工程力學(xué)平面力系

1、第二章,平面力系,§2–1 平面基本力系,§2–2 平面任意力系,§2–3 考慮摩擦?xí)r的平衡問題,第二 章 平面力系,目錄,1、掌握平面匯交力系合成與平衡的幾何法與解析法,3、熟練運用平衡方程求解平面匯交力系的平衡問題,4、掌握力偶和力偶矩的概念，熟悉力偶的性質(zhì)，會運用平衡條件求解力偶系的平衡問題,2、能正確地求力在坐標軸上的投影。理解合力投影定理,大綱要求,5、掌握平面任

2、意力系向一點簡化的方法。會用解析法求主矢和主矩。了解力系簡化的結(jié)果,,6、深入理解平面任意力系的平衡條件及平衡方程的幾種形式,7、熟練計算在平面任意力系作用下物體和物體系的平衡問題；了解靜定與超靜定的概念。,9、理解靜滑動摩擦力的特征；了解摩擦角和自鎖現(xiàn)象，會求解考慮摩擦?xí)r的平衡問題。,8、理解簡單桁架的簡化假設(shè)，掌握計算其內(nèi)力的節(jié)點法和截面法,引 言,力系分為：平面力系、空間力系,引例,起重機的掛鉤,支架的鉸鏈C,§2-1

3、 平面基本力系,§2.1.1 平面匯交力系的合成與平衡,,平面匯交力系： 各力的作用線都在同一平面內(nèi)且匯交于一點的力系。,研究方法：幾何法 解析法,研究內(nèi)容：平面匯交力系的合成 平面匯交力系的平衡條件,應(yīng)用力多邊形法則畫力的多邊形，合力即為力多邊形的封閉邊。,如圖所示,數(shù)學(xué)表達式為,一、平面匯交力系合成的幾何法,平面匯交力系的合力等于各分力的矢

4、量和，合力的作用線通過各力的匯交點。,用幾何法作力多邊形時，應(yīng)當(dāng)注意以下幾點：1 按力的比例尺畫出各力的大小，并準確地畫出各力的方向。只有這樣，才能從圖上準確地表示出合力的大小和方向。2 作力多邊形時，可以任意變換力的次序，雖然得到形狀不同的力多邊形，但合成的結(jié)果并不改變。,3 力多邊形中諸力應(yīng)首尾相連。合力的方向則是從第一個力的起點指向最后一個力的終點。,平面匯交力系平衡的充要條件是：該力系的合力等于零即,二、平面匯交力系平衡的幾

5、何條件,力多邊形自行封閉是平面匯交力系平衡的幾何條件,討論題,平面匯交的兩個力三角形中，三個力的關(guān)系是否一樣？用數(shù)學(xué)式應(yīng)該怎樣表示？,思考題,輸電線跨度l 相同時，電線下垂量f 越小,電線越易拉斷，為什么？,例2-1 已知輸電線ACB架在兩電線桿之間，形成一下垂線，下垂距離CD=f=1m，兩電線桿間距離AB=40m。電線ACB段重P=400N，可近似認為沿AB直線均勻分布，求電線的中點和兩端的拉力。,輸電線跨度l 相同時，電線下垂量f

6、越小,電線越易拉斷，為什么？,討論題,汽車陷在坑中，如何將車子拉出比較省力？（車中有繩子、路邊有大樹）,幾何法解題步驟：①選研究對象； ②作受力圖； ③作力多邊形； ④求出未知數(shù),幾何法解題快速、直觀但不利于解決復(fù)雜問題。,通過以上例題幾何法解題的

7、步驟總結(jié)如下：,下面我們研究平面匯交力系合成與平衡的另一種方法： 解析法。,,三、平面匯交力系合成的解析法,1.力在軸上的投影,,力在某軸上的投影，等于力的模乘以力與該軸正向間夾角的余弦。,思考題：寫出力在各軸上的投影計算式。,若已知 F 在正交坐標軸上的投影為 Fx 和 Fy ，則由幾何關(guān)系可求出力 F 的大小和方向，即,應(yīng)注意,（1）力的投影是代數(shù)量

8、，而力的分量是矢量；,（2) 只有在正交坐標系中力的投影才等于分力的 大小，在斜坐標系中二者的數(shù)值不相等。,,,,,,,,,,,合力在任意軸上的投影，等于諸分力在同一軸上投影的代數(shù)和。,2 合力投影定理,2 合力投影定理,合力在任意軸上的投影，等于諸分力在同一軸上投影的代數(shù)和。,三、平面匯交力系的平衡方程,從前述可知：平面匯交力系平衡的必要與充分條件是該力系的合力為零。,即：,平面匯交力系平衡的充要條件，

