第1章電磁場的普遍規(guī)律

1、電動力學 復習,山東大學物理學院 宗福建,1,第一章 復習,山東大學物理學院 宗福建,2,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,§ 1.1 電荷和電場1. 庫侖定律2、定義電場強度E, F=QE3、靜電場的散度和旋度,山東大學物理學院 宗福建,3,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,§ 1.2 電流和磁場畢奧-薩伐爾（Biot-Savart）定律 磁場的散度和旋度,山東大學物理學院 宗福建

2、,4,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,§ 1.2 電流和磁場電荷守恒定律 ——電流連續(xù)性方程微分形式,山東大學物理學院 宗福建,5,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,真空中的靜電、靜磁場電磁感應定律,山東大學物理學院 宗福建,6,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,位移電流假設,山東大學物理學院 宗福建,7,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,§ 1.3真空中的Maxwell方程組,山東大學物理學院 宗福建,

3、8,山東大學物理學院 宗福建,9,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,§ 1.4 介質中的Maxwell方程組1、介質的極化宏觀電偶極距分布用電極化強度矢量P描述，它等于物理小體積ΔV 內(nèi)的總電偶極距與ΔV 之比，式中pi為第i個分子的電偶極距，求和符號表示對ΔV內(nèi)所有分子求和。,山東大學物理學院 宗福建,10,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,1、介質的極化引入電位移矢量D,定義為 則，,山東大學物理學院 宗福建,

4、11,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,1、介質的極化實驗指出，各種介質材料有不同的電磁性能，D和E的關系也有多種形式。對于一般各向同性線性介質，極化強度P和E之間有簡單的線性關系,山東大學物理學院 宗福建,12,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,2、介質的磁化介質磁化后，出現(xiàn)宏觀磁偶極距分布，用磁化強度M表示，它定義為物理小體積ΔV內(nèi)的總磁偶極距與ΔV之比，,山東大學物理學院 宗福建,13,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,2、介質的磁化引入

5、磁場強度H，定義為則，,山東大學物理學院 宗福建,14,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,2、介質的磁化實驗指出，對于各向同性非鐵磁物質，磁化強度M和H之間有簡單的線性關系,山東大學物理學院 宗福建,15,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,3、介質中的麥克斯韋方程組為 介質方程為：,山東大學物理學院 宗福建,16,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,積分形式：,山東大學物理學院 宗福建,17,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,4、法向分量的躍

6、變,山東大學物理學院 宗福建,18,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,5、切向分量的躍變,山東大學物理學院 宗福建,19,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,矢量形式,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,§ 1.5 電磁場的能量和動量能量守恒的積分形式是 相應的微分形式為電磁場能量密度和能流密度表示式,山東大學物理學院 宗福建,20,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,§ 1.5 電磁場的能量和動量動量守恒的積分形式是

7、相應的微分形式為電磁場動量密度和動量流密度表示式,山東大學物理學院 宗福建,21,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,1、直接給出庫侖定律的數(shù)學表達式，寫明其中各個符號的物理意義。并推導出真空中靜電場散度和旋度的公式 。2、直接給出畢奧-薩伐爾定律的數(shù)學表達式，寫明其中各個符號的物理意義，并推導出真空中靜磁場散度和旋度的公式。3、直接給出法拉第電磁感應定律的積分形式和微分形式，寫明其中各個符號的物理意義。,山東大學物理學院 宗福建,

8、22,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,4、直接給出真空中麥可斯韋方程組的積分形式和微分形式，寫明其中各個符號的物理意義。5、場和電荷系統(tǒng)的能量守恒定律的積分形式和微分形式，電磁場能量密度和能流密度表達式。6、場和電荷系統(tǒng)的動量守恒定律的積分形式和微分形式，動量密度和動量流密度表達式。7、設想存在孤立磁荷(磁單極子)，試改寫Maxwell方程組，以包括磁荷密度ρm和磁流密度Jm的貢獻。,山東大學物理學院 宗福建,23,第1章 電磁場

9、的普遍規(guī)律,山東大學物理學院 宗福建,24,8、直接給出介質電極化強度P的定義，并推導公式 9、直接給出介質磁化強度M的定義，并推導公式 10、直接給出介質中麥可斯韋方程組的積分形式和微分形式，寫明其中各個符號的物理意義，并給出反映介質性質的介質方程。11、根據(jù)介質中麥可斯韋

10、方程組，推導出介質界面上E、D、B、H的邊值關系。,,,第1章 電磁場的普遍規(guī)律,山東大學物理學院 宗福建,25,12、場和電荷系統(tǒng)的能量守恒定律的積分形式和微分形式，電磁場能量密度和能流密度表達式。13、場和電荷系統(tǒng)的動量守恒定律的積分形式和微分形式，動量密度和動量流密度表達式。,,,第2章 復習,§2.1 靜電場的標勢,真空中Maxwell方程組中，靜電場的方程為：引入：則有：,27,山東大學物理學院 宗福

