高等數(shù)學(xué) 教學(xué)課件 ppt 作者 胡耀勝第三章 3.3 函數(shù)的最大值和最小值

1、函數(shù)的最大值和最小值,解　f ?(x) = 12x3 - 48x2 + 60x – 24,令 f ?(x) = 0，得駐點(diǎn) x = 1， x = 2，,它們?yōu)?f (x) 可能的極值點(diǎn)，,算出這些點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值：,= 12(x - 1)2(x - 2)，,f (0) = 4，,f (1) = - 3，,f (2) = - 4，,f (3) = 13，,將它們加以比較,可知在區(qū)間[0, 3]上 f (x) 的最大值為 f (3

2、) = 13，,最小值為 f (2) = - 4.,例 2　試求函數(shù) f (x) = 3x4 -16x3 + 30x2 – 24x + 4,在區(qū)間[0,3]上的最大值和最小值.,例3 設(shè)兩正數(shù)之和為定值，求它們乘積的最大值．,,,,則,,,,,令,，得駐點(diǎn),,因?yàn)樵?,內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，所以由題意可知，當(dāng)兩正數(shù),例4 把邊長(zhǎng)為 a cm的正方形紙板的四個(gè)角剪去四個(gè)相等的小正方形(圖(1))，折成一個(gè)無(wú)蓋的盒子(圖(2))，問(wèn)怎樣做

3、才能使盒子的容積最大？,求導(dǎo)數(shù)，得,例 6　設(shè)圓柱形有蓋茶缸容積 V 為常數(shù)，求表面積為最小時(shí)，底半徑 x 與高 y 之比.,解　(1)建立目標(biāo)函數(shù)．,茶缸容積為 V = ?x2 y，,設(shè)表面積為 S，則 S = 2?x2 + 2?x y，,因?yàn)?V 為常數(shù)，所以，,由此可得目標(biāo)函數(shù) —— 茶缸表面積的表達(dá)式,y,(2)求 S(x) 的最小值.,因?yàn)?令 S? (x) = 0,,得可能極點(diǎn)值,3,3,3,(3)求底半徑與高之比.,因

4、此，,當(dāng)?shù)装霃脚c高之比為 ，即當(dāng)其直徑與高相等時(shí)，茶缸的表面積最小.,3,例 8　某廠有一個(gè)圓柱形油罐，其直徑為 6 m，高為 2 m，想用吊臂長(zhǎng)為 15 m 的吊車(chē)(車(chē)身高 1.5 m) 把油罐吊到 6.5 m 高的平臺(tái)上去，試問(wèn)能吊上去嗎？,解 (1)建立目標(biāo)函數(shù)，,設(shè)油罐吊起高度為 h，,h = BC = BE – DE – CD,,BE = AEsinj，DE = FDtanj .,h = 15sinj – 3tanj – 2

5、，,因?yàn)?AE = 15, FD = 3，CD = 2 ，所以目標(biāo)函數(shù)為,吊桿與水平線的夾角為 j，,由圖可知,(2)求目標(biāo)函數(shù)的最大值.,因?yàn)?即,15cosj – 3sec2j = 0，,得 cos3j = 0.2，,于是,查表可得,j ? 54?.,由實(shí)際問(wèn)題可知 h 的最大值是存在的，,所以可以斷言當(dāng) j ? 54? 時(shí)，,h 取得最大值，,且最大值為,而在 內(nèi)目標(biāo)函數(shù)的駐點(diǎn)又只有一個(gè)，,h |j