9、也叫平衡方程,,例2-2 鉚接薄板在孔心A、B和C處受三力作用，如圖所示F1=100N，沿鉛直方向； F3=50N，沿水平方向，并通過點A； F2=50N，力的作用線也通過A，尺寸如圖。求此力系的合力。,例2-3 圖示重物重為Q=30kN,由繩索AB、AC懸掛，求 AB、AC的約束力。,1).取研究對象 -------力系的匯交點A,3).建立坐標系,4).列出對應(yīng)的平衡方程,,5).解方程,,解：,2）作受力圖,[例2-4]如圖

10、所示，重物 ,用鋼絲繩掛在支架的滑輪上，鋼絲繩的另一端繞在絞車上。桿 與 鉸接，并以鉸鏈與墻連接。如兩桿和滑輪的自重不計，并忽略軸承摩擦和滑輪的大小，求平衡時桿 和 所受的力。,,,,1、一般地，對于只受三個力作用的物體，且角度 特殊時用 幾 何法（解力三角形）比較簡便。,解題技巧及說明：,3、投影軸常選擇與未知力垂直，最好使每個方程中 只有一個未知數(shù)。,2、一般對于受多個力

11、作用的物體，無論角度是否特殊，都用解析法。,5、解析法解題時，有些力的方向可以任意假設(shè)，如果求出 負值，說明力的方向與假設(shè)的相反。對于二力構(gòu)件，一般先設(shè)為拉力，如果求出負值，說明物體受壓力。,4、對力的方向判定不準的，一般用解析法。,作業(yè),練習(xí)冊 2-2 2-4 2-5,§2.1.2 平面力偶系的合成與平衡,自學(xué)提綱,怎樣計算力矩？力矩的正負號如何規(guī)定？什么是力偶？怎樣

12、計算力偶矩？力偶矩的正符號如何規(guī)定？力矩與力偶矩有何異同？什么是合力矩定理？力偶能用一個力來平衡嗎？怎樣的力偶才等效？平面力偶系如何合成？平衡條件？,1、平面力對點之矩（力矩）,一、 力矩的概念和計算,力矩作用面,2、力矩的性質(zhì) (P19),工程實例,二、力偶及其性質(zhì),1、力偶——大小相等的二反向平行力。,⑴、作用效果：引起物體的轉(zhuǎn)動。⑵、力和力偶是靜力學(xué)的二基本要素。,力偶特性二： 力偶只能用力偶來代替（即只能和另

13、一力偶等效），因而也只能與力偶平衡。,力偶特性一：力偶中的二個力，既不平衡，也不可能合成為一個力。,2、力偶臂——力偶中兩個力的作用線之間的距離。,3、力偶矩——力偶中任何一個力的大 小與力偶臂d 的乘積，加上正負號。,力偶矩正負規(guī)定：若力偶有使物體逆時針旋轉(zhuǎn)的趨勢，力偶矩取正號；反之，取負號。在平面內(nèi)，力偶矩是代數(shù)量,量綱：力×長度，牛頓?米（N?m）.力偶三要素：力偶矩的大?。涣ε嫉霓D(zhuǎn)向；

14、 力偶的作用平面。,4、力偶的等效條件,同一平面上力偶的等效條件,因此，以后可用力偶的轉(zhuǎn)向箭頭來代替力偶。,作用在剛體內(nèi)同一平面上的兩個力偶相互等效的充要條件是二者的力偶矩代數(shù)值相等。,1、力偶可以在作用面內(nèi)任意轉(zhuǎn)移，而不影響它對物體的 作用效應(yīng)。2、在保持力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向不改變的條件下，可以任意改變力和力偶臂的大小，而不影響它對物體的作用 由上述推論可知，在同一平面內(nèi)研究有關(guān)力偶的問題時，只需考慮力偶矩，而不必研

15、究其中力的大小和力偶臂的長短。,綜上所述，可以得出下列兩個重要推論：,1、平面力偶系可合成為一合力偶。合力偶矩的大小等于各已知力偶矩的代數(shù)和。,二、力偶系的合成與平衡,2、平面力偶系平衡的充要條件：力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零。,[例2-5] 練習(xí)冊2-7,已知梁AB上作用一力偶，力偶矩為M，梁長為l，梁重不計。求在圖a,b,兩種情況下，支座A和B的約束力。,在圖所示結(jié)構(gòu)中二曲桿自重不計，曲桿AB上作用有主動力偶，其力偶矩為M，

