電磁場(chǎng)雙語(yǔ)教學(xué)(en)chapter1-1

1、Electromagnetic FieldGuilin University of Electronic Technology,Textbook： Electromagnetic Field Theory Fundamentals，Bhag Singh Guru，Huseyin R. Hiziroglu，機(jī)械工業(yè)出版社Reference Books：(1)《電磁場(chǎng)與電磁波》，謝處方，高等教育出版社(2)《電磁場(chǎng)理

2、論》，畢德顯，電子工業(yè)出版社,Textbook and Reference Books,講義下載地址：,ftp://202.193.72.102/教學(xué)區(qū)/八系/鄒玉華/電磁場(chǎng)(外文教材),答疑：,科技樓408室星期三下午 15:00～16:30 張麗娟老師星期四下午 14:30～16:00 姜文英老師,總評(píng)成績(jī)的組成：,考核成績(jī)占70%，平時(shí)成績(jī)占20%，實(shí)驗(yàn)成績(jī)占10%。,有下列情況之一者，取消其考試資格：,1、全學(xué)期缺交作業(yè)

3、三分之一以上；2、曠課達(dá)10學(xué)時(shí)以上（課堂點(diǎn)名6次缺席）。,Electric Field and Magnetic Field,introduction,運(yùn)動(dòng)電荷或電流產(chǎn)生的場(chǎng)表現(xiàn)為對(duì)于磁鐵和載流導(dǎo)體有力的作用，這種場(chǎng)稱(chēng)為磁場(chǎng)。不隨時(shí)間變化的磁場(chǎng)稱(chēng)為靜磁場(chǎng)。,靜止電荷產(chǎn)生的場(chǎng)表現(xiàn)為對(duì)其它帶電體有力的作用，這種場(chǎng)稱(chēng)為電場(chǎng)。不隨時(shí)間變化的電場(chǎng)稱(chēng)為靜電場(chǎng)。,靜電場(chǎng)與靜磁場(chǎng)相互無(wú)關(guān)、彼此獨(dú)立，可以分別進(jìn)行研究。,如果電荷及電流均隨時(shí)間改變，它

4、們產(chǎn)生的電場(chǎng)及磁場(chǎng)也是隨時(shí)間變化的。時(shí)變的電場(chǎng)與時(shí)變的磁場(chǎng)可以相互轉(zhuǎn)化，兩者不可分割，構(gòu)成統(tǒng)一的時(shí)變電磁場(chǎng)。時(shí)變電場(chǎng)與時(shí)變磁場(chǎng)之間的相互轉(zhuǎn)化作用，在空間中形成了電磁波。,Electromagnetic Wave,本課程先討論靜電場(chǎng)和靜磁場(chǎng)，然后介紹時(shí)變電磁場(chǎng)。,Properties of Medium,電磁場(chǎng)與電磁波的存在和傳播無(wú)需依賴(lài)于任何媒質(zhì)。在沒(méi)有物質(zhì)存在的真空環(huán)境中，電磁場(chǎng)與電磁波的存在和傳播會(huì)更加“自由”。因此對(duì)于電磁場(chǎng)與電磁

5、波而言，真空環(huán)境通常被稱(chēng)為“自由空間 ”。,電磁場(chǎng)與電磁波雖然不能看見(jiàn)，但是客觀存在的一種物質(zhì)，因?yàn)樗哂形镔|(zhì)的兩種重要屬性：能量和質(zhì)量。但是，電磁場(chǎng)與電磁波的質(zhì)量極其微小，因此，通常僅研究電磁場(chǎng)與電磁波的能量特性。,當(dāng)空間中存在媒質(zhì)時(shí)，在電磁場(chǎng)的作用下媒質(zhì)中會(huì)發(fā)生極化與磁化現(xiàn)象，結(jié)果在媒質(zhì)中產(chǎn)生二次電場(chǎng)及磁場(chǎng)，從而改變了媒質(zhì)中原先的場(chǎng)分布，這就是場(chǎng)與媒質(zhì)的相互作用現(xiàn)象。,Relationship between Electro-mag

