx = 0,SFy= 0 FAy +FBy– G – G –F= 0,SMA(F)= 0,FBy×12 –F×9 –G×1 – G×11= 0,再取BC段為研究對(duì)象,受力分析如圖,列平衡方程,SFx= 0 FBx + F'Cx = 0,SFy= 0

30、 FBy +F'Cy –G – F = 0,SMC(F)= 0,FBx×6 +FBy×6 –F×3 –G×5 =0,∴ FBy= 47.5 kN,FAy= 42.5 kN,FBx= -9.17 kN,FCx= 9.17 kN,FCy= 2.5 kN,FAx= 9.17 kN,例9 組合梁AC和CE用鉸鏈C相連，A端為固定端，E端為活動(dòng)鉸 鏈支座。受力如圖所示

31、。已知： l =8 m，F(xiàn)=5 kN，均布載荷 集度q=2.5 kN/m，力偶矩的大小M= 5 kN·m。 試求固定端A，鉸鏈C和支座E處的約束力。,解：,1.取CE段為研究對(duì)象,2.受力分析如圖,3.列平衡方程,SFy= 0,SMC(F)= 0,4.聯(lián)立求解,FE=2.5 kN， FC=2.5 kN,6.列平衡方程,SFy= 0,SMA(F)= 0,7.聯(lián)立求解,FA= 12.5 kN，MA=

32、 30 kN·m,5.取AC段為研究對(duì)象， 受力分析如圖,例10 剛架結(jié)構(gòu)的尺寸和載荷如圖所示。 試求A，B支座及C鉸鏈處的約束力。,解：,1.取剛架整體為研究對(duì)象,受力分析如圖,列平衡方程,SFx= 0 FAx + FBx + qb = 0,SFy= 0 FAy +FBy– G = 0,SMB(F)= 0,求解得：,2.取剛架左半部為研究對(duì)象,受力分析如圖,列平衡方程,SFx= 0

33、FAx + FCx + qb = 0,SFy= 0 FAy +FCy= 0,SMC(F)= 0,求解得：,一、力的平移定理,1. 一力偶,二、平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化的最后結(jié)果,本章小結(jié)：,平面任意力系習(xí)題課,是力系簡(jiǎn)化的理論基礎(chǔ)。,,平移,,2. 一合力,3. 平衡,基本形式,A、B連線不得⊥x 軸,A、B、C不得共線,三、平面一般力系的平衡方程,平面平行力系的平衡方程,A、B 連線不得與各力平行,二力矩形式,三力矩形式,二力矩形式

34、,若力系各力平于 y 軸：,平面匯交力系的平衡方程：,平面力偶系的平衡方程：,四、靜定與靜不定問題的概念,五、物系平衡問題,靜不定問題： 未知力數(shù) > 獨(dú)立的靜力平衡方程數(shù),靜定問題： 未知力數(shù) ≤ 獨(dú)立的靜力平衡方程數(shù),物系平衡時(shí)，其中每一物體也處于平衡狀態(tài)。,求解物系平衡問題的一般方法：,六、解題步驟與技巧,1. 解題步驟 ① 選研究對(duì)象 ② 畫受力圖（受力分析） ③ 選坐標(biāo)、取矩心、列平衡方程 ④ 求解未知數(shù),

35、2. 解題技巧與注意事項(xiàng)① 選研究對(duì)象應(yīng)能應(yīng)聯(lián)系已知力和未知力；② 不要漏掉固定端約束處的約束力偶；③ 選坐標(biāo)軸最好與未知力⊥或∥，取矩心最好選在未知力 的匯交點(diǎn)上；④ 充分發(fā)揮二力桿的直觀性；⑤ 靈活使用合力矩定理；⑥ 力偶矩M =常數(shù)，它對(duì)任一點(diǎn)之矩都相等。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,G2,FA,G1,G3,,,,,G,FB,B,3.0 m,2.5 m,,1.8 m,,,,,2.0

36、 m,,例11 一車載式起重機(jī)，車重G1=26kN，起重機(jī)伸臂重G2=4.5 kN， 起重機(jī)的旋轉(zhuǎn)與固定部分共重G3 = 31 kN。尺寸如圖所示。 設(shè)伸臂在起重機(jī)對(duì)稱面內(nèi)，且放在圖示位置。 試求車子不致翻倒的最大起吊重量Gmax。,八、例題分析,G,解：,1.取汽車及起重機(jī)為研究對(duì)象,2.受力分析如圖,3.選坐標(biāo)系，列平衡方程,SFy= 0,FA +FB– G – G1 – G 2– G3 = 0,SM

37、B(F)= 0,4.聯(lián)立求解,5.由不翻倒的條件：FA≥0,得：,∴ 最大起吊重量為 Gmax= 7.5 kN,,例12 A，B，C，D處均為光滑鉸鏈，物塊重為G，通過繩子繞 過滑輪水平地連接于桿AB的E點(diǎn)，各構(gòu)件自重不計(jì)。 試求B處的約束力。,解：,1.取整體為研究對(duì)象,受力分析如圖,列平衡方程,SFx= 0 FAx + FBx – FE = 0,求解得： FAx= 2.5G,FBx

38、 = – 1.5G FBy= – 2G,SMC(F)= 0 G×5r –FAx×2r = 0,2.取桿AB為研究對(duì)象,受力分析如圖,列平衡方程,SMA(F)= 0,FBx×2r –FBy×2r –FE×r = 0,聯(lián)立求解，得：,求解得：,例13 已知各桿均鉸接，B端插入地內(nèi)，F(xiàn)=1000N， AE=BE=CE=DE=1m，各桿重不計(jì)。

39、 求AC 桿所受的力？B點(diǎn)的約束力？,解：,1.取整體為研究對(duì)象,受力分析如圖,選坐標(biāo)如圖，取矩心B點(diǎn)，列平衡方程,SFx= 0 FBx = 0,SFy= 0 FBy– F = 0,SMB(F)= 0 MB –FBy×1= 0,MB = 1000 N·m,2. 再研究CD桿,受力如圖,取E為矩心，列平衡方程,求解得：,SME(F)= 0,–FCAsin45º×1 –F×

40、;1 = 0,例14 已知：F=100N，AC=1.6m，BC=0.9m，CD=EC=1.2m， AD=2m，AB水平， ED鉛垂，BD垂直于斜面。 求桿BD的受力FBD以及A支座約束力？,解： 1. 研究整體,畫受力圖,選坐標(biāo)列平衡方程,SMB(F)= 0 –FA×2.5 –F×1.2= 0,SF'x= 0,FAxsina–FAyco

41、sa + F sina = 0,求解得：,FAx = – 136 N FAy= – 48 N,2. 研究AB桿，受力如圖,SMC(F)= 0,– FBsina×0.9 –FAy ×1.6 = 0,求解得：,例15 已知：連續(xù)梁上，F(xiàn)=10kN，Q=50kN，CE 鉛垂，不計(jì)梁重 求：A、B和D處的約束力。,（看出未知數(shù)多余三個(gè)，不能先整 體求出，要拆開）,解： 1. 研究起重機(jī),畫受力

42、圖,列平衡方程,SMH(F)= 0,FG×2 – Q ×1–F ×5 = 0,求解得：,FG = 50 kN,精品課件！,精品課件！,3. 再研究整體,2. 再研究梁CD,,SMC(F)= 0,FD×6 – F'G ×1 = 0,∴ FD = 8.33 kN,SMA(F)= 0,FB×3 + FD×12 – F×10 – Q×6 =