16、試求A和C點處的約束反力。,[例2-6] 練習(xí)冊2-8,[例2-7] 練習(xí)冊2-11,滑道搖桿機構(gòu)受兩力偶作用，在圖示位置平衡。已知OO1=OA=0.4m，M1=0.4kN.m,求另一力偶矩M2。及O、O1處的約束力。,練習(xí)圖示的鉸接四連桿機構(gòu)OABD，在桿OA 和BD 上分別作用著矩為 m1 和 m2 的力偶，而使機構(gòu)在圖示位置處于平衡。已知OA = r，DB = 2r，α= 30°，不計桿重，試求 m1 和 m2 間的

17、關(guān)系。,(提示桿AB為二力桿。),B,分別寫出桿AO 和BD 的平衡方程：,作業(yè),練習(xí)冊 2-9 2-10,平面任意力系： 力系中所有力的作用線都在同一平面內(nèi)，但這些力的作用線即不完全相交于一點，又不完全平行的力系,§2-2 平面任意力系,平面任意力系實例,中心內(nèi)容：力系簡化+平衡方程,§2.2.1 平面任意力系的簡化,力的平移定理：可以把作用在剛體上點A的力 平行

18、移到任一 點B，但必須同時附加一個力偶。這個力偶 的矩等于原來的力 對新作用點B的矩。,一、力的平移定理,幾點說明：,1、當(dāng)力線平移時，力的大小、方向都不改變，但附加力偶的矩的大小與正負一般要隨指定點的位置的不同而不同。 2、力線平移的過程是可逆的。 一個力可以分解為一個與其等值平行的力和一個位于平移平

19、面內(nèi)的力 偶。反之，一個力偶和一個位于該力偶作用面內(nèi)的力，也可以用一個位于力偶作用面內(nèi)的力來等效替換,打乒乓球時，若球拍對球作用的力其作用線通過球心（球的質(zhì)心），則球?qū)⑵絼佣恍D(zhuǎn)；但若力的作用線與球相切——“削球”，則球?qū)a(chǎn)生平動和轉(zhuǎn)動。,3、力線平移定理是剛體上平面任意力系簡化的基礎(chǔ)。附加力偶是為了保證力在平移后與原來的作用等效。 附加力偶的轉(zhuǎn)向大家要會判斷，它的力偶矩大家要會算。,二、平面任意力系向作用面內(nèi)一點的簡化,1、

20、簡化過程,一般力系,一個匯交力系 與一個力偶系,一個力和一個力偶,2、主矢、主矩,(與簡化中心位置無關(guān)),(與簡化中心有關(guān)),=,=,3、結(jié)論 平面任意力系向作用面內(nèi)一點簡化，得到一個力和一個力偶。此力作用在簡化中心，大小、方向等于主矢；此力偶的力偶矩等于主矩。,幾點說明：1、平面任意力系的主矢的大小和方向與簡化中心的位置無關(guān)。2、平面任意力系的主矩與簡化中心O 的位置有關(guān)。因此，在說到力系的主矩時，一定要指明簡

21、化中心。,主矢大小,主矢方向,主矩,主矢主矩的具體計算,三、固定端（插入端）約束,在工程中常見的,固定端（插入端）約束,說明,①認為Fi這群力在同一 平面內(nèi); ② 將Fi向A點簡化得一 力和一力偶; ③FRA方向不定可用正交 分力FAx, FAy表示; ④ FAx, FAy, MA為固定端 約束反力; ⑤ FAx, FAy限制物體平動, MA為限制轉(zhuǎn)動。,四、平面任意力系的簡化結(jié)果分析,簡

22、化結(jié)果可能有四種情況：（1）FRˊ= 0，MO≠ 0；（2）FRˊ≠ 0， MO= 0；（3）FRˊ≠ 0， MO≠ 0；（4）FRˊ=0，MO=0。對以上進一步分析有以下三種情形。,（1）合成為一個力偶,當(dāng) FRˊ= 0，MO≠ 0,則原力系合成為一個力偶，其矩為,此時主矩與簡化中心選擇無關(guān),⑵ 合成為一個力,當(dāng) FRˊ≠ 0， MO = 0則原力系合成為一個力，其作用線恰好通過選定的簡化中心O，即,FR = FRˊ,當(dāng) FR

