工程力學 第4版 教學課件 ppt 作者 張秉榮 第四章

1、返回目錄,下一頁,上一頁,第四章 運動學,第一節(jié) 點的運動第二節(jié) 剛體的基本運動小 結,下一頁,上一頁,運動學的任務是研究物體在空間的位置隨時間的變化規(guī)律，而不涉及運動狀態(tài)發(fā)生變化的原因。 物體在空間的位置必須相對于某給定的物體來確定。這個給定的物體稱為參考體。固連在參考體上的坐標系稱為參考系。在不同的參考系上觀察同一物體的運動，其結果可以完全不同，所以運動具有相對性。在研究大多數(shù)的工程實際問題時，總

2、是將固連于地球上的坐標系作為參考系，稱為靜參考系或定參考系。,返回首頁,下一頁,上一頁,在描述物體在空間的位置和運動時，常用到瞬時和時間間隔兩個概念。瞬時是指物體運動經(jīng)過某一位置所對應的時刻，用t表示；時間間隔是兩瞬時之間的一段時間，記為?t＝t2-t1。 學習運動學的目的，一方面是為后繼課程打基礎；另一方面，運動學在工程技術中也有獨立的應用。例如，設計或改裝機器，總是要求它實現(xiàn)某種運動，以滿足生產(chǎn)的需要。為此，必須對物

3、體進行運動分析和綜合。 本章將圍繞研究運動學的二種主要方法即分析法與幾何法以最基本的形式來進行論述。,返回首頁,第一節(jié) 點的運動,下一頁,上一頁,一、用失徑法確定點的位置、速度和加速度,返回目錄,返回首頁,2、點的速度,3、點的加速度,,,單位 : m/s2,1、運動方程,,即：點的速度等于矢徑對時間的一階導數(shù),即：點的加速度等于點的速度矢對時間的一階導數(shù)，也等于位置矢徑對時間的二階導數(shù),,,當點的運動軌跡未知時，

4、常利用直角坐標投影原理將矢量關系轉變成代數(shù)量關系來方便運算。,二、用直角坐標法確定點的位置、速度和加速度,1．動點的直角坐標形式的運動方程　　設有一動點M在某曲線軌跡上運動，它在坐標軸x、y上兩相應的投影點A、B亦在各自坐標軸上作直線運動，顯而易見點A、B位置的x、y一旦確定動點的位置也就確定，故點的運動方程為,,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,2．點的速度與加速度在直角坐標軸上的投影根據(jù)式（4-2）存在,將上式向x、y軸投影可得,v

5、=vxi+vy j,以上證明說明了動點的速度在直角坐標軸上的投影等于其相應坐標對時間的一階導數(shù) 。,,,,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,故動點速度v的大小和方向為,,,,,,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,同理，動點的加速度在直角坐標軸上的投影等于其相對的速度對時間的一階導數(shù)，或等于其相應的坐標對時間的二階導數(shù)，故動點的加速度a的大小和方向為,式中?為a與軸x所夾之銳角，a的指向由ax、ay的正負號確定。,,,,,,返回,下一頁,上一

6、頁,返回首頁,例1：橢圓規(guī)的曲柄可繞定軸轉動，其端點與規(guī)尺的中點以鉸鏈相連接，規(guī)尺的兩端分別在互相垂直的滑槽中運動，為規(guī)尺上的一點。已知： （其中ω 為常數(shù)），試求：點 A, B, M的運動方程和運動軌跡。,[解],A 點的運動方程:,B點的運動方程:,P點的運動方程:,P點的軌跡方程:,下一頁,上一頁,

7、返回目錄,返回首頁,當點的運動軌跡已知時，工程上常以軌跡為坐標軸，并用動點到設定原點的距離s（弧坐標）來確定點的位置。,1．弧坐標與自然軸系,當點M沿已知軌跡運動時，弧坐標s是時間t的單值連續(xù)函數(shù)，記為s=f (t) 該式稱為以弧坐標表示的點的運動方程。,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,三、用弧坐標法確定點的位置、速度和加速度,如圖，動點M沿已知軌跡AB運動，以動點M為坐標原點，以軌跡上過M點的切線和法線為坐標軸，此正交坐標系稱為自

