工程電磁場(chǎng)原理第2章3-倪光正

1、第2章 靜電場(chǎng),2.5.1 數(shù)學(xué)模型——邊值問(wèn)題,? 偏微分方程的定解問(wèn)題? 數(shù)學(xué)物理方程的定解問(wèn)題,以電位函數(shù) ? 為待求場(chǎng)函數(shù)，對(duì)應(yīng)的邊值問(wèn)題,? 泛定方程——基于??r?的場(chǎng)的規(guī)律性的描述； ? 定解條件——由給定工程物理問(wèn)題所決定的場(chǎng)域邊界上的邊界條件。,,1.泛定方程,,泊松方程,拉普拉斯方程,—拉普拉斯算子,代入,,共性泛定方程,泛定方程——泊松方程或拉普拉斯方程,泊松方程和拉普拉斯方程都屬一元二次線性偏微分方程。這類偏

2、微分方程的定解條件是在方程定義域（場(chǎng)域）的邊界上給定的邊界條件（邊值）。,2.邊值問(wèn)題—— 滿足給定邊界條件(邊值)的泊松或拉氏方程的定解問(wèn)題。,定解條件——邊界條件(邊值),Ⅰ 給定的是場(chǎng)域邊界 S 上的電位值,第一類邊界條件,Ⅱ 給定的是場(chǎng)域邊界 S 上電位的法向?qū)?shù)值,例：導(dǎo)體表面,齊次第二類邊界條件,第二類邊界條件,場(chǎng)域V 邊界S 上的邊界條件，也稱為該邊界S 上的邊值，可給定為以下三種類型：,Ⅲ 給定的是場(chǎng)域邊界 S

3、上的電位及其法向?qū)?shù)的線性組合，即,第三類邊界條件,泛定方程與相應(yīng)的定解條件，將邊值問(wèn)題(BVP) 分類為 第一類邊值問(wèn)題（1st BVP）也稱為狄利克雷(Dirichlet)問(wèn)題； 第二類邊值問(wèn)題（2nd BVP）也稱為諾伊曼(Neumann)問(wèn)題； 第三類邊值問(wèn)題（3rd BVP）也稱為柯西(Cauchy)問(wèn)題。,討論：,? 通常，當(dāng)邊界S =S1+S2+…，且逐片分別給定為1st BC 與2nd BC

4、時(shí)，則稱之為由混合型 BC 構(gòu)造的邊值問(wèn)題；,? 當(dāng)場(chǎng)域D中存在多種均勻介質(zhì)時(shí)，務(wù)須分域定義：,且此時(shí)，作為定解條件，尚應(yīng)引入不同媒質(zhì)分界面上的BC 為“銜接條件”，或稱之為輔助的BC ，即,? 當(dāng)場(chǎng)源分布在離坐標(biāo)原點(diǎn)的有限距離內(nèi)，而場(chǎng)域 D 擴(kuò)展至無(wú)限遠(yuǎn)處時(shí)，則應(yīng)給定無(wú)限遠(yuǎn)處的 BC為,2.5.2 直接積分法,當(dāng)待求場(chǎng)函數(shù) 僅是一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)時(shí)， 邊值問(wèn)題即簡(jiǎn)約為常微分方程的定解問(wèn)題，可直接運(yùn)用積分法求得。,例2-11，例2-12

5、 自學(xué),2.5.4 靜電場(chǎng)解的唯一性,泛定方程（數(shù)學(xué)物理方程）的解應(yīng)滿足：①存在性、 ②穩(wěn)定性、 ③唯一性,①存在性 靜電場(chǎng)客觀存在，因此 有解；②穩(wěn)定性 數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明的解穩(wěn)定；③唯一性 ？,2.5.4 靜電場(chǎng)解的唯一性,,里邊有n個(gè)導(dǎo)體,2024/3/19,,13,2.5.4 靜電場(chǎng)解的唯一性,2024/3/19,,14,2.5.4 靜電場(chǎng)解的唯一性,,2024/3/19,,15,2.5.4 靜電場(chǎng)解的唯一性,,,2024

6、/3/19,,16,2.5.4 靜電場(chǎng)解的唯一性,2.5.4 靜電場(chǎng)解的唯一性,唯一性的意義在于：求解位場(chǎng)時(shí)，不論采用哪一種解法，只要所求的場(chǎng)域內(nèi)場(chǎng)源分布不變，給定的邊界條件不變，就可確信解答是正確的。,唯一性是鏡像法的理論基礎(chǔ)。,不清楚自由電荷（束縛電荷）的分布，無(wú)法應(yīng)用疊加方法求取電場(chǎng),,,,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,導(dǎo)體，自由電荷,介質(zhì)，束縛電荷,點(diǎn)電荷,-,但當(dāng)界面開(kāi)關(guān)比較規(guī)則（如平面、球面

7、等）時(shí)，基于唯一性定理，可以采用鏡像法求解。,鏡像法：用位于場(chǎng)域邊界外虛設(shè)的較簡(jiǎn)單的鏡像電荷分布來(lái)等效替代該邊界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布，從而將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)空間變換成無(wú)限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計(jì)算過(guò)程得以明顯簡(jiǎn)化的一種間接求解法。,鏡像法應(yīng)用的理論基礎(chǔ)——靜電場(chǎng)解的惟一性定理,鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn)： a. 鏡像電荷的確定（位置、個(gè)數(shù)、電量大?。?； b. 等效求解的“有效區(qū)域” 。,2.6

8、鏡像法,點(diǎn)電荷—接地導(dǎo)板系統(tǒng),2.6鏡像法,原問(wèn)題(點(diǎn)電荷—接地導(dǎo)板系統(tǒng)),2.6鏡像法,被考察問(wèn)題(一對(duì)正、負(fù)電荷的電場(chǎng)問(wèn)題),2.6鏡像法,設(shè)：兩者的電位函數(shù)解分別為?1、?2,(1) 在同樣由s1，s2圍成的場(chǎng)域D內(nèi)（上半空間），均滿足 ?2?1 = 0 和 ?2?2 = 0 (2) 關(guān)于邊界面上邊界條件的分析：,? 邊界面S1上的 BC：,2.6鏡像法,對(duì)原問(wèn)題：,對(duì)被考察問(wèn)