互反代數(shù)整數(shù)的最大模的最小值的相關(guān)研究.pdf

1、多項(xiàng)式的Mahler測(cè)度指的是它的所有模大于1的根與其首項(xiàng)系數(shù)的乘積的絕對(duì)值．而代數(shù)整數(shù)的最大模問(wèn)題是與Mahler測(cè)度相關(guān)的計(jì)算數(shù)論中的又一大課題．代數(shù)整數(shù)α的最大模α指的是它的所有共軛根的模的最大值，又被形象地稱為代數(shù)整數(shù)α的房子．即對(duì)d次代數(shù)整數(shù)α1α1=α，α2，…，αd是它的所有共軛根，則α=maxl≤i≤d |αi|．如果一個(gè)代數(shù)整數(shù)的極小多項(xiàng)式是互反的，也稱這個(gè)代數(shù)整數(shù)是互反的．不妨設(shè)互反代數(shù)整數(shù)α的極小多項(xiàng)式P為：P=b

2、0x2d+b1x2d-1=…=b2d-1x=b2d=2dⅡi=1(x-αi).其中b0=b2d=1,bi=b2d-i.我們定義s1=Σ2di=1αi,sk=Σ2di=1αki. 對(duì)于互反代數(shù)整數(shù)的最小房子問(wèn)題，Boyd[1]計(jì)算出了次數(shù)d≤16的非單位根的代數(shù)整數(shù)的最小房子．他在計(jì)算中用到的方法是：對(duì)固定的次數(shù)d，他給定界B，使得存在d次的互反代數(shù)整數(shù)α滿足同≤B．如果同≤B，顯然有|sk|≤dBk．他應(yīng)用sk的這些界和牛頓公式

3、：sk+sk1b1+…+s1bk-1+kbk=0歸納給出系數(shù)bk七的范圍，從而得到一個(gè)d次的所有α≤B的互反多項(xiàng)式構(gòu)成的集合Fd，再進(jìn)一步找出最小房子． 若沿用Boyd的方法，隨著互反代數(shù)整數(shù)的次數(shù)d的變大，計(jì)算時(shí)間會(huì)急劇增加．因而在本文中，我們借助具有下面形式的輔助函數(shù)：f(z)=-Re(z)-J∑j=1ejlog|Qj(z)|得到sk更好的界．此方法曾經(jīng)在[10]中用到過(guò)，我們應(yīng)用此方法把互反代數(shù)整數(shù)的最小房子計(jì)算到了26次