11、建,§2.1 靜電場的標勢,ρ為自由電荷密度。上式是靜電勢滿足的基本微分方程，稱為泊松（Poisson）方程。給定邊界條件就可以確定電勢 的解。,28,山東大學物理學院 宗福建,§2.1 靜電場的標勢,可以驗證，電勢 是泊松（Poisson）方程 的一個特解。,29,山東大學物理學院 宗福建,山東大學物理學院 宗福建,30,標勢的邊值關系,,山東大學物理學院 宗福建,31,標勢的邊值關

12、系,兩絕緣介質之間：即，,山東大學物理學院 宗福建,32,標勢的邊值關系,兩導電介質之間：即，,山東大學物理學院 宗福建,33,標勢的邊值關系,金屬表面：即，,山東大學物理學院 宗福建,34,標勢的邊值關系,一邊是導電介質、一邊是絕緣介質：即，,山東大學物理學院 宗福建,35,§2.2 唯一性定理,1、可以均勻分區(qū)的單連通區(qū)域內(nèi)靜電場的唯一性可以均勻分區(qū)的區(qū)域V，即V可以分為若干個均勻區(qū)域 Vi ，

13、每一個區(qū)域的介電常數(shù)為 εi 。設V內(nèi)有給定的電荷分布 ρ（x）。電勢 φ 在均勻區(qū)域 Vi 內(nèi)滿足泊松方程在兩區(qū)域 Vi 和 Vj 的分界上滿足邊值關系,山東大學物理學院 宗福建,36,§2.2 唯一性定理,唯一性定理： 設區(qū)域V內(nèi)給定自由電荷分布，在V的邊界上S上給定（1）電勢φ | s 或 （2）電勢的法向導數(shù) ?φ /?n| s ，則V內(nèi)的電場唯一確定。也就是說，在V內(nèi)存在唯一的解，它在每個均勻

14、區(qū)域內(nèi)滿足泊松方程，在兩均勻區(qū)域分界面上滿足邊值關系，并在V的邊界S上滿足該給定的φ或?φ /?n值。,山東大學物理學院 宗福建,37,§2.2 唯一性定理,2. 有導體存在時的唯一性定理 當有導體存在時，由實踐經(jīng)驗我們知道，為了確定電場，所需條件有兩種類型：一類是給定每個導體上的電勢 φi ，另一個是給定每個導體上的總電荷 Qi 。,山東大學物理學院 宗福建,38,§2.2 唯一性定理,設在某區(qū)域V內(nèi)有

15、一些導體，我們把除去導體內(nèi)部以后的區(qū)域稱為V' ，因而V' 的邊界包括界面S以及每個導體的表面 Si 。設V' 內(nèi)有給定電荷分布 ρ ，S上給定φ|s 或 ?φ/?n|s值。對上述第一種類型的問題，每個導體上的電勢φi 亦給定，即給出了V' 所有邊界上的φ或 ?φ/?n 值，因而由上一小節(jié)證明了的唯一性定理可知，V' 內(nèi)的電場唯一地被確定。,山東大學物理學院 宗福建,39,§2.2

16、唯一性定理,對于第二種類型的問題，唯一性定理表述如下：設區(qū)域V內(nèi)由一些導體，給定導體之外的電荷分布ρ，給定各導體上的總電荷 Qi 以及V的邊界S上的φ或 ?φ/?n 值，則V內(nèi)的電場唯一確定。也就是說，存在唯一的解，它在導體以外滿足泊松方程,山東大學物理學院 宗福建,40,§2.2 唯一性定理,在第i個導體上滿足總電荷條件 （n為導體面的外法線）和等勢面條件 φ|s= φi=常量以及在V的邊界S上具有給定的φ

17、|s 或 ?φ/?n|s 值。,§2.3 電像法,1、電像法的適用條件我們設想，導體面上的感應電荷對空間中電場的影響用導體內(nèi)部某個或某幾個假想電荷來代替。注意我們在作這種代換時并沒有改變空間中的電荷分布（在求解電場的區(qū)域，即導體外部空間中仍然是只有一個點電荷Q），因而并不影響泊松方程，問題的關鍵在于能否滿足邊界條件。如果用這代換確實能夠滿足邊界條件，則我們所設想的假想電荷就可以用來代替導體面上的感應電荷分布，從而問題的解可以

18、簡單地表示出來。,§2.3 電像法,思考題1：無限大導體上部有一個電偶極矩為P的電偶極子。求電勢、電場分布。,§2.3 電像法,思考題2：無限大導體的邊角處有點電荷。求電勢、電場分布。,§2.3 電像法,思考題2：無限大導體的邊角處有點電荷。求電勢、電場分布。,§2.3 電像法,,§2.3 電像法,,§2.4 分離變量法,對一般情況，設泊松方程的解為：則，

19、即：泊松方程的解為拉普拉斯方程的通解+泊松方程特解,§2.4 分離變量法,拉氏方程在球坐標系中的通解為式中 a n m ,b n m ,c n m 和 d n m 為任意常數(shù)，在具體問題中有邊界條件定出。Pnm（cosθ） 為締和勒讓德（Legendre）函數(shù)。,§2.4 分離變量法,若該問題中具有對稱軸，取此軸為極軸，則電勢φ不依賴于方位角φ，這情形下通解為 Pn（cosθ）為勒讓德函數(shù)

