1.5 三角函數(shù)的應用1

1、1.5 三角函數(shù)的應用 三角函數(shù)的應用1．通過生活中的實際問題體會銳角三角函數(shù)在解決問題過程中的作用；(重點)2．能夠建立數(shù)學模型，把實際問題轉化為數(shù)學問題．(難點)一、情境導入為倡導“低碳生活” ，人們常選擇自行車作為代步工具，圖①所示的是一輛自行車的實物圖．圖②是這輛自行車的部分幾何示意圖，其中車架檔 AC 與 CD 的長分別為 45cm 和 60cm，且它們互相垂直，座桿CE 的長為 20cm.點 A、C、E 在同一條直線上，且

2、∠CAB＝75°.你能求出車架檔 AD 的長嗎？二、合作探究探究點：三角函數(shù)的應用【類型一】 利用方向角解決問題某船以每小時 36 海里的速度向正東方向航行，在點 A 測得某島 C 在北偏東 60°方向上，航行半小時后到達點 B，測得該島在北偏東 30°方向上，已知該島周圍 16 海里內有暗礁．(1)試說明點 B 是否在暗礁區(qū)域外；(2)若繼續(xù)向東航行有無觸礁危險？請說明理由．解析：(1)求點 B 是否在暗

3、礁區(qū)域內，其實就是求 CB 的距離是否大于 16，如果大于則不在暗礁區(qū)域內，反之則在．可通過構造直角三角形來求 CB 的長，作CD⊥AB 于 D 點，CD 是 Rt△ACD 和 Rt△CBD 的公共直角邊，可先求出 CD 的長，再求出 CB 的長；(2)本題實際上是問 C 到AB 的距離即 CD 是否大于 16，如果大于則無觸礁危險，反之則有，CD 的值在第(1)問已經(jīng)求出，只要進行比較即可．解：(1)作 CD⊥AB 于 D 點，設 B

4、C＝x，在 Rt△BCD 中，∠CBD＝60°，∴BD＝ x，CD＝ x.在 Rt△ACD 中，∠CAD＝123230°，tan∠CAD＝ ＝ ，∴ ＝ .CDAD3332 x18＋12x33∴x＝18.∵18>16，∴點 B 是在暗礁區(qū)域外；(2)∵CD＝ x＝9 ，9 ＜16，∴若32 3 3繼續(xù)向東航行船有觸礁的危險．方法總結：解決本題的關鍵是將實際問題轉化為直角三角形的問題，通過作輔助線構造直角三角形，

5、再把條件和問題轉化到這個直角三角形中解決．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練” 第 4 題變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練” 第 5 題【類型四】 仰角、俯角和坡度的綜合應用如圖，小麗假期在娛樂場游玩時，想要利用所學的數(shù)學知識測量某個娛樂場地所在山坡 AE 的長度．她先在山腳下點 E 處測得山頂 A 的仰角是 30°，然后，她沿著坡度是 i＝1∶1(即 tan∠CED＝1)的斜坡步行 15 分鐘抵達

6、C 處，此時，測得A 點的俯角是 15°.已知小麗的步行速度是18 米/分，圖中點 A、B、E、D、C 在同一平面內，且點 D、E、B 在同一水平直線上．求出娛樂場地所在山坡 AE 的長度(參考數(shù)據(jù)： ≈1.41，結果精確到 0.1 米)． 2解析：作輔助線 EF⊥AC 于點 F，根據(jù)速度乘以時間得出 CE 的長度，通過坡度得到∠ECF＝30°，通過平角減去其他角從而得到∠AEF＝45°，即可求出 AE 的

7、長度．解：作 EF⊥AC 于點 F，根據(jù)題意，得 CE＝18×15＝270(米)．∵tan∠CED＝1，∴∠CED＝∠DCE＝45°.∵∠ECF＝90°－45°－15°＝30°，∴EF＝ CE＝135 米．∵∠CEF＝60°，∠12AEB＝30°，∴∠AEF＝180°－45°－60°－30°＝45°，∴AE＝

8、 EF＝135 ≈ 2 2190.4(米)．所以，娛樂場地所在山坡 AE 的長度約為 190.4 米．方法總結：解決本題的關鍵是能借助仰角、俯角和坡度構造直角三角形，并結合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．三、板書設計三角函數(shù)的應用1．方向角的概念2．三角函數(shù)的實際應用本節(jié)課盡可能站在學生的角度上思考問題，設計好教學的每一個細節(jié)，上課前多揣摩．讓學生更多地參與到課堂的教學過程中，讓學生體驗思考的過程，體驗成功的喜悅和失敗的挫折，把課堂讓給學