8、然坐標軸系，簡稱自然軸系，矢量在自然坐標軸上的投影為其自然坐標。切向軸和法向軸的單位矢量分別用? 和n表示。,顯然，自然軸系是隨動點沿已知軌跡運動的。單位矢量? 和n的大小為1，但方向隨點在軌跡上的位置變化而變化。因此，在曲線運動中，? 和n為變矢量。 用弧坐標表示點的位置，用自然坐標表示點的速度、加速度，這種研究點的運動的方法稱為自然法 。,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,速度是表示動點位置隨時間變化快慢程度的物理量。

9、,2．用自然坐標表示點的速度,按圖可見動點位置變化量為矢量MM'，稱位移，而?s則為動點弧坐標的增量，是代數(shù)量。 按速度定義，在MM'間動點的平均速度v*為,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,當?t0時，平均速度v*的極限即為動點在t瞬時的瞬時速度，并注意到|MM' |的大小與?s無限接近和它的方向與過M點的切向無限靠攏，因此可以認為MM' = v?t·?，故點在瞬時t的速度為,返

10、回,下一頁,上一頁,返回首頁,速度是一個矢量，其大小為M點的弧坐標對時間t的一階導數(shù)，其方向為軌跡在處的切線方向，速度的單位一般用m/s或km/h。 速度指向由 的正負號確定，若 >0 則v指向弧坐標的正向，反之為負。,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,加速度表示動點速度的大小與方向隨時間改變的快慢程度。按定義，點的加速度應為,3．用自然坐標表示點的加速度,可以導出,(?為動點處軌跡的曲率半徑)

11、,于是上式可寫成,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,由式可見，動點的加速度由兩項組成， 第一項 其大小為，方向為切向，故稱為切向加速度，記作 ，它反映了速度大小隨時間的變化率。 第二項 大小為 ，方向為法向，并始終指向該點軌跡的曲率中心，故稱為法向加速度，記作 。

12、,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,a?與an兩項之和即為動點的加速度a 有時也被稱為全加速度，它反映了速度矢量v的瞬時變化率，根據(jù)矢量運算，存在,法向加速度為法向矢量，故其反映的是速度方向的瞬時變化率。法向加速度越大，速度的方向變化的越快；反之亦然。當點作直線運動時，點的法向加速度恒為零，點的速度方向將保持不變。,,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,,,式中， ?為a與n所夾之銳角，至于a在n的哪一側則由a?的正負決定，如圖所示。加速度的

13、單位一般用m/s2或km/s2。,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,1）勻速直線運動 當點作勻速直線運動時，由于v為常量，?→∞，故a?=0，an=0 ，此時a =0。 2）勻速曲線運動 當點作勻速曲線運動時，由于v為常量，故a?=0，an≠0 ，此時a = an。 3）勻變速直線運動 當點作勻變速直線運動時，a?為常量，an為零，若已知運動的初始條件，即當t=

14、0時。v=v0，s=s0，由dv=adt，積分可得其速度與運動方程為v=v0+at （4-21）s=s0+v0t+at2/2 （4-22）由以上兩式消去t得v2=v02+2a（s-s0） （4-23）,4．點運動的幾種特殊情況,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,4）勻變速曲線運動 當點作勻變速曲線運動時，a?為常量，an=v

15、2/? ，若已知運動的初始條件，即當t=0時。v=v0，s=s0，由dv=a?dt，ds=vdt，積分可得其速度與運動方程為v=v0+a?t （4-24 ）s=s0+v0t+a?t2 （4-25）由以上兩式消去t得v2=v02+2a?(s-s0) （4-26）式（4-21）~（4-26）早已為大家所熟悉。引入它們的目的

16、在于說明在研究點的運動時，已知運動方程，可應用求導的方法求點的速度和加速度；反之，已知點的速度和加速度如果初始條件已知的話，亦可用積分法也可得到點的運動方程。,總之，本節(jié)所介紹的方法是一種普遍的方法，可應用于各種點的運動分析，而中學時期所學式（4-21）~（4-26）等公式不過是在一定前提下的特例而已。,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,,桿AB的A端鉸接固定，環(huán)M將AB桿與半徑為R的固定圓環(huán)套在一起，AB與垂線之夾角為?=?t，如圖所示

17、求套環(huán)M的運動方程、速度和加速度。,解一 以環(huán)M為研究對象，由于環(huán)M的運動軌跡已知，故采用自然坐標法求解。 以圓環(huán)上O'點為弧坐標原點，順時針為弧坐標正向，建立弧坐標軸。,例4-4,1）建立點的運動方程。由圖中幾何關系，建立運動方程為 s = R(2?)= 2R? t,2）求點M的速度。由式（4-2）知點M的速度為,s,,2?,,（+）,,v,,返回,下一頁,上一頁,

