線性方程組迭代法的若干問題.pdf

1、本文考慮了三個與求解線性方程組相關的問題，它們分別是： ·求解虧秩最小二乘問題的塊加速超松弛迭代法； ·求解奇異I)-循環(huán)線性方程組的塊加速超松弛迭代法； ·廣義的關于預處理線性方程組的支撐理論． 眾所周知，對于非奇異的線性方程組，即該方程組的系數(shù)矩陣A是可逆的，此時求解該方程組的迭代法收斂的充分必要條件是迭代矩陣的譜半徑嚴格小于1．然而當線性方程組奇異時，只能要求迭代法半收斂． 首先，將求解線性

2、方程組的塊加速超松弛迭代法應用于求解虧秩線性方程組的最小范數(shù)最小二乘解，其中線性方程組的系數(shù)矩陣A是秩為k的m×n復矩陣．證明了AOR和JOR(外推Jacobi)方法半收斂的一些充分必要條件，并且進一步討論了由原系數(shù)矩陣A擴充而得的新的系數(shù)矩陣的不同分裂所導出的AOR迭代法的半收斂性，同時給出了最優(yōu)參數(shù)使得AOR迭代法達到最快的收斂速度． 其次，研究了求解系數(shù)矩陣為奇異p-循環(huán)矩陣的線性方程組的塊加速超松弛迭代法的半收斂性。在討

3、論半收斂性之前，給出了塊AOR迭代矩陣和相應的塊Jacobi迭代矩陣的特征元素之間的一些基本性質(zhì)，這些性質(zhì)在半收斂性分析過程中起著十分重要的作用。利用塊AOR迭代矩陣和相應的塊Jacobi迭代矩陣的特征值之間所存在的關系，證明了求解奇異p-循環(huán)線性方程組的塊AOR迭代法半收斂的一些充分條件． 預處理是用來加速迭代法收斂的一個重要手段．值得注意的是，經(jīng)典的求解線性方程組的迭代法也都能夠看作是求解采用不同的因子預處理之后得到的線性方

4、程組的迭代法．換句話來說，原線性方程組的松弛迭代法等價于預處理之后的方程組的定點迭代法． 譜條件數(shù)是反映預處理因子性態(tài)是否良好的一個有效指標。在估計特征值和條件數(shù)的界的研究領域，雖然已經(jīng)有了很多的研究成果，但足支持理論還是一個全新的概念。支撐理論是一個用于分析預處理方程組的最大(或最小)特征值和條件數(shù)的代數(shù)架構，它最初產(chǎn)生于對稱正定的線性方程組．最后，將適用于對稱正定矩陣的支撐理論推廣到一般的矩陣(包括不定的和非對稱的矩陣)．在