電磁場與電磁波第3章

1、時變情況下，電場和磁場相互關聯(lián)，構成統(tǒng)一的電磁場 當場源不隨時間變化時，激發(fā)不隨時間變化的靜態(tài)場 靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨立,第3章　靜態(tài)場分析,3.1 靜電場的靜電位及其微分方程,3.1.1 靜電場的靜電位,基本方程,邊界條件,在靜電場情況下，由　　　　　　　　　，即靜電場可以用一個標量的梯度來表示。標量?稱為標量位或標量電位。,,任意常數(shù),電位的定義,對于連續(xù)分布電荷，有,,體電荷,,面電荷,,線電荷,

2、,位于r′處的點電荷,,位于不同位置r i′的N個點電荷,上式兩邊從點P到點Q沿任意路徑進行積分，得,P、Q兩點間的電位差,電場力做的功,關于電位差的說明,P、Q兩點間的電位差等于電場力將單位正電荷從P點移至Q點所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處 電位差也稱為電壓，可用U表示 電位差有確定值，只與首尾兩點位置有關，與積分路徑無關,3.1.2 電位差,顯然，電位函數(shù)?不是唯一確定的，可以加上任意一個常數(shù)仍表示同一

3、個電場，即,為使空間各點電位具有確定值，可以選定空間某一點作為參考點，且令參考點的電位為零，由于空間各點與參考點的電位差為確定值，所以該點的電位也就具有確定值，即,選參考點,,令參考點電位為零,電位確定值(電位差),兩點間電位差有定值,選擇電位參考點的原則 應使電位表達式有意義 應使電位表達式最簡單 同一個問題只能有一個參考點,標量泊松方程,在均勻、線性和各向同性的介質(zhì)中，利用 有,,拉

4、普拉斯方程,,3.1.3 電位的微分方程,,理想導體是等位體,靜電位的邊界條件,設P1和P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點，其電位分別為?1和?2。當兩點間距離⊿l→0時,理想介質(zhì)表面,,,點電荷：設點電荷q在原點，參考點Q，場點 (電位考察點)P，選擇路徑P→M → Q(路徑可以任意選擇)進行積分，有,,積分貢獻為零,3.1.4 電位的表達式,線電荷：設線電荷?l在原點，參考點Q，場點 (電位考察點)P，沿如前路徑進行積分，有

5、,如果選擇參考點在rQ=∞，得?P=∞，顯然不合理。如果選擇rQ=1，得　　　　　　，顯然這種形式最簡單。,面電荷(例3-1)：無限大面電荷產(chǎn)生的電場在空間均勻分布。設均勻電場E0，場中任意兩點P1和P2的電位差為,例 3-2 電偶極子的電位和電場強度。電偶極子由空間兩個等量異號的點荷組成如圖。,解：設電偶極子中心位于座標原點，p=ql?？臻g任意點M處的電位可以看成是由兩個點電荷產(chǎn)生，即有,當場點M到電偶極子的距離r>>

6、l時，得,,3.1.5 電位的多極展開,零極子　處于一個幾何點的電荷系統(tǒng)稱為零極子，其電性質(zhì)只需用總電量q表示，其電位為,電偶極子與電偶極矩 電偶極子：兩個等值異號相距微小距離的點電荷系統(tǒng)，總電量Q＝0，用電偶極矩p=ql表示其電特性 電荷系統(tǒng)的電偶極矩：并不是只有電偶極子才有電偶極矩,p與座標系有關；對稱系統(tǒng)p＝0； p和Q是不同的物理量；Q＝0的電荷系統(tǒng)仍可能產(chǎn)生電位,電偶極子場：,電荷系統(tǒng)的電偶極矩場：只需將電偶極子場中的

7、p用相應電荷系統(tǒng)的電偶極矩代入即可，顯然有,電四極子與電四極矩　電四極子：兩個大小相同、方向相反的電偶極子±p構成的系統(tǒng)，Q＝0，p＝0，電特性用電四極矩表示?！‰娝臉O矩張量：共有9個分量，表示為,電四極子場：,電荷系統(tǒng)的電四極矩場：任何電荷系統(tǒng)都有電四極矩，其電位為,電荷系統(tǒng)電位的多極展開　任意電荷系統(tǒng)有可能具有Q，p，Qij，其電位可表示成,式中各項分別為各級電極子產(chǎn)生的電位，隨著r增加，高階項可忽略。r很大時，可將