23、ˊ≠ 0，MO≠ 0,則原力系合成為一個力，合力等于主矢，即,FR = FRˊ,但合力作用線不通過簡化中心O，而到點O的距離d為,至于作用線在點O 哪一側(cè)，需根據(jù)主矢方向和主矩轉(zhuǎn)向確定。如下圖所示,由此很容易證得平面任意力系的合力矩定理：平面任意力系的合力對作用面內(nèi)任一點的矩等于力系中各力對同一點的矩的代數(shù)和。即,⑶ 平衡,當(dāng) FRˊ= 0，MO = 0,則原力系平衡。,在長方形平板的O，A，B，C點上分別作用著有四個力：F1=1 k

24、N，F(xiàn)2=2 kN，F(xiàn)3=F4=3 kN（如圖），試求以上四個力構(gòu)成的力系對O點的簡化結(jié)果，以及該力系的最后合成結(jié)果。,例2-8,解：,建立如圖坐標系Oxy。,,所以，主矢的大小,,1.求主矢 。,例2-8,主矢的方向：,2. 求主矩MO,主矢的方向與x軸正方向所成角度為：,由于主矢和主矩都不為零，所以最后合成結(jié)果是一個合力FR。如右圖所示。,合力FR到O點的距離,§2.2.2 平面任意力系的平衡條件和平衡方程,一

25、 、平面任意力系平衡的充要條件,平面任意力系平衡的充分和必要條件是：力系的主矢和對于任一點的主矩都等于零。,1、基本形式（一矩式）,二 、平面任意力系的平衡方程,（1）二矩式,A、B兩點的連線不得垂直于x軸,2. 其它形式,(2) 三矩式,A、B、C三點不得共線,注意：對一個物體來講（平面任意力系作用下），不論采用哪種形式的平衡方程，其獨立的平衡方程的個數(shù)只有三個，只能解三個未知量,不得多列！,三. 平面平行力系的平衡方程,,只有兩個獨

26、立平衡方程，只能求解兩個未知數(shù)。,上式是平面平行力系平衡方程的基本形式，它的二矩式是,但A、B兩點的連線不得與力作用線平行。,若力系中所有力的作用線都在同一平面內(nèi)且平行，稱為平面平行力系，它是平面任意力系的特殊情況,如圖所示。當(dāng)取 x 軸與力系中各力垂直，則 自然滿足。則平面平行力系平衡方程為,四、常見線載荷及其簡化,,如圖所示為一懸臂梁，A為固定端，設(shè)梁上受強度為q的均布載荷作用，在自由端B受一

27、集中力F和一力偶M作用，梁的跨度為l，求固定端的約束力。,例2-9,由平衡方程,解方程得,取梁為研究對象，受力分析如圖,解：,一種車載式起重機，車重P1= 26 kN，起重機伸臂重P2 = 4.5 kN，起重機的旋轉(zhuǎn)與固定部分共重P3 = 31 kN。尺寸如圖所示。設(shè)伸臂在起重機對稱面內(nèi)，且放在圖示位置，試求車子不致翻倒的最大起吊重量Pmax。,例2-10,取汽車及起重機為研究對象，受力分析如圖。,由平衡方程。,解：,不翻倒的條件是：F

28、A≥0，,故最大起吊重量為 Pmax= 7.5 kN,所以由上式可得,練習(xí)： 練習(xí)冊2-15（a),作 業(yè),練習(xí)冊 2-13 2-15（b) 2-16,§2.2.3 靜定和超靜定問題·物體系的平衡,前面討論了平面問題中幾種力系的平衡問題。對應(yīng)于每一種力系，其獨立的平衡方程數(shù)目都是一定的，平面任意力系有三個，平面匯交力系和平面平行力系各有兩個，平面力偶系只有一個

29、。因此，對于每一種力系，能求解的未知數(shù)的數(shù)目也是一定的。如果所考察的物體的未知約束力數(shù)目恰好等于獨立平衡方程的數(shù)目，那些未知數(shù)就可全部由平衡方程求出，這類問題稱為靜定問題。若未知約束力的數(shù)目多于獨立平衡方程的數(shù)目，僅僅用剛體靜力學(xué)平衡方程不能全部求出那些未知數(shù)，這類問題稱為超靜定（或靜不定）問題。,一、靜定和超靜定問題,圖（a）,圖（b）,圖（c）,圖（d）,圖（e）,圖（f）,圖（a）是靜定的；圖（b）是一次超靜定；圖（c）又是靜定的