6、netic Field and Medium,電荷及電流是產(chǎn)生電磁場(chǎng)惟一的源。至今，人們尚未發(fā)現(xiàn)自然界中存在磁荷及磁流。然而，有時(shí)引入磁荷及磁流的概念是十分有益的，但是，它們僅是假想的。研究場(chǎng)與源的關(guān)系是電磁理論的基本問(wèn)題之一。我們將詳述場(chǎng)與源，以及場(chǎng)與媒質(zhì)之間的關(guān)系，并且給予嚴(yán)格的數(shù)學(xué)描述。,Sources of Electromagnetic Field,19世紀(jì)以前，電、磁現(xiàn)象作為兩個(gè)獨(dú)立的物理現(xiàn)象，人們沒(méi)有發(fā)現(xiàn)電與磁的聯(lián)系。,1

7、785: Coulomb’s law,1820: magnetic effect of current (Oersted), Ampere’s force law,1831: Faraday’s law of induction,1863: displacement current, Maxwell’s equations,1888: Hertz proved the existence of electromagnetic

8、wave by experiment.,Review of Events in History,Important events,Applications of Electromagnetic Field and Electromagnetic Wave,當(dāng)今的無(wú)線通信、廣播、雷達(dá)、遙控遙測(cè)、微波遙感、無(wú)線因特網(wǎng)、無(wú)線局域網(wǎng)、衛(wèi)星定位以及光纖通信等信息技術(shù)都是利用電磁波作為媒介傳輸信息的。,靜電復(fù)印、靜電除塵以及靜電噴漆等技術(shù)都是基于

9、靜電場(chǎng)對(duì)于帶電粒子具有力的作用。,電磁鐵、磁懸浮軸承以及磁懸浮列車(chē)等，都是利用磁場(chǎng)力的作用。,,無(wú)線通信系統(tǒng),發(fā)射機(jī)末級(jí)回路產(chǎn)生的高頻振蕩電流經(jīng)過(guò)饋線送到發(fā)射天線，通過(guò)發(fā)射天線將其轉(zhuǎn)換成電磁波輻射出去；到了接收端，電磁波在接收天線上感生高頻振蕩電流，再經(jīng)饋線將高頻振蕩電流送到接收機(jī)輸入回路，這就完成了信息的傳遞。整個(gè)過(guò)程中，經(jīng)歷了電磁波的傳輸、發(fā)射、傳播、接收等過(guò)程。,傳輸——導(dǎo)行電磁波 ( 導(dǎo)波理論 ),發(fā)射和接收——天線 ( 天線理

10、論 ),傳播——入射、反射、透射、繞射 ( 電波傳播 ),,電磁場(chǎng)的基本屬性及其運(yùn)動(dòng)規(guī)律電磁波與物質(zhì)的相互作用電磁場(chǎng)問(wèn)題的計(jì)算方法,Main Contents of This Course,掌握宏觀電磁場(chǎng)的基本屬性和運(yùn)動(dòng)規(guī)律掌握宏觀電磁場(chǎng)問(wèn)題的基本求解方法,Aims, Methods and Requirements,訓(xùn)練分析問(wèn)題、歸納問(wèn)題的科學(xué)方法培養(yǎng)用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問(wèn)題的能力,精讀教材，做好預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)獨(dú)立完成作業(yè),,Di

11、fficulty,Methods to analyze and deal with problems—— Process of mathematical treatment,Vector Analysis,Chapter 1 Vector Analysis,矢量的基本概念和運(yùn)算 常用坐標(biāo)系 場(chǎng)論基礎(chǔ)（標(biāo)量場(chǎng)的梯度，矢量場(chǎng)的散度和旋度）,Main Contents,1.1 Introduction of Vector Analy

12、sis,,Vector analysis is the language used in the study of electromagnetic fields. It’s useful to simplify and unify field equations. For example, the cross product of two vectors is,When expressed in scalar form, this eq

13、uation yields a set of three scalar equations. The appearance of these scalar equations depends upon the coordinate system.,Three scalar equations are,In the rectangular coordinate system,,1.2 Scalar and Vector Quantiti

14、es,,1.2.1 Scalar,a physical quantity that can be completely described by its magnitude,1.2.2 Vector,a physical quantity having a magnitude as well as a direction,,,force,velocity,electric field intensity,mass ( m ), t

15、ime ( t ), work ( W ), electric charge ( q ),1. Graphical representation of a vector,A vector quantity is depicted by a line segment. The magnitude of the vector is represented by the length of the line segment. The d

16、irection of the vector is indicated by an arrow.,Parallel arrows of equal length in the same direction represent the same vector.,,2.,means having the same magnitude and direction,3. Zero vector a vector of magnitude