18、返回首頁,已知：?=?t，求：M的運動方程、速度和加速度。,解一,1）建立點的運動方程。 s = R(2?)= 2R? t,2）求點M的速度。,3）求點M的加速度。由式（4-3）知點M的切向加速度為,由式（4-3） 知點M的法向加速度為 知點M的切向加速度為,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,已知：?=?t，求：M的運動方程、速度和加速度。,解一,1）建立點的運動方程。 s = R(2?)= 2R? t,2）求

19、點M的速度。,3）求點M的加速度。,由式（4-4）知點M的全加速度為,,a,,v,,其方向沿MO且指向O，可知套環(huán)沿固定圓環(huán)作勻速圓周運動。,（+）,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,解二 用直角坐標法求解，建立圖示的直角坐標系。,1）建立點M的運動方程。由圖中幾何關系，建立運動方程為 x=Rcos(90?-2?)=Rsin2?t y=Rcos2?=Rcos2?t,2）求點M的速度。由式（a）求導，得速度在

20、x、y軸上的投影vx= =2R?cos2?t vy= =-2R?sin2?t,x,,,y,已知：?=?t，求：M的運動方程、速度和加速度。,（a）,（b）,,,vx,vy,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,解二,1）建立點M的運動方程。 x=Rsin2?t y=Rcos2?t,2）求點M的速度。vx=2R?cos2?t

21、 vy=-2R?sin2?t,已知：?=?t，求：M的運動方程、速度和加速度。,（a）,（b）,由式（4-14）知點M的加速度大小和方向余弦為,cos(v，i)=vx/v= cos2?t,v,,,,vx,vy,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,解二,1）建立點M的運動方程。 x=Rsin2?t y=Rcos2?t,2）求點M的速度。vx=2R?cos2?t vy=-2R?sin2?t,返回,下一頁,上一頁

22、,已知：?=?t，求：M的運動方程、速度和加速度。,（a）,（b）,3）求點M的加速度。由式（4-3）對式（b）求導求導，得加速度在x、y軸上的投影 ax= =-4R?2sin2?tay= =-4R?2cos2?t,cos(v，i)= cos2?t,,,ax,ay,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,解二,1）建立點M的運動方程。 x=Rsin2?t y=Rcos2?t,2）求點M的

23、速度。vx=2R?cos2?t vy=-2R?sin2?t,已知：?=?t，求：M的運動方程、速度和加速度。,（a）,（b）,3）求點M的加速度。ax=-4R?2sin2?t ay=-4R?2cos2?t,cos(v，i)= cos2?t,a,,由式（4-15）知點M的加速度大小和方向余弦為,cos(a，i)= ay /a=-sin2?t,,,ax,ay,或 a =axi+ay j =-4R?2(

24、sin2?ti+ cos2?tj) =-4R?2 rM此結果也說明a與點M的位矢rM反向。,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,經(jīng)比較不難看出，兩種解法計算的結果是一致的；也可看出，用自然坐標法解題簡便，結果清晰，但只適用于點的運動軌跡已知的情況。在機械工程中，多數(shù)物體處于被約束狀態(tài)，其運動軌跡是確定的，故自然坐標法得到廣泛應用。用直角坐標法，解題較繁，但它既適用于點的運動軌跡已知時，也適用于點的軌跡未知時，故應用范圍廣

25、，在航空、航天工程中的彈道設計計算中常用這種方法。,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,,1．剛體的平行移動,第二節(jié) 剛體的基本運動,剛體在運動過程中，若其上任一直線始終平行它的初始位置，則這種運動稱為剛體的平行移動，簡稱平動。例如，直線軌道上車廂的運動，擺式輸送機送料槽的運動等都是剛體平動的實例。,剛體平動時，其上各點的軌跡若是直線，則稱剛體作直線平動。其上各點軌跡若是曲線，則稱剛體作曲線平動。,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,下面

26、研究平動剛體上各點的軌跡、速度、加速度的特征。 在平動剛體上任取兩點A、B，作矢量BA，如圖所示。 根據(jù)剛體不變形的性質(zhì)和剛體平動的特征，矢量BA的長度和方向始終不變，故BA是常矢量。如將點B 的軌跡沿BA方向平行移動BA距離，則必然與A點軌跡重合。 動點A、B位置的變化用矢徑的變化表示。由圖得rA= rB＋BA,O,x,,,,y,z,rA,,,,,rB,,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,對