30、；圖（d)是二次超靜定。,需要指出的是，超靜定問題并不是不能求解的問題，而只是不能僅僅用靜力學(xué)平衡方程來解決的問題。如果考慮到物體受力后的變形，在平衡方程外，加上足夠的補充方程也可求出全部未知約束力。這將在材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)等課程中加以研究。 工程上很多結(jié)構(gòu)都是超靜定的。由于結(jié)構(gòu)增加了多余約束后，使結(jié)構(gòu)更大的剛度和堅定性，更經(jīng)濟地利用材料，使安全更可靠。,物體系統(tǒng)（物系）：由若干個物體通過約束所組成的系統(tǒng)。,二、 物體系統(tǒng)的平衡

31、,1、物體系平衡特點,研究對象選擇存在多樣性，靈活性。,物系平衡時，其中每個物體都平衡。,選取不同的研究對象，會有不同個數(shù)的未知力。選擇恰當(dāng)?shù)难芯繉ο笫墙鉀Q物系平衡問題的關(guān)鍵,,圖示組合梁(不計自重）由AC和CE鉸接而成，A端為固定端，E端為活動鉸支座。尺寸如圖所示。已知： F=5 kN，均布載荷集度q=2.5 kN/m，力偶矩的大小M= 5 kN?m，試求固定端A，鉸鏈C和支座E的約束力。,,例 2-11,,,例 2-11,,,已知：

32、均布載荷集度q=2.5 kN/m，力偶矩的大小M= 5 kN?m，,,例 2-11,,已知： F=5 kN，均布載荷集度q=2.5 kN/m,,例 2-11,q,F,,圖示的結(jié)構(gòu)由桿件AB、BC、CD,滑輪O，軟繩及重物E構(gòu)成。B、C、O、D處為鉸鏈連接，A處為固定端。物E重P，其他構(gòu)件自重不計?；啺霃綖镽，BC=OC=OD =l 求固定端A處的約束力,,例 2-12,圖示的結(jié)構(gòu)由桿件AB、BC、CD,滑輪O，軟繩及重物E構(gòu)成。B、

33、C、O、D處為鉸接連接，A處為固定端。物E重P，其他構(gòu)件自重不計?；啺霃綖镽，BC=OC=OD =l 求固定端處的約束力,例 2-12,例2-13. 圖示構(gòu)架，桿和滑輪的自重不計，物塊F重30kN，R=20cm，r=10cm，求A、C兩點的約束反力。,解: 先研究整體:,,C,D,E,再拆開研究CED:,再研究整體:,例2-13. 圖示構(gòu)架，桿和滑輪的自重不計，物塊F重30kN，R=20cm，r=10cm，求A、C兩點的約束反力。,

34、解: 先研究整體:,,C,D,E,再拆開CED:,在研究整體:,2、物體系平衡問題的解題技巧,(1)對于物系問題，是先拆開還是先整體研究，通常：對于構(gòu)架，若其整體的外約束力不超過4個，應(yīng)先研究整體；否則，應(yīng)先拆開，選擇受力簡單，已知量多未知量少的那一部分。對于連續(xù)梁，應(yīng)先拆開，選擇受力簡單，已知量多未知量少的那一部分，不應(yīng)先整體研究。定滑輪一般不要單獨研究，而應(yīng)連同支撐的桿件一起考慮。,（2）拆開物系前，應(yīng)先判斷系統(tǒng)中有無二力桿，若有，

35、則先將之去掉，代以對應(yīng)的約束力。在任何情況下，二力桿不作為研究對象，它的重要作用在于提供了力的方向。,（3）拆開物系后，應(yīng)正確的表示作用力和反作用力之間的關(guān)系、字母的標注、方程的寫法。,（4）根據(jù)受力圖，建立適當(dāng)?shù)淖鴺溯S，應(yīng)使坐標軸與盡可能多的力的作用線平行或垂直，以免投影復(fù)雜；坐標軸最好畫在圖外，以免圖內(nèi)線條過多。 取矩時,矩心應(yīng)選在盡可能多的未知力的交點上,以避免方程中出現(xiàn)過多的未知量。,桁架結(jié)構(gòu)工程實例,桁架結(jié)構(gòu)工程實例,