17、zero,4. Unit vector a vector of unit magnitude,,A is the magnitude,∴,The direction of zero vector is arbitrary.,is the unit vector in the same direction of,1.3 Vector Operations,1.3.1 Vector Addition,,1. Parallelogra

18、m Method,2. Triangle Method,,,,,,3. Commutative Law of Addition,4. Associative Law of Addition,,1.3.2 Vector Subtraction,,,,,1.3.3 Multiplication of a Vector by a Scalar,,,1.,,3.,,is a dependent vector.,k < 0,

19、is in the opposite direction from .,or,1.3.4 Product of Two Vectors,Angle between two axes ( axis : a straight line having a direction ),(1) 若兩軸 l1 和 l2 相交于點(diǎn) S ，在兩軸決定的平面上，把其中一軸繞點(diǎn) S 旋轉(zhuǎn)，使它的正向與另一軸的正向重合時(shí)所需要旋轉(zhuǎn)的角度，稱(chēng)為兩軸

20、間的夾角。一般規(guī)定兩軸間的夾角限定在0與p之間，且不區(qū)分軸的順序。,,(2) 若兩軸 不相交，則可自空間中的任一點(diǎn) S 引兩軸 l1和l2，使之分別與 平行，且有相同指向，l1和l2的夾角即為 間的夾角。,Angle between two vectors?,,1. Dot Product,,,(1) Dot product is a scalar. ( scalar product ),(2) The

21、dot product is maximum when the two vectors are parallel. (q = 0, p ),(3) If the dot product of two nonzero vectors is zero, the two vectors are orthogonal. (q = p/2 ),∵ Zero vector is thought to be orthogonal to any vec

22、tor.,∴,(4) Basic Properties of the Dot Product,Commutative:,,Distributive:,Scaling:,,,,(5) the scalar projection of on,,(6) the vector projection of on,,,,,,Scalar projection may be positive or negative.,,,,(7)

23、 angle between and,,,,,(8),2. Cross Product,,,,,q,絕對(duì)值符號(hào)可去掉,確定的平面是黑板面,垂直黑板面向內(nèi),垂直黑板面向外,,,,q,,(1) The cross product of two vectors is a vector. ( vector product ),(2),(3),two nonzero vectors are parallel,two cases:,(4

24、) If and are the two sides of a parallelogram, then,(5) Basic Properties of the Cross Product,,Commutative law doesn’t exist.,,Distributive:,,Scaling:,3. Scalar Triple Product,,(1) If the three vectors repres

25、ent the sides of a parallelepiped, then the scalar triple product yields its volume.,,(2),1.4 The Coordinate Systems,,1.4.1 Rectangular coordinate system,variables:,position vector (directed from the origin O to point

26、P ),X, Y, and Z are the scalar projections of the position vector on the x, y, and z axes.,constant vectors,unit vectors:,,,,,,1.,,,,,常數(shù)的平面，且指向 x 增大的方向。,,注意：上式中的 與點(diǎn) P 的位置無(wú)關(guān)。,,,,2. Representation of a ve

27、ctor,,,,,,,,,,4.,∵ 和 的夾角q 由下式計(jì)算：,現(xiàn)在 分別是 。,,,,,,,,,,,,1.4.2 Cylindrical Coordinate System,,1. variables,r ：位矢OP 在 xy 平面的投影f ：+x軸至平面OTPM 的夾角z ：位矢OP 在 z 軸上的標(biāo)投影,,,,,,,,2. unit vectors,,,,,For example,,3. p

28、osition vector,,,,在P點(diǎn)上， 常數(shù)的圓柱面，且指向 r 增大的方向； 常數(shù)的平面，且指向f 增大的方向。,is a constant vector, and change directions as f varies.,,,,,,,4.,注意：上式中的 與點(diǎn) P 的 f 坐標(biāo)有關(guān)。,5. Representat

29、ion of a vector,,,,,,,,,6. If two vectors and are defined either at a common point or in a plane, we can add, subtract, and multiply these vectors as we did in the

30、rectangular coordinate system.,,,,,,,,7. 若 定義在點(diǎn) 上， 定義在點(diǎn) 上，且 ，則必須首先把 和 轉(zhuǎn)換成矩坐標(biāo)系中的矢量，然后進(jìn)行運(yùn)算。,8. Transformation of Unit Vectors,,,,,,,,,,matrixA,,,For example,,,9. Transfor