8、有限區(qū)域中分布的電荷等效成點電荷。,,導體所帶電荷與導體電位之比,電容C只與導體幾何性質(zhì)和周圍介質(zhì)有關，與q和?無關　如空氣中半徑為a的孤立帶電球，,與q和?無關,孤立導體：,雙導體組成的電容器,同樣地，電容C只與導體幾何性質(zhì)和介質(zhì)有關　如平行板電容器,與q和?無關,,,3.2 導體系統(tǒng)的電容,3.2.1 電容的定義與計算,例3-5　如圖所示的平行雙線傳輸線，導線的半徑為a，兩導線的軸線相距為D，且D>>a。試求傳輸

9、線單位長度的電容。,解：由于D>>a，近似認為電荷均勻分布在導體表面，且可將導線看成線電荷，則利用高斯定理得x軸上的電場分布,單個導體上的電量,雙導體時，一個導體上的電量,如果把大地看成?0=0的導體，則單個導體存在時，導體上的電量為,兩個導體存在，且考慮大地影響時，相當于3個導體的情況，其中一個導體上的電量為,其中C12為導體1，2間的電容，C10為導體與大地間的電容,N個導體存在，導體i上的電量與它和其它導體之間的電位差

10、（包括大地）有關，即有,3.2.4 部分電容,物理意義：　導體系統(tǒng)中各導體間都存在電容　各導體的電荷正比于導體間的電位差，其比例系數(shù)稱為部份電容,關于部份電容Cij的討論,Cij為導體i與導體j之間的電容；而Cii為導體i本身的電容，即與大地間的電容，可寫成Cii=Ci0=Ci Cij=Cji （i≠j），對稱性（互易性） Cij只與導體的幾何形狀、介質(zhì)性質(zhì)和各導體的相對位置有關，與各導體所帶電量無關,例1 兩個同心

11、導體球殼，半徑分別為a和b，離地很遠。求部分電容。,解：由于球殼離地很遠，可以認為電荷在導體表面均勻分布。兩個球殼上的電量分別為,由于C12，C21，C11，C22與q1，q2無關，可任意選擇q1和q2值。令q1 =0， q2 =1，得,靜電屏蔽,,,孤立球的電容,不表示導體與地之間無電容，表示導體上電荷分布不受地的影響，是均勻分布。,,同心球電容,,3.3.1 電場能量,討論系統(tǒng)充電并穩(wěn)定后的電場能量，與充電過程無關 從零狀態(tài)開

12、始充電，充電結(jié)束時，電荷為?、電位為? 充電過程中，電荷與電位同比增加，比例因子?，即充電過程中某一時刻電荷與電位分別為??和?? 充電過程由? = 0到? = 1，由無數(shù)個充電單元d? 組成 對于系統(tǒng)中的一個單位體積，在每個充電單元，電源將輸送電荷?d?，同時做功(??)(?d?)，此功將轉(zhuǎn)換為電場的能量,所以，在一個充電單元中，整個系統(tǒng)能量的增加，即外電源為此所做的功為,3.3 靜電場能量和靜電力,當V無窮大時，由于S包括了

13、整個電場空間，其外部沒有電場存在，所以沒有電場穿出S，即在S上D→0，第一項為零，得,由此得電場的能量密度為,對于線性各向同性介質(zhì)，有,空間任意點的能量密度由當?shù)氐碾妶鰶Q定,關于靜電場能量表達式的補充說明,討論的是充電完成系統(tǒng)穩(wěn)定后的情況，所以只適用于靜電場 積分區(qū)域為存在電荷分布的空間，由于在無電荷分布的區(qū)域積分為零，所以積分也可以為整個空間 能量是分布在有電場存在的整個空間，并非僅僅存在于有電荷分布的區(qū)域，所以被積函數(shù)

14、 不代表能量密度 被積函數(shù) 代表能量密度，說明有場存在的地方即會有能量,對N個點電荷組成的系統(tǒng)，電荷體密度為,利用?函數(shù)的挑選性,點電荷相互作用能,,對N個帶電導體組成的系統(tǒng)，各導體的電位為?i，電量為qi，表面積為Si，則導體系統(tǒng)的電場能量為,3.3.2 帶電導體系統(tǒng)的能量,3.3.3 點電荷系統(tǒng)的相互作用能,例3-7 原子核是一個帶電為q的點電荷，周圍均勻分布有帶負電的球形電子云。電子云的半徑為r