36、,,1、桁 架----桁架是由若干直桿兩端互相連接形成幾何形狀不變的結(jié)構(gòu)，桁架中各桿件的連接點稱為節(jié)點。,一、基本概念,§2.2.4 平面簡單桁架的內(nèi)力計算,實際工程中為簡化計算，對桁架作了以下幾個假設(shè)：,（1）桿件都是直桿，并用光滑鉸鏈連接。（2）外載荷作用在各節(jié)點上，并且作用線都在桁架平面內(nèi)（3）桿件自重不計，或平均分配到桿件兩端節(jié)點上。,據(jù)此假設(shè)，桁架中每根桿件都可以視為二力桿,2、理想桁架（實際桁架的工程計算力學(xué)模

37、型）,本節(jié)只研究平面簡單桁架，如圖所示。以基本三角形ABC為基礎(chǔ)，每增加一個節(jié)點，需要增加兩根桿件，依次類推所得桁架稱為平面簡單桁架。,3、平面簡單桁架,二、計算桁架桿件內(nèi)力的方法：,1、節(jié)點法 －以桁架的節(jié)點為研究對象，通過其平衡條件, 求出由該節(jié)點連接的桿件內(nèi)力的方法。,說明：假定各桿都受拉力(2)選取的節(jié)點上最好只有兩個未知力。(3)使用節(jié)點法前，往往先求出外約束力。,例2-14,平面

38、桁架的尺寸和支座如圖所示，在節(jié)點D處作用一集中力F=10kN。求此桁架各桿件的內(nèi)力。,,解：1.求支座的約束力,以桁架整體為研究對象，作受力圖，為平面任意力系，可解三個支座約束力。,(1) 節(jié)點A,,2.依次取一個節(jié)點為研究對象，計算各桿的內(nèi)力,假設(shè)各桿皆受拉力，分別作出每個節(jié)點的受力圖，每個節(jié)點皆為平面匯交力系，可解兩個未知力。為計算方便，順序求解只有兩個未知力的節(jié)點。,(2) 節(jié)點C,,(3) 節(jié)點D，此時只有F5未知,3.判斷拉、

39、壓桿 原假定各桿均受拉力，計算結(jié)果內(nèi)力為正值的桿為拉桿；內(nèi)力為負值的桿為壓桿。4.校核計算結(jié)果 解出各桿的內(nèi)力后，可用尚余節(jié)點的平衡方程校核已得的結(jié)果。例如，以節(jié)點B為研究對象，作出受力圖。用已經(jīng)求出的F4和F5的值代入平衡方程，如果和兩個方程能夠滿足，則計算結(jié)果是正確的。,零桿,判別零桿的方法有以下幾種，如圖所示。,熟悉了零桿的判斷方法，在計算時事先將桁架中的零桿找出來，常?？墒褂嬎愦鬄楹喕?思考：零桿可

40、否從桁架中去除？,零桿雖然內(nèi)力為零，但是它對保持結(jié)構(gòu)的幾何不變性以承受載荷是必不可少的。,2、截面法 －應(yīng)用平面任意力系的平衡條件，研究桁架由 截面（假想的）切出的某部分的平衡。 （審查，抽查幾個）,一般情況下“截斷”的未知內(nèi)力的桿不能超過三個。,如圖平面桁架，已知鉛垂力FC=4 kN，水平力FE=2 kN。求FE，CE，CD 桿內(nèi)力。,例2-15,1、求約束

41、力：先取整體為研究對象,受力如圖所示。,聯(lián)立求解得 FAx= －2 kN FAy= 2 kN FB = 2 kN,列平衡方程,如圖平面桁架，已知鉛垂力FC=4 kN，水平力FE=2 kN。求FE，CE，CD 桿內(nèi)力。,由平衡方程,2、作一截面m-m將三桿截斷，取左 部分為分離體，受力分析如圖。,聯(lián)立求解得,FAx= －2 kN FAy= 2 kN FC = 4 kN,練習(xí)題1 ：圖示桁架，水平、鉛

42、直各桿長均相等，求6、7、8三桿的內(nèi)力并說明是拉力還是壓力。,解：先找出零力桿,,練習(xí)題2 ：圖示桁架，ABC為等邊三角形，E、F為兩腰中點，求CD桿的內(nèi)力。,解：先找出零桿ED，,0,沿m-m截面截開，研究右側(cè)，受力如圖,作業(yè),練習(xí)冊2-192-202-23,前幾章我們把接觸表面都看成是絕對光滑的，忽略了物體之間的摩擦，事實上完全光滑的表面是不存在的，一般情況下都存在有摩擦。[例],平衡必計摩擦,?,§2-3 摩