20、，an和bn由邊界條件確定。,§2.4 分離變量法,Pn（cosθ）為勒讓德函數(shù),思考題,1、半徑為R0的介質球置于均勻外電場E0中（真空），求空間電勢和電場分布。取介質球球心處的電勢為零。2、具有均勻外電場E0的均勻介質中有一個半徑為R0的空洞，求空間電勢和電場分布。3、半徑為R0的導體球置于均勻外電場E0中（真空），求電勢和導體上的電荷面密度。4、在均勻外電場E0中置人—帶均勻自由電荷 ρf 的介質球(電容率 ε

21、0)，求空間各點的電勢和電場分布。取介質球球心處的電勢為零。,山東大學物理學院 宗福建,52,§2.6 電勢的多極展開,設 f（x ?x'）為 x ?x' 的任一函數(shù)，在 x點附近 f（x ?x'）的展開式為,山東大學物理學院 宗福建,53,§2.6 電勢的多極展開,山東大學物理學院 宗福建,54,§2.6 電勢的多極展開,山東大學物理學院 宗福建,55,§2.6

22、電勢的多極展開,山東大學物理學院 宗福建,56,§2.6 電勢的多極展開,第三、四章 復習,山東大學物理學院 宗福建,58,根據(jù)矢量分析的定理（附錄Ⅰ.17式）, 若則 B 可表為另一矢量的旋度A 稱為磁場的矢勢。,第三章 復習,山東大學物理學院 宗福建,59,矢勢微分方程,把 B = ▽× A 代入得矢勢A的微分方程,山東大學物理學院 宗福建,60,矢勢微分方程,由矢量分析公式（附錄

23、Ⅰ.25式）， 若取A滿足規(guī)范條件 ▽· A = 0 ，得矢勢A的微分方程 ,又稱矢勢A的泊松方程。,山東大學物理學院 宗福建,61,矢勢微分方程,對比靜電勢的解，可得矢勢A的泊松方程式特解 式中x‘是源點，x是場點，r為由x’ 到x的距離。,山東大學物理學院 宗福建,62,矢勢的邊值關系,在兩介質分解面上磁場的邊值關系為磁場邊值關系可以化為矢勢A的邊值關系。對于非鐵磁介質，矢勢的邊值關系為,山東大學物

24、理學院 宗福建,63,矢勢的多級展開,給定電流分布在空間中激發(fā)的磁場矢勢為,山東大學物理學院 宗福建,64,矢勢的多級展開,如果電流分布于小區(qū)域V內(nèi)，而場點x又距離該區(qū)域比較遠，我們可以把A(x)作多級展開。取區(qū)域內(nèi)某點O為坐標原點，把1/r的展開式得,山東大學物理學院 宗福建,65,矢勢的多級展開,展開式的第一項為,山東大學物理學院 宗福建,66,矢勢的多級展開,展開式的第二項為,在一般情況下磁場不能用標勢描述，而需要矢勢描述

25、。矢勢描述雖然是普遍的，但解矢勢A的邊值問題比較復雜，因此，我們考慮在某些條件下是否仍然存在著引入標勢的可能性。,1、磁標勢的引入,在解決實際問題時，我不考慮整個空間中的磁場，而只求某個區(qū)域的磁場。如果所有回路都沒有鏈環(huán)著電流，則,因而在這個區(qū)域內(nèi)可以引入標勢。,例如一個圈，如果我們挖去線圈所圍著的一個殼形區(qū)域之后，則剩下的空間V中任一閉合回路都不鏈環(huán)著電流（如圖）。因此，在除去這個殼形區(qū)域之后，在空間中就可以引入磁標勢來描述磁場.,在

26、J=0區(qū)域內(nèi)， 所滿足的微分方程,靜電場微分方程,用磁標勢法時，H和電場中的E相對應。,由此，可以引入磁標勢?m，使,磁標勢的邊值關系,磁標勢的邊值關系,臨界溫度：圖示是汞樣品的電阻隨溫度變化關系。我們可以看到當溫度4.2K以下時，電阻突然下降為零。這種電阻率為零的性質稱為超導電性。開始出現(xiàn)超導電性的溫度稱為臨界溫度Tc，不同材料有不同的臨界溫度Tc。,（1）超導電性,當物體處于超導狀態(tài)時，若加上磁場，當磁場強度增大到某一臨界值Hc時，

27、超導性被破壞，超導體由超導態(tài)轉變?yōu)檎B(tài)。Hc與溫度有關。,（2）臨界磁場,當材料處于超導狀態(tài)時，隨著進入超導體內(nèi)部深度的增加磁場迅速衰減，磁場主要存在于導體表面的薄層內(nèi)。對宏觀超導體，可把這個厚度看成是零。近似認為超導體內(nèi)部的磁感應強度B＝0。,（3）邁斯納效應（ Meissner ）,超導體具有完全抗磁性稱之為理想邁斯納態(tài),不能理想化的狀態(tài)稱為一般邁斯納態(tài)。,（3）邁斯納效應（ Meissner ）,1. 如果物理初始處于超導狀態(tài)，