15、0，其總電量為－q。求原子模型的結(jié)合能。,解：結(jié)合能=電子云自能+云與核的相互作用能。由高斯定理得電子云產(chǎn)生的電場,3.3.4 電荷分布在外電場中的能量,帶電體的自有能和相互作用能　設兩個帶電體電荷密度分別為?1和?2，產(chǎn)生的電位和電場分別為?1和?2，E1和E2。則總電場為E=E1+E2，電場總能量為,其中：We1和We2分別為帶電體1和2的自有能量，分別對應各自所產(chǎn)生的電場； We互為兩個帶電體的相互作用能，在線性各向同性介質(zhì)中

16、有：,帶電體在外電場中的能量　帶電體在外電場中的能量，即為帶電體與產(chǎn)生外場的電荷之間的相互作用能。設外電場對應的電位為?e，帶電體的電荷密度為?，則帶電體在外電場中的能量為,當電荷分布在一個小區(qū)域內(nèi)，且電位?e緩慢變化時，可將電位?e在=0處按泰勒級數(shù)展開為：,,,,總電量的能量,電偶極矩的能量,電四極矩的能量,3.3.5 靜電力,靜止電荷間的作用力一般總可以用庫侖定律求得，但對于許多實際問題，用庫侖定律計算非常復雜，通常可用虛位移

17、法。　虛位移法：假設帶電體在電場的作用下發(fā)生一個位移（假想的），電場能量將發(fā)生改變（電場做功，能量改變），根據(jù)能量的變化情況可以求出帶電體所受的力?！≡O有N個帶電導體組成的系統(tǒng)，第i個導體在電場力Fi的作用下發(fā)生位移??i，電場力做功為?A=Fi??i，此時系統(tǒng)靜電場能量的變化為?We。如果各導體與外電源相聯(lián)，則此時外電源將對系統(tǒng)提供能量?Ws。由能量守恒定律，得,,,,,,,外界提供的能量=電場對導體做功+系統(tǒng)能量的增加,可見，系

18、統(tǒng)靜電能量的改變分別由電荷和電位的變化引起?！「鲗w不與電源相連，即?qi = 0　由于各導體不與電源相連，導體系統(tǒng)與外界隔絕，沒有能量交換，即?Ws= 0，則有,各導體與電源相連，即??i = 0　為保持各導體電位不變，電源將向?qū)wi提供電量?qi，同時即提供能量?i ?qi，則有,3.4 恒定電場及其基本方程,3.4.1 恒定電場的基本方程,恒定電場由密度不隨時間變化的電荷產(chǎn)生，但電荷并非靜止，即J≠0。此時有,均勻介質(zhì),

19、基本方程,,邊界條件,恒定電場與靜電場有相似的特性，即同樣為無旋場，得,,3.4.2 焦爾定理,設導體內(nèi)的電荷密度為?，運動速度為v，則在dt時間內(nèi)電場力對dV體積元中的電荷?dV所做的功為,由此得體積元dV中的損耗功率為,,功率密度,電場對電荷做功消耗的功率,3.4.3 電阻,在導電媒質(zhì)中，電流I從一個電極流向另一個電極，兩電極間電流I與電壓U之比稱為電導，即,,,恒定電場（源外）　　　　　靜電場（無源區(qū)）,,,,,,,靜電　

20、 E D ? 　q ? C,恒定　 E J 　　? 　　 I ? G,恒定電場與靜電場比擬,關于恒定電場的進一步說明,與靜電場性質(zhì)相同，但產(chǎn)生的源不同，分別為運動電荷和靜止電荷，但其密度都不隨時間變化 恒定電場同時存在于導電體外和導電體內(nèi)，其表面同時有法向和切向分量，電場不垂直于表面，此時導電體不是等位體,電場矢量在分界面上的折射關系,如?