43、擦,當(dāng)物體的接觸表面確實比較光滑，或有良好的潤滑條件，以致摩擦力與物體所受其它力相比的確很小時，可以忽略。然而，在很多日常生活和工程實際問題中，摩擦成為主要因素，摩擦力不僅不能忽略，而且還應(yīng)作為重點來研究,目的是為了掌握其規(guī)律，用其利，避其害。,由于摩擦是一種十分復(fù)雜的物理現(xiàn)象，涉及面廣，本節(jié)只限于討論工程中常用的近似理論，主要介紹滑動摩擦和滾動摩阻定律，重點研究有摩擦存在時物體的平衡問題。,滑動摩擦力:兩個相互接觸的物體由于具有相對

44、滑動或具有相對滑動趨勢時而在接觸面產(chǎn)生的阻礙彼此運動的阻力.,動滑動摩擦力----具有相對滑動時的滑動摩擦力.,靜滑動摩擦力----具有相對滑動趨勢時的滑動摩擦力.,一 、 滑動摩擦,按接觸面的運動情況看，摩擦分為滑動摩擦和滾動摩擦,1 靜滑動摩擦力,重量為P的物體放在粗糙的固定水平面上,受到一個水平拉力F的作用,?Fx = 0,當(dāng)力F增加到某個數(shù)值FK時,物體處于將動未動的臨界狀態(tài).此時靜摩擦力達到最大值Fsmax ,我們稱這個

45、最大值Fsmax為最大靜摩擦力.,F-Fs =0,Fs =F,2)靜滑動摩擦力,在相互靜止、但有相對滑動趨勢物體間的接觸面上出現(xiàn)。（存在條件）,方向: 恒與物體相對滑動的趨勢方向相反， 沿兩物體的接觸面上公切線方向,1)靜滑動摩擦定律,Fsmax = fs FN,fs ----- 靜摩擦系數(shù),Fsmax往往不是實際存在的靜摩擦力，而只是表示了接觸面的一種物理性質(zhì)。（比如，劇場定員是500人，并不說明每場觀眾的實際人數(shù)。,Fd

46、= f FN,f ----- 動摩擦系數(shù),3、動滑動摩擦定律,動滑動摩擦力（動摩擦力）：物體間具有相對滑動時，接觸面間的滑動摩擦力。,Fd 是實際存在的摩擦力,一般，f < fs ,且隨相對速度而變化，在相對速度不大時，視之為常數(shù)。,二、摩擦角與自鎖現(xiàn)象,摩擦角是全約束力與支承面法線的夾角的最大值.,在靜摩擦力達到最大值時, FR與法線間夾角才達到摩擦角,如果改變水平力FK的作用線方向, 則Fsmax及FR的方向也將隨之作相應(yīng)的

47、改變; 若FK在水平面轉(zhuǎn)過一圈, 則全約束力FR的作用線將在空間畫出一個錐面,稱為摩擦錐.,全約束力與接觸面法線所形成的夾角?不會大于?m ,即全反力作用線不可能超出摩擦錐.,如果物體所受的主動力合力 的作用線在摩擦錐之外,即? > ?m時,則全約束力 就不可能與 共線.此時兩力不符合二力平衡條件,物體將發(fā)生滑動.,F,FR,F,如果物體所受的主動力合力F 的作用線在摩擦錐之內(nèi),即? < ?m時,則無論主

48、動力多大, 總是能夠與之相平衡,因而物體將保持不動.,主動力合力的作用線在摩擦錐的范圍內(nèi),物體依靠摩擦總能靜止而與主動力大小無關(guān)的現(xiàn)象,稱為自鎖.,,,?,,自鎖條件：,? < ?m,F,FR,FR,如果物體所受的主動力合力F的作用線在錐面上,即? = ?m ,則物體處于臨界狀態(tài).,考慮有摩擦的平衡問題時，其解法與平面一般力系一樣。只是在受力分析和列平衡方程時要將摩擦力考慮在內(nèi)這樣增加了未知量，因此還需增加補充方程 0? Fs