28、當外加磁場時，只要磁場不超過臨界值Hc，磁場B不能進入超導體內(nèi)。,2. 若把正常態(tài)物體放入磁場內(nèi)，當溫度下降使物體轉變?yōu)槌瑢w時，磁場B被排出超導體外。,超導體的抗磁性與超導體所經(jīng)過的歷史無關,超導體內(nèi)的電流超過某個臨界值，超導體變成正常態(tài)。對應于：超過這個臨界值的電流產(chǎn)生超過臨界值的磁場。,（4）臨界電流,第一類超導體：元素超導體多屬于此。存在一個臨界磁場。,第二類超導體：合金和化合物多屬于此。存在兩個臨界磁場。在小臨界值以下，磁場完

29、全被排出。在兩臨界值之間，磁場以量子化磁通線的形式進入樣品中，使之處于正常態(tài)和超導態(tài)的混合態(tài)，每一條磁通線穿過的線長區(qū)域處于正常態(tài)，其余區(qū)域處于超導態(tài)。每一條磁通線的磁通量為一個磁通量子。磁通線整條產(chǎn)生與湮滅。隨外磁場增大，穿過樣品內(nèi)部的磁通線逐漸增多，正常相區(qū)域逐漸擴大。在上臨界值以上，無表面超導相的樣品整個轉變?yōu)檎B(tài)。此類超導具有較高的臨界溫度、臨界磁場、通過較大的超導電流，故應用價值相應較大。,（5）第一類和第二類超導體,實驗發(fā)

30、現(xiàn)，第一類復連通超導體，如超導環(huán)、空心超導圓柱體，單連通和復連通的第二類超導體，磁通量只能是基本值?0=h/2e=2.07×10-15Wb的整數(shù)倍。 ?0稱為磁通量子，h為普朗克常數(shù)，e為電子電荷的值。,（6）磁通量子化,第四章 復習,1. 電磁場波動方程 (真空中)令得,上一講復習,此即為波動方程。由其解可知電磁場具有波動性，電磁場的能量可以從一點轉移到另一點。即脫離電荷、電流而獨立存在的自由電磁場總是以波動形式運動

31、著。在真空中，一切電磁波（包括各種頻率范圍的電磁波，如無線電波、光波、X射線和γ射線等）都以速度C傳播，C就是最基本的物理常量之一，即光速。,上一講復習,2. 時諧電磁波 研究時諧情形下的麥氏方程組。在一定頻率下，有 D = ε E , B = μ H , 消去共同因子 e?iωt 后得,上一講復習,2. 時諧電磁波 在 ω ≠ 0 的時諧電磁波情形下這組方程不是獨立的。取第一式的散度，由于 ▽ · （▽ ×

32、 E ） = 0 ，因而 ▽ · H = 0 ，即得第四式。同樣，由的二式可導出第三式。因此，在一定頻率下，只有第一、第二式是獨立的，其他兩式可由以上兩式導出。,上一講復習,2. 時諧電磁波 亥姆霍茲（Helmholtz)方程,上一講復習,2. 時諧電磁波 亥姆霍茲（Helmholtz)方程類似地，亦可以把麥質方程組在一定頻率下化為,上一講復習,3. 平面電磁波 任意傳播方向的平面電磁波在一般坐標系下平面電磁波

33、的表示式是 式中k是沿電磁波傳播方向的一個矢量，其量值為 |k| = ω（με）1/2 。在特殊坐標系下，當 k 的方向取為x軸時，有 k · x = k x,上一講復習,3. 平面電磁波 E、B和k是三個各互相正交的矢量。E和B同相，振幅比為在真空中，平面電磁波的電場與磁場比值為,上一講復習,3. 平面電磁波 概括平面波的特性如下：（1）電磁波為橫波，E和B都與傳播方向垂直，TEM波；（2）E和B互相

34、垂直，E×B沿波矢k方向；（3）E和B同相，振幅比為 υ 。,上一講復習,4. 電磁波的能量和能流w和S都是隨時間迅速脈動的量，實際上我們只需要用到它們的時間平均值。,上一講復習,5. 反射和折射定律 時諧情形下的麥克斯韋方程組的積分形式應用到邊界上,并考錄到在絕緣介質界面上，σ = 0 ,α = 0。 在一定頻率情形下，麥氏方程組不是完全獨立的，由第一、二式可導出其他兩式。與此相應，邊值關系也不是完全獨立的。因此，在

35、討論時諧電磁波時，介質界面上的邊值關系只需考慮以下兩式：,上一講復習,5. 反射和折射定律兩邊同時進行頻譜分析，得必然有：即，入射、反射和折射光的頻率相等。,上一講復習,5. 反射和折射定律由于 x 和 y 是任意的，它們的系數(shù)應各自相等，取入射波矢在 xz 平面上，有 ky = 0，由上式 ky‘ 和 ky“ 亦為零。因此，入射波矢、反射波矢和折射波矢都在同一平面上。,上一講復習,5. 反射和折射定律這就