21、2>>1，? 2≠90°，?1＝0，電力線近似垂直良導體表面，近似等位體 如介質(zhì)1為理想介質(zhì)，?1＝0，J1=0，導電體一側(cè)中只有切向電流和切向電場,恒定電場問題可利用對應量變換，先變成靜電場問題求解，最后再換回來,,由J 的邊界條件可得,例3 同軸線內(nèi)外導體半徑分別為a和b，填充介質(zhì)?≠0，具有漏電現(xiàn)象。同軸線外加電源電壓為U，求漏電介質(zhì)內(nèi)的?、E、J和單位長度的漏電電導。,解：內(nèi)外導體內(nèi)E=0，且表面是等位

22、面，介質(zhì)中電位只是r 的函數(shù)，滿足拉氏方程為,,,,例4　一個有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為?1、?1和?2、?2，外加電壓U。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。,解：極板是理想導體，為等位面，電流沿z方向。,,例5 同軸線內(nèi)外導體半徑分別為a和b，其間填充電導率為?的導電介質(zhì)，求單位長度的絕緣電阻。,解：先變成靜電場。內(nèi)外導體間,,例6 求半徑為a的金屬導體球形接地器的接地電阻。土壤的電導率為?。,解：導體深埋，不考慮地表對接地

23、電阻的影響,,例7 在一塊厚度為h的導電板上，由兩個半徑為r1和r2的圓弧和夾角為?0的兩半徑割出一段環(huán)形導電媒質(zhì)。計算沿?方向的兩個電極間的電阻。,解：設兩極板間電壓為U0，則電流沿?方向流動，電位?只是變量?的函數(shù)，即有,3.5 靜磁場的矢量磁位及其微分方程,3.5.1 靜磁場的矢量磁位,恒定磁場及其源（恒定電流）不隨時間變化，有,靜磁場的基本方程,邊界條件,對于理想介質(zhì)，表面不存在傳導電流,式中，A即磁場的矢量磁位，也稱為矢量

24、位。,矢量磁位的定義 磁場是無源場，可以引入一個矢量來描述磁場，即　　　由,矢量位的任意性 與標量位?一樣，矢量位A也不是唯一確定的，它加上任意一個標量?的梯度以后，仍然表示同一個磁場，即,對矢量位的限制 矢量位A的任意性是因只規(guī)定了其旋度，沒有規(guī)定其散度造成。為得到確定的A，可對A的散度加以限制，即　　　　，稱為庫侖條件。另外，還有洛侖茲條件。,3.5.2 靜磁場的矢量磁位的微分方程,,,,泊松方程,,,拉普

25、拉斯方程,3.5.3 靜磁場的矢量磁位的表達式,在直角坐標系中，矢量位A的各分量滿足標量泊松方程，即,,其中1, 2, 3分別對應x, y, z,與靜電場標量位? 滿足的泊松方程比較，可得Ai之解，即,,滿足,對面電流和細導線電流回路，矢量位A的解為,用矢量位計算磁通量,矢量位的邊界條件,補充內(nèi)容：矢量位的多極展開,在靜電場中，體電荷產(chǎn)生的電位可展開為各級電極子電位的疊加。同樣，對體電流產(chǎn)生的矢量位，也可以進行多極展開。,式中各項對應

26、各級磁極子。對應磁零極子的第1項等于零；對應磁偶極子的第2項等于一個電流環(huán)的矢量位。隨著r增加，高階項可忽略。r很大時，可將體電流等效成一個電流環(huán)。,例8 求無限長線電流I的矢量位和磁場。設電流沿+z方向流動。,解：用靜電場標量位比較法求解。由無限長線電荷的電位,關于矢量位A 的補充說明,線電流的矢量位與電流方向一致，求解比較簡單 對體分布電流，需要直接從泊松方程求解，其過程比較復雜 引入矢量位A是為了簡化求解磁場，但只有對復雜

27、問題才能顯示出其優(yōu)越性，對于簡單問題，還是直接求解磁場為宜,Here,回路C通有電流I，空間磁場B，且B∝I，則B在回路C所圍面積中產(chǎn)生的磁通?∝I，即,對于粗導體，自感L＝內(nèi)自感Li＋外自感Lo 內(nèi)自感,外自感,自感,3.6 電感,3.6.1 電感的定義,例3-13 求同軸電纜單位長度的自感。設內(nèi)導體半徑為a，外導體厚度可忽略不計，其半徑為b，空氣填充。,解：先求內(nèi)自感。設電纜中的電流為I，由安培環(huán)路定律得,再求外自感。由安