49、? fs FN，因此有摩擦的平衡問題的解通常是一個范圍。為了避免解不等式，往往先考慮臨界狀態(tài)（ Fs = fs FN），求得結(jié)果后再討論解的平衡范圍。 需要強調(diào)的是摩擦力的方向在臨界狀態(tài)下不能假設(shè)，要根據(jù)物體相對運動趨勢來判斷.,三、考慮摩擦?xí)r物體的平衡問題,,物體A重P =10 N，放在粗糙的水平固定面上，它與固定面之間的靜摩擦因數(shù) fs =0.3，動摩擦因數(shù)f=0.2。今在物體A上施加F=4 N的力， q =30°

50、;，試求作用在物體上的摩擦力。,例題2-16,假設(shè)物塊不動取物塊A為研究對象，受力分析如圖。列平衡方程。,解:,,解得,最大靜摩擦力,所以作用在物體上的摩擦力為,因為,物體A重P =10 N，放在粗糙的水平固定面上，它與固定面之間的靜摩擦因數(shù) fs =0.3，動摩擦因數(shù)f=0.2。今在物體A上施加F=4 N的力， q =30°，試求作用在物體上的摩擦力。,例題2-16,寬a，高b的矩形柜放置在水平面上，柜重P，重心C 在其幾何

51、中心，柜與地面間的靜摩擦因數(shù)是 fs，在柜的側(cè)面施加水平向右的力F，求柜發(fā)生運動時所需推力F 的最小值。,例題2-17,1 .假設(shè)不翻倒但即將滑動，考慮臨界平衡。,解:,取矩形柜為研究對象,受力分析如圖。,聯(lián)立求解得柜子開始滑動所需的最小推力,,補充方程,列平衡方程,2.假設(shè)矩形柜不滑動但將繞 B 翻倒。,柜繞 B 翻倒條件： FNA=0,使柜翻倒的最小推力為,列平衡方程,解得,綜上所述使柜發(fā)生運動所需的最小推力為,長為l的梯子AB一

52、端靠在墻壁上，另一端擱在地板上，如圖所示。假設(shè)梯子與墻壁的接觸是完全光滑的，梯子與地板之間有摩擦，其靜摩擦因數(shù)為fs。梯子的重量略去不計。今有一重為P的人沿梯子向上爬，如果保證人爬到頂端而梯子不致下滑，求梯子與墻壁的夾角q 。,例題2-18,以梯子AB為研究對象，人的位置用距離 a 表示，梯子的受力如圖。,解：,使梯子保持靜止，必須滿足下列平衡方程：,同時滿足物理條件,聯(lián)立解之得,因 0≤a≤l， 當(dāng)人爬到頂點時， a = l,所以,

53、即為所求,,,,,考慮摩擦的平衡問題,應(yīng)注意以下幾點:,(2)在臨界狀態(tài)下,摩擦力為最大值Fsmax ,應(yīng)滿足關(guān)系式 Fsmax = fs FN,(4) 當(dāng)物體尚未達到臨界狀態(tài)時,摩擦力的方向可 以假定.當(dāng)物體達到臨界狀態(tài)時,摩擦力的方向與相 對滑動趨勢的方向相反.,(3)由于 ,問題歸結(jié)為求解平衡范圍. 一般設(shè)物體處于臨界狀態(tài).,(1)靜摩擦力的大小由平衡條件確定,同時應(yīng)與最大靜摩

54、擦力比較.若 則物體平衡; 否則物體不平衡.,由實踐可知，使?jié)L子滾動比使它滑動省力。 無論水平力F 多么小，此物體均不能平衡，因?qū)cA的矩的 平衡方程不滿足，即,出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是，實際接觸面并不是剛體，在力的作用下會發(fā)生一些變形，如圖所示。,這是與實際情況不符的，說明此力學(xué)模型有缺陷，需要修正。,四、滾動摩擦,與靜滑動摩擦力相似，滾動摩阻力偶矩Mf 隨主動力 F的增大而增大；但有一個最大值

55、Mmax ,即,或,且最大滑動摩阻力偶矩,上式即是滾動摩阻定律，d 稱為滾動摩阻系數(shù)，具有長度的量綱 ，單位一般用mm。與滾子和支承面的材料的硬度和濕度等有關(guān)。與滾子的半徑無關(guān)。,滾阻系數(shù)的物理意義如下,,由力的平移定理,,因而滾動摩阻系數(shù)可看成在即將滾動時，法向約束力離中心線的最遠距離，也就是最大滾阻力偶的臂。因此，它具有長度的量綱。,,,一般情況下，相對滑動摩擦而言，由于滾阻阻力偶矩很小，所以在工程中大多數(shù)情況下滾阻力偶矩忽略不計。