27、時間t求導得,rA= rB＋BA,由于BA是常矢量，因此 =0，于是vA= vB,再對時間t求導可得 aA= aB,因為A、B是剛體上任意兩點，因此上述結論對剛體上所有點都成立，即剛體平動時，其上各點的運動軌跡形狀相同彼此平行，每一瞬時，各點的速度、加速度也相同。,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,,上述結論表明，剛體的平動可以用其上任一點的運動來代替，即剛體平動的運動學問題，可以歸結為點的運動學問題來研究。,剛體的

28、平動在工程實際中應用很廣，圖示仿形車床上刀架A0A作平動，A0與靠模板接觸，刀尖A切削工件，由于A0與A的運動軌跡相同，從而保證了工件形狀與靠模板形狀一致。,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,曲柄導桿機構如圖所示，曲柄OA繞固定軸O轉動，通過滑塊A帶動導桿BC在水平導槽內(nèi)作直線往復運動。已知OA= r，?=?t（?為常量），求導桿在任一瞬時的速度和加速度。,解 由于導桿在水平直線導槽內(nèi)運動，所以其上任一直線始終與它的最初位置相平行，

29、且其上各點的軌跡均為直線，因此，導桿作直線平動。導桿的運動可以用其上任一點的運動來表示。選取導桿上M點研究，M點沿x軸點作直線運動，其運動方程為,例4-6,xM=OAcos?=rcos?t,,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,已知：OA= r，?=?t ，求：導桿在任一瞬時的速度和加速度。,解,則M點的速度、加速度分別為vM=aM= =-r?2cos?t,,xM=OAcos? =rcos?t,,,返回,下一

30、頁,上一頁,返回首頁,2．剛體繞定軸轉動,剛體在運動過程中，其上或其延伸部分有一條直線，始終固定不動，這種運動稱為剛體繞定軸轉動，簡稱轉動。位置保持不變的直線稱為轉軸。工程中齒輪、帶輪、飛輪的轉動，電動機轉子、機床主軸、傳動軸的轉動等，都是剛體定軸轉動的實例。,,,x,y,z,,,,O,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,Ⅱ,1）轉動方程 為確定轉動剛體在空間的位置，過轉軸z作一固定平面Ⅰ為參考面。在圖中，半平面Ⅱ過轉軸z且固連在剛體上

31、，初始半平面Ⅰ、Ⅱ共面。當剛體繞軸z轉動的任一瞬時，剛體在空間的位置都可以用固定的半平面Ⅰ與Ⅱ之間的夾角? 來表示，? 稱為轉角。剛體轉動時，轉角? 隨時間t變化，是時間t的單值連續(xù)函數(shù)，即 ? =? (t),,,?,Ⅰ,Ⅱ,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,2）角速度? 角速度是描述剛體轉動快慢和轉動方向的物理量。角速度常用符號?來表示，它是轉角?對時間t的一階導數(shù)，即,,這里角速度可用代數(shù)量表示，其

32、的正負表示剛體的轉動方向。當?＞0時，剛體逆時針轉動；反之則順時針轉動。角速度的單位是rad /s。 工程上常用每分鐘轉過的圈數(shù)表示剛體轉動的快慢，稱為轉速，用符號n表示，單位是r/min（轉/分）。轉速n與角速度?的關系為?=2?n/60=?n/30,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,3）角加速度? 角加速度?是表示角速度? 變化的快慢和方向的物理量是角速度? 對時間的一階導數(shù)，即,,這里角加速度?可用代數(shù)量

33、表示，當?與? 同號時，表示角速度的絕對值隨時間增加而增大，剛體作加速轉動；反之，則作減速轉動。角加速度的單位是rad /s2。 雖然剛體的定軸轉動與點的曲線運動的運動形式不同，但它們相對應的變量之間的關系卻是相似的，其相似關系如表4-1所列。,,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,,點的曲線運動 剛體定軸轉動 運動方程 s=s(t)

34、 轉動方程 ?=?(t) 速度 v=ds/dt 角速度 ?=d?/dt 切向加速度 角加速度 勻速運動 v=常數(shù) 勻速轉動 ?=常數(shù)