36、是我們熟知的反射定律和折射定律 對電磁波來說，υ = 1/(με)1/2，因此：n21為介質2相對與介質1的折射率。,上一講復習,6. 振幅關系 菲涅耳（Fresnel）公式（1）E垂直入射面利用反射定律和折射定律得,上一講復習,6. 振幅關系 菲涅耳（Fresnel）公式（2）E平行入射面利用反射定律和折射定律得,上一講復習,6. 振幅關系 菲涅耳（Fresnel）公式在θ +θ" = 90

37、76;的特殊情況下，，E平行于入射面的分量沒有反射波，因而反射光變?yōu)榇怪比肷涿嫫竦耐耆窆?，這時光學中的布儒斯特（Brewster）定律，這情形下的入射角為布儒斯特角。,上一講復習,6. 振幅關系 菲涅耳（Fresnel）公式菲涅耳公式同時也給出入射波、反射波和折射波的相位關系。在E垂直入射的情形，因為當ε2 > ε1時θ > θ"，因此E '/E為負數(shù)，即反射波電場于入射波電場反相，這現(xiàn)象稱為反射

38、過程中的半波損失。,上一講復習,7. 全反射可以求出反射波和折射波的振幅和相位。例如在E垂直入射面情形，,上一講復習,7. 全反射可以求出反射波和折射波的振幅和相位。例如在E平行入射面情形，,上一講復習,一．導體內(nèi)的自由電荷分布 上式表示當導體某處有電荷密度ρ出現(xiàn)時，就有電流從該處向外流出。從物理上看這是很明顯的。因為假如某區(qū)域有電荷積聚的話，電荷之間相互排斥，必然引起向外發(fā)散的電流。由于電荷外流，每一體元內(nèi)的電荷密度減小。ρ的

39、變化率由電荷守恒定律確定:,上一講復習,一．導體內(nèi)的自由電荷分布解此方程得由上式，電荷密度隨時間指數(shù)衰減，衰減的特征時間τ（ρ值減小到ρ0/e 的時間）為,上一講復習,一．導體內(nèi)的自由電荷分布 良導體條件: 只要電磁波的頻率滿足ω << τ ?1 = σ/ε，就可以認為ρ（t）= 0。 對于一般金屬導體，τ的數(shù)量級為10?17s。 只要電磁波頻率不太高，一般金屬導體都可以看作良導體。

40、 良導體內(nèi)部沒有自由電荷分布，電荷只能分布于導體表面上。,§4.3 有導體存在時電磁波的傳播,二、 導體內(nèi)的電磁波 導體內(nèi)部 ρ = 0，J = σE，麥氏方程組為,§4.3 有導體存在時電磁波的傳播,二、 導體內(nèi)的電磁波對一定頻率ω的電磁波，可令D = εE，B = μH，則有,§4.3 有導體存在時電磁波的傳播,二、 導體內(nèi)的電磁波把這組方程和絕緣介質的方程組（5.1---11）比較，

41、差別僅在于第二式右邊多了一項σE，這項是有傳導電流引起的。如果形式上引入導體的“復電容率” 與絕緣介質的相應方程形式上完全一致。因此只要把絕緣介質中電磁波解所含的ε換作ε' ，即得導體內(nèi)的電磁波解。,§4.3 有導體存在時電磁波的傳播,二、 導體內(nèi)的電磁波復電容率的物理意義 右邊兩項分別代表位移電流和傳導電流。傳導電流與電場同相位，它的耗散功率密度為1/2 Re（J*?E）= σE02/2。位移電流與電

42、場有90°相位差，它不消耗功率。相應地，在所定義的復電容率中，實數(shù)部分ε代表位移電流的貢獻，它不引起電磁波功率的耗散，而虛數(shù)部分是傳導電流的貢獻，它引起能量耗散。,§4.3 有導體存在時電磁波的傳播,二、 導體內(nèi)的電磁波在一定頻率下，對應與絕緣介質的亥姆霍茲方程，在導體內(nèi)部有方程，當解滿足條件 ▽?E = 0 時代表導體中可能存在的電磁波。,上一講復習,二、 導體內(nèi)的電磁波方程形式上也有平面波解k為復數(shù)，因

43、此k是一個復矢量，即它的分量一般為復數(shù)。,上一講復習,二、 導體內(nèi)的電磁波導體中電磁波的表示式為 由此式可見，波矢量k的實部β描述波的傳播的相位關系，虛部α描述波幅的衰減。β稱為相位常數(shù)，α稱為衰減常數(shù)。,上一講復習,三、平面波從介質入射到導體表面,（即 分界面指向導體內(nèi)部，波沿 方向衰減）,上一講復習,三、平面波從介質入射到導體表面對于良導體情形，這些公式還可以簡化。k2的虛部與實部之比為σ/εω，在良導

44、體情形此值>>1，因而k2的實部可以忽略,上一講復習,四、趨膚效應和穿透深度波幅降至原值1/e的傳播距離稱為穿透深度δ。由上式,上一講復習,五、導體表面上的反射反射系數(shù)R定義為反射能流與入射能流值比。由上式得,由上式可見，電導率愈高，則反射系數(shù)愈接近于1。,上一講復習,1、只要電磁波頻率不太高，一般金屬導體都可以看作良導體。良導體內(nèi)部沒有自由電荷分布，電荷只能分布于導體表面上。 2、導體中電磁波的表示式為