31、mation of a Vector,,,∵,,,,∴,,,1.4.3 Spherical Coordinate System,,1. variables,r ：位矢OP 的大小q ：位矢OP 與+ z 軸的夾角f ：+ x 軸至平面OMPN的夾角,,,,,,,,2. unit vectors,all change directions as q or f varies.,3. position vector,在P點(diǎn)上，

32、 常數(shù)的球面，且指向 r 增大的方向； 常數(shù)的圓錐面，且指向q 增大的方向。,,,4.,5. 若矢量 和 定義在同一點(diǎn) 或同一徑向線 的不同點(diǎn)上，則矢量加法、減法和乘積運(yùn)算規(guī)則與矩坐標(biāo)系中的相同。,,,否則，需首先把 和 轉(zhuǎn)換成矩坐標(biāo)系中的矢量，然后進(jìn)行運(yùn)算。,6. Transformation of Uni

33、t Vectors,,7. Transformation of a Vector,,,,,與點(diǎn) P 的位置無(wú)關(guān),與點(diǎn) P 的 f 坐標(biāo)有關(guān),與點(diǎn) P 的 q 或 f 坐標(biāo)有關(guān),,,1.5 Scalar and Vector Fields,1. Field Concept,如果在空間中某個(gè)區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)都有一物理量（如溫度、電場(chǎng)、磁場(chǎng)）的確定值與之對(duì)應(yīng)，則在這個(gè)區(qū)域中就構(gòu)成該物理量的場(chǎng)。,2. Classifications,accor

34、ding to the properties of the physical quantity,according to the variability of the physical quantity,Time-Varying Fields 物理量隨時(shí)間的變化而變化 ( ),Scalar Fields 物理量為標(biāo)量（溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)）,Vector Fields 物理量為矢

35、量（電場(chǎng)、磁場(chǎng)）,Static Fields 物理量不隨時(shí)間的變化而變化,3. Vector Calculus,,(1) 對(duì)于矢量場(chǎng) ，,,,(2) 對(duì)于矢量場(chǎng) ，,,,(3) ， ，則,,,的導(dǎo)數(shù)在形式上與兩個(gè)標(biāo)量函數(shù)之積的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則相同,(4) ， ，則,,,,,,,,,,,,o,o,o,,,,Conclusions,在矩坐標(biāo)系中，矢量函數(shù)

36、對(duì)某一變量的偏導(dǎo)數(shù)（或?qū)?shù)）仍是矢量，其各個(gè)分量等于原矢量函數(shù)各分量對(duì)該變量的偏導(dǎo)數(shù)（或?qū)?shù)）（∵坐標(biāo)單位矢量是常矢量）。簡(jiǎn)言之，只需將坐標(biāo)單位矢量提到微分符號(hào)外即可。,在圓柱坐標(biāo)系或球坐標(biāo)系中，由于某些坐標(biāo)單位矢量不是常矢量，對(duì)矢量函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)（或?qū)?shù)）時(shí)，不能直接將坐標(biāo)單位矢量提到微分符號(hào)之外。,圓柱坐標(biāo)系,,∴ 各坐標(biāo)單位矢量對(duì)空間坐標(biāo)變量的偏導(dǎo)數(shù)為,,,,例如：,,,,,球坐標(biāo)系,,∴ 各坐標(biāo)單位矢量對(duì)空間坐標(biāo)變量的偏導(dǎo)數(shù)為

37、,1.6 Differential Elements of Length, Surface, and Volume,1.6.1 Rectangular Coordinate System,,,(1) differential volume element,非負(fù)標(biāo)量,, ∵ dx is a differential element,,(2) differential surface area element: 面積很小的有向曲面,矢量

38、,,,：面元面積，其值可認(rèn)為無(wú)限小,非負(fù),：面元法線方向的單位矢量,開(kāi)曲面上的面元：假設(shè)開(kāi)曲面由封閉曲線l 圍成，選定繞行l(wèi) 的方向，運(yùn)用右手螺旋法則，大拇指所指方向?yàn)槊嬖较?的方向,閉曲面上的面元：封閉曲面的外法線方向,,,,,,(3) differential length element from P to Q,,,,,,,1.6.2 Cylindrical Coordinate System,,,The differ

39、ential volume is bounded by six surfaces:,O,,,,(1) differential volume element,,非負(fù)標(biāo)量,(2) differential surface area element,,,,,,,,,,(3) differential length element from P to Q,1.6.3 Spherical Coordinate System,Q,,,

