Helmholtz傳輸特征值混合元法.pdf

1、Helmholtz傳輸特征值問(wèn)題由于在材料科學(xué)有著重要的應(yīng)用，一直都是數(shù)學(xué)和力學(xué)界關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題，很多學(xué)者傾其精力于它的數(shù)值處理上。該問(wèn)題的困難在于它是一個(gè)非橢圓且非對(duì)稱的方程，無(wú)法用傳統(tǒng)的特征值分析方法直接求解。在該研究領(lǐng)域中，Cakoni、Monk和Sun提出了一個(gè)新穎的變分公式，并對(duì)此方法對(duì)應(yīng)的有限元逼近做了誤差分析。同時(shí)，Yang、Bi、Li和Han將Ciarlet-Raviart混合元法應(yīng)用于該問(wèn)題并取得理想效果。由于混合元法

2、對(duì)于重調(diào)和方程有廣泛的應(yīng)用，能夠降低空間自由度，提高計(jì)算效率，因此混合元法的研究有重要價(jià)值。
　　本研究從理論角度出發(fā)，參考多個(gè)學(xué)者的研究方法和成果，對(duì)傳輸特征值問(wèn)題提出了相應(yīng)的混合計(jì)算方法，依靠特殊論證證明了方法的正確性和可行性，達(dá)到研究的預(yù)期效果。首先，我們將Cakoni等人提出的公式與Ciarlet-Raviart混合元結(jié)合起來(lái)，提出一個(gè)新的混合變分公式。因?yàn)槠錈o(wú)法直接利用經(jīng)典特征值理論，我們依靠?jī)蓚€(gè)正則性估計(jì)來(lái)證明混合變分

3、公式根的存在性及唯一性，并給出對(duì)應(yīng)的共軛問(wèn)題。然后證明變分問(wèn)題和離散問(wèn)題的解算子都是緊算子，為收斂性的證明做準(zhǔn)備工作。隨后，我們定義特殊的拉格朗日插值算子和紐曼投影算子，運(yùn)用插值理論，證明該問(wèn)題有限元解的收斂性，進(jìn)而推出離散問(wèn)題的解算子收斂于變分問(wèn)題的解算子?；谠摻Y(jié)論，我們即可依托特征值經(jīng)典理論來(lái)說(shuō)明有限元混合變分公式所得特征值和特征函數(shù)的收斂性，達(dá)到期望的結(jié)果。在文章的最后，我們對(duì)該方法的收斂階進(jìn)行了探討，通過(guò)特殊的論證方法，本問(wèn)題