45、波矢量k的實部β描述波的傳播的相位關系，虛部α描述波幅的衰減。β稱為相位常數(shù)，α稱為衰減常數(shù)。,上一講復習,3、對于高頻電磁波，電磁場以及和它相互作用的高頻電流僅集中于表面很薄一層內(nèi)，這種現(xiàn)象稱為趨膚效應。4、對于微波或無線電波，反射系數(shù)接近于1，只有很小一部分電磁能量透入導體內(nèi)部而被吸收掉，絕大部分能量被反射出去。因此，在微波或無線電波情形下，往往可以把金屬近似地看作理想導體，其反射系數(shù)接近于1。,§4.4 波導管、諧振

46、腔,二、理想導體邊界條件理想導體界面邊界條件可以形象地表述為，在導體表面上，電場線與界面正交，磁感應線與界面相切。我們可以應用這個規(guī)則來分析邊值問題中的電磁波圖像。,§4.4 波導管、諧振腔,二、理想導體邊界條件在邊界面上，若取x，y 軸在切面上，z 軸沿法線方向，由于該處Ex = Ey = 0，因此方程 ▽?E = 0 在靠近邊界上為 ?Ez/?z = 0 ，即,§4.4 波導管、諧振腔,三、諧振腔 對每

47、一組（m，n，p）值，由兩個獨立的波模。諧振頻率ωmnp稱為諧振腔的本征頻率。,§4.4 波導管、諧振腔,三、諧振腔 若m，n，p中有兩個為零，則場強E = 0。若L1 ≥ L2 ≥ L3，則最低頻率的諧振波模為（1，1，0），其諧振腔頻率為相應的電磁波波長為,§4.4 波導管、諧振腔,五、矩形波導中的電磁波 2、結果分析及物理意義橫磁波 橫電波對一定的（m，n），如果選取適當?shù)腁1,A2

48、,使Hz = 0，則該波模的A1/A2 = kx/ky 就完全確定，對Hz = 0的波模， Ez ≠ 0 。通常選波模為Hz = 0的波，稱橫磁波（TM）。,§4.4 波導管、諧振腔,五、矩形波導中的電磁波 2、結果分析及物理意義因此，在波導內(nèi)傳播的波模有如下特點；電場E和磁場H不能同時為橫波。,§4.4 波導管、諧振腔,六、截止頻率 若激發(fā)頻率降低到k < ( kx2 + ky2 )

49、1/2 ，則kz變?yōu)樘摂?shù)，這時傳播因子exp(ikzz)變?yōu)樗p因子。在這種情形下，電磁場不再是沿波導傳播的波，而是沿z軸方向振幅不斷衰減的電磁振蕩。能夠在波導內(nèi)傳播的波的最低頻率ωc稱為該波模的截止頻率。（m，n）型的截止角頻率為,§4.4 波導管、諧振腔,六、截止頻率 若a > b，則TE10波有最低截止頻率若管內(nèi)為真空，此最低截止頻率為c/2a，相應的截止波長為,第五、六章 復習,山東大學

50、物理學院 宗福建,126,第五章 電磁輻射,§5.1 訊變電磁場的矢勢和標勢,返回,山東大學物理學院 宗福建,127,第五章 電磁輻射,§ 5.1 訊變電磁場的矢勢和標勢達郎貝爾方程 推遲勢解,返回,上一頁,山東大學物理學院 宗福建,128,第五章 電磁輻射,§5.1 諧變勢的多極展開及電偶極輻射場 1. 計算輻射場的一般公式 當交變電流分布給定時,計算輻射場的基礎是推遲勢公式

51、若電流J是一定頻率的交變電流,有則,返回,上一頁,山東大學物理學院 宗福建,129,第五章 電磁輻射,§5.1 諧變勢的多極展開及電偶極輻射場 1. 計算輻射場的一般公式因子eikr是推遲作用因子,它表示電磁波傳至場點時有相位滯后kr。,返回,上一頁,山東大學物理學院 宗福建,130,第五章 電磁輻射,2. 矢勢的展開式 選坐標原點在電荷分布區(qū)域內(nèi)，則|x‘|的數(shù)量級為l。以R表示由原點到場點x的距

52、（R =|x|），r為由原點x ’到x的距離。有, n為沿R方向的單位矢量。,返回,上一頁,山東大學物理學院 宗福建,131,第五章 電磁輻射,2. 矢勢的展開式 把A對小參數(shù)x‘/R 和x’/λ展開．在計算遠場時，只保留1/R的最低次項，而對x‘/λ的展開則保留各級項。我們會看到，展開式中各項對應于各級電磁多極輻射。,返回,上一頁,山東大學物理學院 宗福建,132,第五章 電磁輻射,3.電偶極輻射研究展開式的第一項,返回,