40、,,The differential volume is bounded by six surfaces:,,,,(1) differential volume element,,非負(fù)標(biāo)量,(2) differential surface area element,volume of a sphere of radius a :,surface area of a sphere of radius a :,(3) differenti

41、al length element from P to Q,,,,,,,,,,小 知 識(shí),矩坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系都屬于三維正交曲線坐標(biāo)系。凡是具有三個(gè)坐標(biāo)變量 ，而且其坐標(biāo)單位矢量 相互正交的坐標(biāo)系，都統(tǒng)稱(chēng)為三維廣義正交曲線坐標(biāo)系。,三種坐標(biāo)系中長(zhǎng)度元、面元和體積元的統(tǒng)一公式,矩坐標(biāo)系：,,,,,,,,,,拉梅系數(shù),圓柱坐標(biāo)系：,,,,,,,,,,

42、球坐標(biāo)系：,,,,,,,,,,長(zhǎng)度元：,面元：,體積元：,,單位矢量 表示方向；,面積(線)元非負(fù) ；,,,例如：已知點(diǎn)O (0, 0, 0)和點(diǎn) A (1, 0, 0)是 x 軸上的兩點(diǎn)，則矢量 沿有向線段 的線積分為,面元 和長(zhǎng)度元 是矢量，計(jì)算面( 線 )積分時(shí)，應(yīng)注意：,積分限的選取。,路徑 c 是從 A 點(diǎn)到 B 點(diǎn)的一段圓弧，圓弧的半徑為 a 。,

43、路徑c：,∵ 從A 點(diǎn)到 B 點(diǎn)， df < 0，,注意：,,,1.7 Line, Surface, and Volume Integrals,The basic laws of electromagnetic fields are often expressed in terms of integrals of field quantities over various curves, s

44、urfaces, and volumes in a region.,,Examples:,In static electric field, the potential difference between point a and point b is defined as,The current through a conductor is defined as the surface integral of volume curre

45、nt density,,1.7.1 The Line Integral,1. the line integral of a scalar field f from point a to point b along a curve c in three-dimensional space,,,,the value of f within the length segment,vector,2. the scalar line

46、integral of a vector field,,scalar,3. the vector line integral of a vector field,vector,When c is a closed curve, the integral sign is denoted as ∮.,,,1.7.2 The Surface Integral,1. the surface integral of a scalar field

47、 f,,vector,,the value of f over the elemental surface,2. the scalar surface integral of a vector field,,scalar,3. the vector surface integral of a vector field,,vector,1.7.3 The Volume Integral,1. the scalar volume i

48、ntegral of a scalar field,,2. the volume integral of a vector field,,1.8 The Gradient of a Scalar Function,為考察標(biāo)量場(chǎng)在空間的分布和變化規(guī)律，引入等值面、方向?qū)?shù)和梯度的概念。,1.8.1 the equivalence surface of a scalar field,由所有場(chǎng)值相等的點(diǎn)所構(gòu)成的曲面,標(biāo)量場(chǎng)可用標(biāo)量函數(shù)來(lái)表

49、示。例如，矩坐標(biāo)系中標(biāo)量場(chǎng) f 可以表示成 或 。方程 表示一個(gè)曲面（C是任意常數(shù)），曲面上每個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值相同，都等于C。這個(gè)曲面就是標(biāo)量場(chǎng) f 的等值面。,For example, isothermal surface of a temperature field (溫度場(chǎng)的等溫面) , equipotential s

50、urface of a electric potential field (電位場(chǎng)的等位面) .,f (x, y, z) = C1,f = C2,f = C3,根據(jù)標(biāo)量場(chǎng)的定義，空間中每一點(diǎn)上只對(duì)應(yīng)場(chǎng)函數(shù)的一個(gè)確定值。因此，充滿整個(gè)標(biāo)量場(chǎng)所在空間的眾多等值面互不相交，即場(chǎng)中的一個(gè)點(diǎn)只能在一個(gè)等值面上。,notice,,若某一標(biāo)量場(chǎng) f 是坐標(biāo)變量 x和 y 的函數(shù)，這樣的場(chǎng)稱(chēng)為平面標(biāo)量場(chǎng)。 ( C 為任