28、培環(huán)路定律得內(nèi)外導體間的磁感應強度為,兩個回路C1和C2，分別通有電流I1和I2，C1在空間產(chǎn)生的磁場B1，B1在回路C1和C2所圍面積的磁通分別為?11 和?21，即,互易性：M12=M21=M 互感的符號：當?11 與?12同方向時，取正，反之取負 互感的特性：與回路幾何性質(zhì)、相對位置和周圍介質(zhì)有關，與電流無關,互感,N個回路系統(tǒng)的電感,紐曼公式,,兩個回路C1和C2，分別通有電流I1和I2，周圍是空氣。C1在空間產(chǎn)生的矢量

29、位為A1，磁場為B1=▽× A1，且,3.6.2 紐曼公式,電感與感應電動勢的關系　回路中的磁通發(fā)生變化時，由法拉第電磁感應定律，回路中將產(chǎn)生感應電動勢。由于磁通與回路的自感或互感成比例，所以感應電動勢與自感和互感也有關系?！蓚€回路的情況，回路C1和C2的自感和互感電動勢定義為,3.7 靜磁場能量和磁場力,3.7.1 電流回路系統(tǒng)的能量,單個電流回路的能量,回路C中的電流i由0變成I，dt 時間內(nèi)i變化di，并引

30、起磁通量?變化d? ，從而在回路中出現(xiàn)感應電動勢 　　　　。,由于回路中出現(xiàn)的感應電動勢?將阻止電流i的增加，必須由外電源附加一個反向電壓U=－?，保證電流i增加。所以，外電源在dt 時間內(nèi)使電流i增加di所做的功為,電源使電流i由0增加為I所做的功為,將以磁場能量的方式儲存在回路中,兩個電流回路的能量　設兩個回路C1和C2中的電流i1和i2均由其初始值0變成I1和I2。在此過程中，外電源要對回路系統(tǒng)做功，此功將作為磁場能量儲存在回

31、路系統(tǒng)中。　首先假定i2=0，使i1由0↗I1。在dt 時間內(nèi)i1改變量為di1，引起兩個回路中的磁通量?11和?21改變d?11和d?21，并在回路中產(chǎn)生感應電動勢?1和?2?！∮捎?1會阻止C1中電流i1的增加，所以須在C1上外加電壓U1=－?1。同時，為了使C2中的電流i2保持為零，也須在C2上外加電壓U2=－?2。所以，外電源在dt 時間內(nèi)所做的功為,外電源使i1由0變?yōu)镮1過程中所做的功為,然后，保持C1中的電流I1不變，

32、將i2由0變?yōu)镮2。在此過程中，C2上的外加電源U2＝－?2 所做的功為,與前一個過程不同的是，此過程中C1中的電流一直保持為I1，所以C1上的外加電源U1將做功，即有,兩個過程外加電源所做的總功，將全部以磁場能量的形式儲存在回路系統(tǒng)中，成為兩電流回路系統(tǒng)的磁場能量，即有,或,N個電流回路的能量　將兩個回路的情況推廣到N個電流回路組成的系統(tǒng)，有,或者寫成,得,其中的Ai為回路Ci上的合成矢量磁位，即由所有回路產(chǎn)生。,體分布電流的能量

33、　將此式應用于體分布電流（粗回路）時，有,關于靜磁場能量表達式的補充說明,只適用于靜磁場　積分可以只在J≠0的區(qū)域進行 被積函數(shù)A·J不代表能量密度，雖然積分是在有電流的空間中進行，但能量是分布在整個有磁場存在的空間,①,3.7.2 靜磁場能量,能量密度　與電場能量一樣，磁場能量分布于磁場存在的整個空間。將J=▽×H代入①式，得,當V無窮大時，S將包圍整個磁場存在的空間，沒有磁場會穿出S，所以在S上有H→