53、山東大學物理學院 宗福建,133,第五章 電磁輻射,1、對靜電場，為什么能引入標勢φ ，并推導出φ的泊松方程。給出φ的解析解。2、給出靜磁場矢勢A的物理意義，由矢勢A可以確定磁場B，但是由磁場B并不能唯一確定矢勢A，試證明對矢勢A可加輔助條件：A的散度為0，并推導出矢勢A滿足的微分方程。給出A的解析解。3、根據(jù)麥可斯韋方程組，推導滿足洛倫茲規(guī)范的達郎貝爾方程。給出A和φ的推遲勢解。利用電荷守恒定律，驗證A和φ的推遲勢滿足洛倫茲條

54、件。4、推遲勢的物理意義？,返回,山東大學物理學院 宗福建,134,第六章 狹義相對論,相對論的實驗基礎：在總結新的實驗事實之后，愛因斯坦（Einstein）提出了兩條相對論的基本假設： （1）相對性原理 所有慣性參考系都是等價的。物理規(guī)律對于所有慣性參考系都可以表為相同的形式。也就是不論通過力學現(xiàn)象，還是電磁現(xiàn)象，或其他現(xiàn)象，都無法覺察出所處參考系的任何“絕對運動”。相對性原理是被大量事實所精確檢驗過的物理學基本原理。

55、（2）光速不變原理 真空中的光速相對于任何慣性系沿任意方向恒為c，并與光源運動無關。,返回,山東大學物理學院 宗福建,135,第六章 狹義相對論,洛倫茲變換：,返回,上一頁,山東大學物理學院 宗福建,136,第六章 狹義相對論,§ 6.2 相對論時空觀 ：1、洛倫茲變換下間隔不變性S2=c2t2-x2-y2-z2=c2t2-r2事件P相對與事件O的時空關系可作如下的絕對分類：（1）類光間隔 s2=0，（2

56、）類時間隔 s2>0，（a）絕對未來，即P在O的上半光錐內(nèi)；（b）絕對過去，即P在O的下半光錐內(nèi)；（3）類空間隔s2<0，P與O絕對異地。,返回,山東大學物理學院 宗福建,137,第六章 狹義相對論,§ 6.2 相對論時空觀 ：,返回,上一頁,山東大學物理學院 宗福建,138,第六章 狹義相對論,§ 6.2 相對論時空觀 ：2. 因果律和相互作用的最大傳播速度若事件P在O上半光錐內(nèi)（

57、包括錐面），則對任何慣性系P保持在O得上半光錐內(nèi)，即P為O的絕對未來。這種間隔的特點是P與O可用光波或低于光速的作用相聯(lián)系。因此，如果不存在超光速的相互作用，這樣O與P的先后次序在各參考系中相同，因而因果關系是絕對的。,返回,上一頁,山東大學物理學院 宗福建,139,第六章 狹義相對論,§ 6.2 相對論時空觀 ：3. 同時相對性具有類空間隔的兩事件，由于不可能發(fā)生因果關系，其事件次序的先后或者同時，都沒有絕對意義，因

58、不同參考系而不同。在不同地點同時發(fā)生的兩事件不可能有因果關系，因此同時概念必然是相對的。若兩事件對Σ同時，即t2 =t1，則一般而言，t2'≠ t1'，即對Σ'不同時。,返回,上一頁,山東大學物理學院 宗福建,140,第六章 狹義相對論,§ 6.2 相對論時空觀 ：4. 運動尺度的縮短5. 運動時鐘的延緩,返回,上一頁,山東大學物理學院 宗福建,141,第六章 狹義相對論,

59、67; 6.2 相對論時空觀 ：6. 速度變換公式,返回,上一頁,山東大學物理學院 宗福建,142,第六章 狹義相對論,§ 6.3 相對論理論四維的形式沿x軸方向的特殊洛倫茲變換的變換矩陣為,返回,山東大學物理學院 宗福建,143,第六章 狹義相對論,§ 6.3 相對論理論四維的形式逆變換矩陣為,返回,上一頁,山東大學物理學院 宗福建,144,第六章 狹義相對論,§ 6.3 相對論理

60、論四維的形式四維標量例如間隔為洛倫茲標量。固有時 也是洛倫茲標量。,返回,上一頁,山東大學物理學院 宗福建,145,第六章 狹義相對論,§ 6.3 相對論理論四維的形式四維速度矢量因為所以四維速度的分量是,返回,上一頁,山東大學物理學院 宗福建,146,第六章 狹義相對論,§ 6.4 電動力學的相對論不變性 四維電流密度矢量電荷守恒定律 用四維形式表示為,

61、返回,山東大學物理學院 宗福建,147,第六章 狹義相對論,§ 6.4 電動力學的相對論不變性 四維勢矢量洛倫茲規(guī)范條件可以用四維形式表示為,返回,上一頁,山東大學物理學院 宗福建,148,第六章 狹義相對論,§ 6.4 電動力學的相對論不變性 達郎貝爾方程,返回,上一頁,山東大學物理學院 宗福建,149,第六章 狹義相對論,§ 6.4 電動力學的相對論不變性 四維形式的達郎貝