51、意常數(shù) ) 稱(chēng)為等值線方程，在幾何上表示一組等值曲線。場(chǎng)中的等值線 ( contour line ) 也是互不相交的。,1.8.2 the directional derivative of a scalar field,標(biāo)量場(chǎng)的等值面或等值線可形象地幫助了解物理量在場(chǎng)中總的分布情況。但研究標(biāo)量場(chǎng)時(shí)，還需要知道場(chǎng)在不同方向上變化的情況。為此，引入方向?qū)?shù)來(lái)描述標(biāo)量場(chǎng)在空間某個(gè)方向上變化的情況。,,,1. Definition,,為標(biāo)

52、量場(chǎng),,中的一點(diǎn)，從點(diǎn) 出發(fā)，朝任一方向引射線 ，在 上靠近點(diǎn) 取一動(dòng)點(diǎn) ，點(diǎn) 到點(diǎn) M 的距離為 。,,,,,,稱(chēng)為函數(shù) 在點(diǎn) 沿 方向的方向?qū)?shù),,,,由偏導(dǎo)數(shù)定義，,,,,例如， 就是函數(shù) f (x, y

53、, z) 沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的方向?qū)?shù)。,,2. 矩坐標(biāo)系中方向?qū)?shù) 的計(jì)算公式,,a , b , g 分別是 與 x 軸、y 軸和 z 軸的夾角。,方向的單位矢量,根據(jù)多元函數(shù)的全增量和全微分的關(guān)系，有,,,,時(shí)，,,由方向?qū)?shù)定義式，略去下標(biāo)M0 ，可得任意點(diǎn)上沿 方向的方向?qū)?shù)的表達(dá)式：,,,,1.8.3 the gradient of a scalar function,方向?qū)?shù)是標(biāo)量函數(shù)在給定點(diǎn)沿某

54、個(gè)方向?qū)嚯x的變化率。從標(biāo)量場(chǎng)中的給定點(diǎn)出發(fā)，有無(wú)窮多個(gè)方向。函數(shù)沿其中哪個(gè)方向的變化率最大？這個(gè)最大的變化率是多少？,,,f = C2,f = C1,,,,,,,1. Definition of the Gradient,,其中，,,是 方向的單位矢量,,,,,標(biāo)量函數(shù) f (x, y, z) 在任意點(diǎn)M上沿 方向的方向?qū)?shù)為：,,,,,,可變,在 上的標(biāo)投影 ＝ 函數(shù) f (x, y, z) 沿 方向的方向?qū)?/p>

55、數(shù),當(dāng) 與 方向相同 時(shí)， f (x, y, z) 沿 方向的方向?qū)?shù)最大,,（當(dāng) ）,,,,,,,is defined as the gradient of f (x, y, z),grad f =,Grad is the abbreviation of gradient.,2. properties of the gradient,,說(shuō)明梯度總是指向函數(shù)值增大的方向！,與坐標(biāo)位

56、置有關(guān),函數(shù) f 沿梯度方向的方向?qū)?shù)為,,,,,,,?,標(biāo)量函數(shù)沿 方向的方向?qū)?shù) ＝ 梯度,,,右圖中切平面的法線矢量是,,可見(jiàn)法線矢量 恰好等于在點(diǎn) M 處函數(shù) f 的梯度，即,,∴ 在點(diǎn) M，f 的梯度垂直于過(guò)點(diǎn) M 的等值面,,帶電平行板,,3. Hamilton operator ▽,矩坐標(biāo)系中▽算符定義為：,,注意：▽既是一個(gè)微分算子，又可以看作一個(gè)矢量，稱(chēng)之為矢性微分算子。,矩坐標(biāo)系中：,,,則梯度可表示

57、為：,圓柱坐標(biāo)系中：,球坐標(biāo)系中：,矩坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中梯度的表達(dá)式,擴(kuò)展內(nèi)容,可根據(jù)公式 ，推導(dǎo)矩坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的梯度計(jì)算公式。,圓柱坐標(biāo)系中：,教材 Exercises 2.31 的解,,,,球坐標(biāo)系中：,,,,4. basic formulae of the gradient,,這些公式與對(duì)一般函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的法則類(lèi)似,For example,

58、 , then .,,,,Example: Using the expression for the gradient of a scalar function, verify that .,Solution:,,,,,Please prove that,,,denotes the differentiation of a

59、function with respect to variables ,,Example: , is the distance vector from point to point ( x, y, z ) .,Solution:,,∵,,,,,∵,∴,,