34、0，第二項為零，得,得磁場能量密度,例8 求半徑為a的無限長圓柱導體單位長度的內(nèi)自感。,解：,，其中?i為導體柱內(nèi)部的磁通。,由安培環(huán)路定理，可得導體內(nèi)部的磁感應強度為,則導體內(nèi)單位長度的磁場能量為,例9 求內(nèi)外半徑分別為a和b的無限長同軸線單位長度的自感。（再解例3-13）,解：在內(nèi)外導體之間，,,由上題（例1）得,,例10 矩形回路與長直導線共面，如圖。求二者之間的互感。當矩形回路繞軸旋轉(zhuǎn)90°時，求磁場能量的變化。

35、,解：長直導線產(chǎn)生的磁場為,,此時磁場能量為Wm。當矩形回路繞軸旋轉(zhuǎn)90°時，?=0，此時的互感M=0，此時的磁場能量變?yōu)?3.7.3 電流分布在外磁場中的能量,電流分布在外磁場中的能量是指電流分布與產(chǎn)生外磁場的電流之間的相互作用能。設回路C中的電流為I，外磁場的矢量磁位為Ae。則電流I在外磁場中的能量為,將Be(r)在r=0處按泰勒級數(shù)展開，可得,用J(r)dV替代Idl，可得體分布電流在外磁場中的能量,,位于原點的磁矩

36、在外磁場中的能量,3.7.4 磁場力,與求靜電力一樣，可以用虛位移法求解磁場力?！≡O有N個回路的系統(tǒng)，第i個回路在磁場力Fi作用下發(fā)生位移??i，磁場力做功為?A=Fi ? ? i，此時系統(tǒng)靜磁場能量的變化為?Wm。如果各回路與外電源相聯(lián)，則此時外電源對系統(tǒng)提供的能量為?Ws。由能量守恒定律，得,,,,,,,外界提供的能量=磁場對回路做功+系統(tǒng)能量的增加,可見，系統(tǒng)靜磁能量的改變分別由電流和磁通量的變化引起。,各回路上電流不變，?

37、Ii =0　由于回路i運動時，各回路的磁通將變化，從而在各回路中引起感生電流。為了維持各回路中的電流不變，外接電源將對各回路提供反向電壓,,,磁通變化引起的感生電動勢的負值,各回路上磁通不變，??i =0　此時不需與外電源相連，則有,例3-16 兩個互相平行且共軸的圓形線圈，相距為d，半徑分別為a1和a2，且a1<<d。線圈通有電流I1和I2。求兩線圈間的磁場力。,解：線圈2在線圈1上產(chǎn)生的磁場近似為均勻，為,,電流和

38、自感不變時,3.8 靜態(tài)場的邊界條件,3.8.1 靜電場的邊界條件,電介質(zhì)分界面,導體與電介質(zhì)分界面,3.8.2 電位的邊界條件,理想介質(zhì)表面,,3.8.3 恒定電場的邊界條件,3.8.4 靜磁場的邊界條件,3.8.5 矢量磁位的邊界條件,對于理想介質(zhì)，表面不存在傳導電流,為了簡化磁場的求解過程，引入了磁場的矢量位A，建立了相應的微分方程，即,矢量位滿足的是矢量泊松方程，其求解過程相當復雜。這里試圖像靜電場一樣，引入磁場的標

39、量位。 標量磁位(磁標位)的引入　在無電流( J = 0)的空間中，有,,標量磁位,A圖所示區(qū)域不能滿足上述條件 B圖所示區(qū)域可以滿足上述條件,3.9 靜磁場的標量磁位及其微分方程,磁荷觀點與分子電流觀點 分子電流觀點：分子形成一個分子電流，分子電流有磁矩，受到外場影響時，顯出宏觀電流和磁矩 磁荷觀點：分子是由正負磁荷組成的磁偶極子，在外場影響下，出現(xiàn)宏觀磁荷分布 磁荷是不存在的。但是磁偶極子與分子電流的磁矩具有相

40、似性，所以磁荷觀點所得結(jié)果有某些情況下仍然可用 用磁荷觀點討論介質(zhì)的磁化,介質(zhì)極化　　　　　　　　磁荷觀點,,,標量磁位的微分方程,標量磁位的邊界條件,,靜電場　　　　　　　　磁荷觀點,,磁荷觀點結(jié)果與靜電場結(jié)果的比較,,,,,,,,靜電　 E D P ? 　?0　　?P,磁荷　 H 　B ?0M ?m 　 ?0　　?m,例3-17 半徑為a、長為l的