均勻球體對質(zhì)點的萬有引力的計算及應(yīng)用

1、均勻球體對質(zhì)點的萬有引力的計算及應(yīng)用湖州中學 竺 斌 牛頓從開普勒定律出發(fā)，研究了許多不同物體間遵循同樣規(guī)律的引力之后，進一步把這個規(guī)律推廣到自然界中任意兩個物體之間，于 1687 年正式發(fā)表了萬有引力定律：自然界中任何兩個物體都是相互吸引的，引力的大小跟這兩個物體的質(zhì)量的乘積成正比，跟它們的距離的二次方成反比。即：① 2 rMm G F ? 引這里的兩個物體指的是質(zhì)點。萬有引力定律只給出了兩個質(zhì)點間的引力。而對于一般不能看成質(zhì)點

2、的物體間的萬有引力，需將物體分成許多小部分，使每一部分都可視為質(zhì)點，根據(jù)①式求出物體 1 各小部分與物體 2 各小部分之間的引力，每個物體所受的引力就等于其各部分所受引力的矢量和。但是，若物體為球體，且密度均勻分布，他們之間的引力仍然可以用上式計算，其中 r表示兩球球心的距離，引力沿兩球球心的連線。這一點在高中教材、教學參考書都沒有給出證明，只是用簡單的幾句話帶過。我用兩種方法來證明“對于質(zhì)量分布均勻的球體，在計算萬有引力時，可以把其看

3、成質(zhì)量都集中在球心的質(zhì)點。 ”并計算均勻球殼對其內(nèi)部質(zhì)點的引力和均勻球?qū)ζ鋬?nèi)部的引力，僅供大家參考。一、有關(guān)引力的計算1．用微積分法。．質(zhì)點與均勻球體間的萬有引力。 ) 1 (若質(zhì)點質(zhì)量為 m，與球心的距離為 R。設(shè)球的半徑為 a，密度為 ，質(zhì)量為 。建立如圖所示的 v ? 334 a M v ? ? ? ?坐標系。根據(jù)對稱性可知，球?qū)|(zhì)點的引力必沿 z 方向，x，y方向上合力為 0。球上取一微元，坐標為（r, θ，φ）,其體積為。對

4、質(zhì)點的萬有引力。 ? ? ? d drd r sin 2（R＞a） ? ? ?? ? d drd rR R rr m G dF vcos 2sin2 22? ? ?在 z 方向上的分力為：? ??? ? ? ? d drdrR R rr R r m G dF dF vz2 3 2 22) cos 2 (sin ) cos ( cos? ?? ? ? ?xyzOφαdFP(0,0,R)(r,θ,φ)··0cos 2co

5、s 2 ( 21 202102 22 22 222?? ? ??? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ??? ?? ? ?rR R rR r rR R r rR dr r GmRR v這就說明均勻球殼對球殼內(nèi)質(zhì)點的萬有引力等于 0。2．高斯定理法電學中高斯定理的表述：通過一個任意閉合曲面 S 的電通量 等于該面所包圍的所有 E ?電荷電量的代數(shù)和 除以 。即 ： ? i q 0 ?? ?? ? ? ?內(nèi) SiSE q dS E01

6、 cos ? ?通過 與 對比，在力學中引入引力場強度 ，， 2 rMm G F ? 引 22 10 41rq q F ? ? ??庫 引 E 2 rM G E ? 引則 。再引入引力通量 ， ，則類似的在引力場中的高斯定 引 引 E m F ? ? 引 ? ? cos S E ? ? ? 引 引理有： ? ?? ? ? ?內(nèi)引 引SiSm G dS E ? ? 4 cos下面再用高斯定理來證明均勻球體（半徑為 R）對質(zhì)點的萬有引

7、力。如果場點 P（設(shè) OP=r）在球外，由于球體質(zhì)量均勻分布，則引力場強分布應(yīng)具有球?qū)ΨQ性。在任何與均勻球同心的球面上各點的 E 引大小均相等，方向沿半徑向外呈輻射狀。根據(jù)引力場強的球?qū)ΨQ性特點，取高斯面為通過 P 點的同心球面，此球面上的引力場強 E 引的大小處處和 P 點相等，而 cosθ處處等于 1，通過此面的引力通量為：引 引 引 引 E r dS E dS ES S2 4 cos ? ? ? ? ? ? ?? ??根據(jù)高斯定理