35、 s=s0+vt ?=?0+?t 勻變速運動 　a?=常數(shù) 勻變速轉動 ?=常數(shù) v=v0+a?t ?=?0+?t　　 s=s0+vt+at2/2

36、 ?=?0+?t+?t2/2,表4-1 點的曲線運動與剛體定軸轉動變量之間的關系比較,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,某發(fā)動機轉子在起動過程中的轉動方程為? = t3（rad），t以s計。試計算轉子在2s內(nèi)轉過的圈數(shù)和t =2s時轉子的角速度、角加速度。,解 由轉動方程? = t3可知 t =0時，?0＝0，轉子在2s內(nèi)轉過的角度為 ?－?0= t3－0＝23 rad－0＝8rad

37、 轉子轉過的圈數(shù)為 N＝ 　　　　　＝1.27圈 由式（4-17）和式（4-18）得轉子的角速度和角加速度為 ? =d?/dt=3t2 ? = d?/dt =6t 當t=2s時 ? =3t2 =12rad/s ? = 6t =12rad/s2,例4-7,返回,下一頁,上一頁,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,,,,5）定

38、軸轉動剛體上各點的速度、加速度 前面研究了定軸轉動剛體整體的運動規(guī)律，在工程實際中，還往往需要了解剛體上各點的運動情況。例如，車床切削工件時，為提高加工精度和表面質(zhì)量，必須選擇合適的切削速度而切削速度就是轉動工件表面上點的速度。下面將討論轉動剛體上各點的速度、加速度與整個剛體的運動之間的關系。,剛體定軸轉動時，除了轉軸以外的各點都在垂直于轉軸的平面內(nèi)作圓周運動，圓心是該平面與轉軸的交點，轉動半徑是點到轉軸的距離。

39、 設剛體繞z軸轉動，其角速度為?、角加速度為?。,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,,?,s,,O',,在剛體轉角? =0時，M點位置為弧坐標原點O'，以轉角? 的正向為弧坐標s的正向，則用自然法確定的M點的運動方程、速度、切向加速度、法向加速度分別為 s=R?,a?,,v,,全加速度的大小和方向為,,,M,,(4-19),a,an,,,(4-20),,,,,?,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,,,

40、,,?,由以上分析可得如下結論： 1）轉動剛體上各點的速度、切向加速度、法向加速度、全加速度的大小分別與其轉動半徑成正比。同一瞬時轉動半徑上各點的速度、加速度分布規(guī)律如圖，呈線性分布。 2）轉動剛體上各點的速度方向垂直于轉動半徑，其指向與角速度的轉向一致。,v,(4-19),,(4-20),,,,?,a,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,,,,,?,3）轉動剛體上各點的切向加速度垂直于轉動半徑，其指向與角加

41、速度轉向一致。 4）轉動剛體一上各點的法向加速度方向，沿半徑指向轉軸。 5）任一瞬時各點的全加速度與轉動半徑的夾角相同。,v,(4-19),,(4-20),a?,,,,?,a,,,,,an,,?,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,,輪Ⅰ和輪Ⅱ固連，半徑分別為R1和R2，在輪Ⅰ上繞有不可伸長的細繩，繩端掛重物A，如圖。若重物自靜止以勻加速度a下降，帶動輪Ⅰ和輪Ⅱ轉動。求當重物一下降h高度時，Ⅱ輪邊緣上B點的速度和加

42、速度的大小。,解 由物自靜止下降高度h時，其速度大小為v2= v02+2ah，其中v0=0，故v= 。 輪Ⅰ、輪Ⅱ的角速度、角加速度分別為,例4-9,h,A,,,,,,,,,,,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,,解 v=,h,A,,,,,,,,,,,輪Ⅱ邊緣上從點的速度、加速度的大小為,,退出,返回,下一頁,上一頁,返回首頁,本章主要介紹了研究點和剛體運動學的兩種基本方法。

43、 其一是用數(shù)學分析的工具去描述點與剛體基本運動的全過程，這在對工程問題進行理論分析時是非常有用的?！　?．點的運動,小 結,,,,,,,,,返回目錄,下一頁,上一頁,2．剛體的基本運動 （1）剛體的平動 定義：剛體在運動過程中，其上任一直線始終與其原來位置保持平行。 結論：剛體上各點具有形狀相同的軌跡，且瞬時剛體上各點具有相等的速度與加速度，因此研究剛體的運動就回歸到研