數(shù)分與高代相互滲透淺析

1、1數(shù)分與高代相互滲透淺析 數(shù)分與高代相互滲透淺析姓名 史瑞東 指導教師 馬金亭（太原師范學院呂梁辦學點數(shù)學系 0301 班 山西.離石 033000）摘要 摘要 數(shù)分高代是大學數(shù)學專業(yè)兩門獨立的基礎(chǔ)課，在大一初接觸這兩門課時，總感覺這兩門課程的思想方法有很大區(qū)別，可隨著專業(yè)課程的深入，特別是到了泛函、拓樸、數(shù)理統(tǒng)計、概率論等課程的展開，數(shù)分與高代中所體現(xiàn)的思想方法的交叉滲透越來越多。本文就從一些很基礎(chǔ)的方面以及一些常見的

2、例題入手，淺析一下數(shù)分與高代之間的相互交叉。關(guān)鍵詞 關(guān)鍵詞 正交矩陣 正定矩陣 正交補 高階無窮小 廣義積分 向量函數(shù) 黑賽矩陣一、 一、高代在數(shù)分中的應(yīng)用隨著科技的發(fā)展，代數(shù)學的內(nèi)容都在不斷地充實和更新。在大學里開設(shè)的，高等代數(shù)課大致涉及了這么三塊：多項式、線性代數(shù)、樣環(huán)域理論、高等代數(shù)在數(shù)分里的應(yīng)用主要體現(xiàn)了以下兩點：a 在某些定義的給出或定理的證明上采用了行列式矩陣的書寫形式，以尋求簡明。這一點主要體現(xiàn)在多元函數(shù)微分

3、學和隱函數(shù)組定理及應(yīng)用這兩章中。比如象多元函數(shù) 極值問題；隱函數(shù)組定理、反函數(shù)組定理的給出和證明；空間曲線切線與法平面的表達式；條件極值等問題。這里只對多元函數(shù)極值問題中的二元函數(shù)極值充分條件定理的表述及證明列如下：為了給出二元函數(shù) f 在點 取得極值的充分條件，我們假定 具有二階連續(xù)偏導 ? ? 0 0 0 , y x P f數(shù)，并記它稱為 在 點的黑賽（ ? ?? ? ) () () (000 P fP fP Hyxxxf ? ??

4、 ? ? ??yxxxyyxyffP fP f) () (000 P yyxy ff? ?? f 0 P）矩陣． Hesse定理 1（極值充分條件） 設(shè)二元函數(shù) 在點 的某鄰域 內(nèi)具有二階連續(xù)偏導 f ) , ( 0 0 0 y x P ) ( 0 P Y數(shù)，且 是 的穩(wěn)定點。則當 是正定矩陣時， 在 取得極小值；當 是負定 0 P f ) ( 0 P H f f 0 P ) ( 0 P H f矩陣時， 在 取得極大值；當 是不定矩陣時

5、， 在 不取極值． f 0 P ) ( 0 P H f f 0 P證 由 在 的二階泰勒公式，并注意到條件 ，有 f 0 P , 0 ) ( ) ( 0 0 ? ? P f P f y x3(ⅳ)當 時，不能肯定 在點 是否取得極值． ? ? 0 ) ( 02 ? ? P f f f xy yy xx f 0 Pb 數(shù)學分析與高等代數(shù)在研究領(lǐng)域上的交叉這一點，主要體現(xiàn)在向量函數(shù)微分這一章，向量本來是線性代數(shù)里的一個概念，雖然向量函數(shù)微分

6、學轉(zhuǎn)化成了一個數(shù)學分析問題，但要解決這一問題高等代數(shù)里的 n 維歐氏空間，向量一向量之間的對應(yīng)關(guān)系，以及行列式，矩陣的手段是不可缺的。為了展示數(shù)分一高代在研究領(lǐng)域上的一些交叉，我們通過參考有關(guān)資料僅對向量在某些點可微和可微函數(shù)（向量函數(shù)）的定義給出表述如下：定義：設(shè) 為開集， 若存在某個線性變換 ，使得 n R D ? m R D f D x ?? ? ? : , 0 ?時有 D x Y x ? ? ) ( 0 ||) (|| ) (

7、) ( ) ( 0 0 0 x x x x x f x f ? ? ? ? ? ? ?或 則稱向量函數(shù) f 在 可微，若與上述線性變換相聯(lián)系 0 || ||) ( ) ( ) ( lim00 00? ?? ? ? ??? ? x xx x x f x fx x 0 x的矩陣為 ，則稱 為 f 在點 的微分，并稱 A 為 f 在點 的導數(shù)， ) ( n m A ? ) ( ) ( 0 0 x x A x x ? ? ? 0 x 0 x因而

8、 是 的一個線性逼 ) )( ( ) )( ( ) ( ) ( 0 0'0 0 0 0 x x x f x x x Df x x A x x ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( 0 x f x f ?近，只是當 時，它不再是一個實數(shù)，則稱 f 是 D 上的可微函數(shù)，下面來導出矩陣 A 的元素 1 ? m與 f 的坐標函數(shù)的偏導數(shù)的聯(lián)系，為此設(shè) ，? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ????m fMffff

9、321? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ??T mTmn mnAMMMAa aMMMa aA111 11000其中 ，此時，可微，由實值函數(shù)可微性的結(jié)論知道 m i a a A Tim i , , 2 , 1 , ) ( 1 1 ? ? ? ?m j ff a x xjiij ? ? ?? ? ? , 2 , 1 | , 0于是當 f 在 可微時，

10、f 在 的導數(shù)矩陣為 0 x 0 x)) ( ) ( ( 0 0 0'11110x Df x fxfxf MxfxfAx x nm mn? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ????? ? ???? ? ???二、數(shù)分在高代中的應(yīng)用在中學數(shù)學里我們已初步接觸了極限，微積分的思想，大學數(shù)學分析正是對，極限、微積分這一思想進一步加深與推廣，微分在高代里應(yīng)用，實質(zhì)上也就是微積分思想在高等代數(shù)里的滲透，具體地講這種滲透也可以分為以