外文翻譯---高斯消去法是穩(wěn)定的反對角占優(yōu)矩陣

1、高斯消去法是穩(wěn)定的反對角占優(yōu)矩陣 高斯消去法是穩(wěn)定的反對角占優(yōu)矩陣阿蘭.喬治 和 KHAKIM D. IKRAMOV摘要: 假設(shè) B∈Mn (C) 是一個行對角占優(yōu)矩陣, 即,, n , , 1 i , b bni j1 jij ii i ? ? ? ?? ??當(dāng) 0≤ ＜1，i = 1, ,n, 且 = ，我們的分析表明,當(dāng)高斯消去法被應(yīng)用于 ? ? ? n i 1 max ? ? i ?時，沒有旋轉(zhuǎn)是必要的。此外，增長因子A不會超

2、過 .同樣的結(jié)果顯示行對角 1 ? ? B A ? ? 1優(yōu)勢的確會被列對角優(yōu)勢所取代.1. 引言 引言我們開始了一個報價從N海厄姆的論文[ 1 ]：當(dāng)計算一LU因式分解時，主要有三類矩陣是已知的沒有安全軸的：矩陣對角占優(yōu)的行或列，厄米正定矩陣，和完全非負(fù)矩陣。”作者繼續(xù)說道“確定另一類矩陣非?？扇〉膶傩裕簭?fù)雜對稱矩陣的實部和虛部都是正定的。”本文我們擴展 的矩陣具有此屬性包括矩陣的逆矩陣對角占優(yōu)的行或列，由此我們得出，生長因子等矩陣的

3、。讀者會在3節(jié)發(fā)現(xiàn)證明，在2節(jié)發(fā)現(xiàn)初步證明所需材料。2.初步證實令 A∈Mn(C), 一套復(fù)雜的 n×n 矩陣. 索引集 ,我們的主要矩 ? ? n , , 1 ? ? ?陣表示A 位于行和列索引 以及A( ) 并且與其互補的主矩陣為A( ).接下來最 ? ? ' a重要是引理 3。引理 引理 1.令 A∈Mn(C) 是一個非奇異矩陣, 并且 B = . 令 是 的一個 1 - A ? ? ? n , , 1 ?子

4、集.不等式如下：(1) ) ( det ) ( det det / ? ? ? A A A ?一個積極的標(biāo)量 反之，如果類似的不等式： ?(2) ) ( det ) ( det det / ? ? ? Ｂ Ｂ Ｂ ?則通過矩陣 B證明，不等式(2)只不過是不等式(1)的另外一種形式. 這可以由以是指數(shù)集 (7). 不等式如下：(9) ij j ikij k j in aaA,) (, ,

5、maxmax( ? ） ?A被稱為生長因子。d.d.矩陣的性質(zhì)和高斯消去法是廣為人知的。我們將會在第三節(jié)陳述以下我們需要的引理引理 引理 4.令 B∈Mn(C) 是一個d.d.矩陣且具有航優(yōu)勢因子 i ?(見 (3)). 然后我們可以得出:(1) 高斯消去法在任何對角旋轉(zhuǎn)規(guī)則下適用于B。(2) 對角占優(yōu)矩陣具有積極的遺傳屬性。換句話說，每個 Schur 補 B/B( )同樣 ?是一個 d.d.矩陣.此外,對每一個 i 來說，行優(yōu)勢因子

6、 . 是超越不了 B/B( )的。 i ? ?這個相應(yīng)的因子也是超越不了 B 的 (假設(shè)原始行指數(shù) B 在行 B/B( )留下 i ? ?了”attached“).3. 主要結(jié)果現(xiàn)在我們開始證明：定理 定理 1. 令 A∈Mn(C)是一個非奇異矩陣，比如說 B = 是一個具有行優(yōu)勢因 1 - A子 (看 (4)) 的d.d.矩陣。然后我們可以得出： ?(10) ? ? ? ? 1 n

7、 ） （A證明：由引理 2可以得出， a11 是在第一列最大的模數(shù)記錄。于是可以得出，a11可以作為最關(guān)鍵的第一步消除。設(shè)定 = ,我們可以從(8)看到A/A 與 ? ?? 1 ? ? ?d.d. 矩陣B( )互逆. 因此我們可以得出,在A/A 中 和第一列最大的模數(shù)記 ‘ ? ? ? ? ） （122 a錄一致并且可以作為重要的第二步消去。重復(fù)上述步驟，我們可以得出以下結(jié) 論在A中，沒有有排列需要執(zhí)行高斯消去法.而且高斯消去法應(yīng)用于A

8、時的旋轉(zhuǎn)不 完全和A的部分旋轉(zhuǎn)相同。事實上, 關(guān)系 (6)的真正意思是在所有的矩陣A中，這項最大模數(shù)是主對角線. 這個結(jié)論在Schur補A/A 中同樣成立。由此可見，在 之下我們不得不在 ? ? ? ) n A （ ?對角項的排除過程中只檢查這種行為。 由此我們假定：) (, , max t re t s r a M ?在r = s = i; t = k的情況下實現(xiàn)。我們規(guī)定? ?, ,..., 1 k ? ? ??, i ? ? ?