62、爾方程可以表示為,返回,上一頁,山東大學物理學院 宗福建,150,第六章 狹義相對論,§ 6.4 電動力學的相對論不變性 引入一個反對稱四維張量電磁場構成一個四維張量——電磁場張量,返回,上一頁,山東大學物理學院 宗福建,151,第六章 狹義相對論,§ 6.4 電動力學的相對論不變性 用電磁場張量可以把麥克斯韋方程組寫為明顯的協(xié)變形式。方程組中的一對方程 可以合寫為,返回,上一頁,山東大

63、學物理學院 宗福建,152,第六章 狹義相對論,§6.4 電動力學的相對論不變性 另一對方程可以合寫為,返回,上一頁,山東大學物理學院 宗福建,153,第六章 狹義相對論,§ 6.4 電動力學的相對論不變性 導出電磁場的變換關系,返回,上一頁,山東大學物理學院 宗福建,154,第六章 狹義相對論,§ 6.4 電動力學的相對論不變性 導出電磁場的逆變換關系,返回,上一頁,山東大

64、學物理學院 宗福建,155,第六章 狹義相對論,§ 6.5 相對論力學方程利用四維速度矢量可以定義四維動量矢量這四維矢量的空間分量和時間分量是,返回,山東大學物理學院 宗福建,156,第六章 狹義相對論,四維矢量pμ 稱為動量-能量四維矢量，或簡稱四維動量。由pμ可構成不變量在物體靜止系內(nèi)，p=0，W=m0c2因而不變量為 ?m0c2。因此,返回,上一頁,山東大學物理學院 宗福建,157,第

65、六章 狹義相對論,物體的靜止質量m0和靜止能量W0的關系,稱為質能關系式。 靜止能量的存在是相對論最重要的推論之一。它指出靜止粒子內(nèi)部仍然存在著運動。一定質量的粒子具有一定的內(nèi)部運動能量。反過來，帶有一定內(nèi)部運動能量的粒子就表現(xiàn)出有一定的慣性質量。,返回,上一頁,山東大學物理學院 宗福建,158,第六章 狹義相對論,引入則， 用這種表示方法時，動量形式上和非相對論的公式一樣 ，但現(xiàn)在m不是一個不

66、變量，而是一個隨運動增大的量。m可以看作一種等效質量，稱為“運動質量”，而不變量m0稱為靜止質量。,返回,上一頁,山東大學物理學院 宗福建,159,第六章 狹義相對論,動量和能量構成四維矢量pμ。如果用固有時dτ量度動量-能量變化率，則 是一個四維矢量。因此，如果外界對物體的作用力可以用一個四維力矢量Kμ描述，則力學基本方程可寫為協(xié)變性式,返回,上一頁,山東大學物理學院 宗福建,160,第六章 狹義相對論,若定義力為

67、則相對論力學方程可以寫為 ， 第一式表示力F 等于動量變化率，第二式表示F 所作的功率等于能量的變化率，兩式形式上和非相對論力學方程一致。,返回,上一頁,山東大學物理學院 宗福建,161,第六章 狹義相對論,1． 相對論的實驗基礎是什么？2． 愛因斯坦提出的兩條相對論的基本假設是什么？3． 為什么說，慣性系的概念本身要求從一個慣性系到另一個慣性系的時空坐標變換必須是線性的？4.

68、有兩個慣性系Σ和Σ’，選兩坐標系的x 軸和 x’ 軸都沿Σ’ 相對于Σ的運動方向， Σ’慣性系相對于Σ慣性系以速度v沿x 軸正方向運動，在時刻t=t’=0 時，兩慣性系的原點重合。設某事件在慣性Σ系中的表示為（x,y,z,t），該事件在Σ’ 中的描述為（x’,y’,z’,t’），請直接給出 Σ → Σ’ 及 Σ ’→ Σ 的坐標變換表達式。,返回,山東大學物理學院 宗福建,162,第六章 狹義相對論,5．  相對論的時空結

69、構是如何劃分的（類光間隔、類時間隔、類空間隔各有什么特點）？6．  試證明具有類空間隔的兩個事件的先后次序隨慣性系的選擇不同而不同，其時間次序的先后或同時，都沒有絕對意義。7．  試證明，按狹義相對論理論，運動物體上發(fā)生的自然過程比起靜止物體的同樣過程時間延緩了。物體運動速度愈大，所觀察到的它的內(nèi)部過程進行的愈緩慢。,返回,上一頁,山東大學物理學院 宗福建,163,第六章 狹義相對論,8．  試證明

70、，按狹義相對論理論，當局限于勻速運動時，時間延緩效應是相對的。 Σ參考系上看固定于Σ’ 上的時鐘變慢；同樣， 參考系Σ’ 上也看到固定于Σ上的時鐘變慢。9．  試證明，按狹義相對論理論，運動物體沿運動方向長度縮短了。10．  試證明，按狹義相對論理論，長度縮短效應是相對的，在Σ上觀察固定于Σ’上的物體長度縮短了；同樣，在Σ’ 上觀察固定于Σ上的物體長度也是縮短了的。11．  由洛倫茲變換公式推導出相對