關(guān)于四元數(shù)矩陣特征值、奇異值及行列式的研究.pdf

1、近年來，隨著四元數(shù)矩陣在量子力學(xué)、剛體力學(xué)、控制論、計算機圖形學(xué)等方面應(yīng)用范圍的不斷擴(kuò)大，對四元數(shù)矩陣?yán)碚摵陀嬎愕难芯恳踩找婊钴S.國內(nèi)外學(xué)者先后對四元數(shù)矩陣方程、特征值、最小二乘等問題進(jìn)行了細(xì)致的研究.然而，具有重要應(yīng)用價值與理論意義的四元數(shù)矩陣擾動問題及四元數(shù)矩陣特征值反問題的研究卻很少.本文在這些方面做了一些探索性的工作，主要包括利用友向量和復(fù)表示的方法，結(jié)合復(fù)數(shù)域上矩陣的相應(yīng)理論研究了四元數(shù)自共軛矩陣特征值的變分特征，并利用變分特

2、征討論了四元數(shù)矩陣奇異值的若干性質(zhì)；研究了四元數(shù)矩陣廣義逆、特征值、投影的擾動問題；利用矩陣分解研究了四元數(shù)正則矩陣束廣義特征值反問題；利用四元數(shù)的一種實表示—分量矩陣定義了四元數(shù)矩陣的行列式. 本文主要結(jié)果如下：定理設(shè)A∈SCn(Q)，其特征值為λ1≤λ2≤…≤λn-1≤λn，則λk=v1,v2…minvn-k∈Qnx∈Qnx(_|)v1,v2,…vn-k,x≠0maxxH/Ax/xHxλk=maxv1,v2…vk-1∈Qnm

3、inx∈Qnx(_|)v1,v2,…,vk-1xHAx/xHx 定理設(shè)A，B∈Qn×n，A∈SCn(Q)，A+B為正規(guī)矩陣，設(shè)λ1≤λ2≤…≤λn是A的特征值，{τ1，τ2，…，τn}是A+B的特征主值且按順序Reτ1≤Reτ2≤…≤Reτn排列.則[n∑i=1|τi-λi|2]2/1≤‖B‖2/√2. 定理設(shè)A∈Qn×n的奇異值為δ1≤δ2≤…≤δn，則δj(A)=min{‖A-B‖2|rankB≤n-j，B∈Qn×n

4、}定理設(shè)A，B∈Qn×n，A，B，A+B的奇異值分別為0≤δ1(A)≤δ2(A)≤…≤δn(A)，0≤δ1(B)≤δ2(B)≤…≤δn(B)則[n∑k=1(δk(A+B)-δk(A))2]1/2≤‖B‖F(xiàn)/√2. 定理設(shè)A∈Qrm×nA=U∑VH，其中∑=diag(δ1，δ2，…，δr，0，…，0)，δ1≥δ2≥…≥δr，U，V分別為m，n階酉陣.令A(yù)k=Uk∑kVHk，(1≤k＜r)，其中∑k=diag(δ1，δ2，…，δk)

5、，Uk，Vk分別是U，V的前k列.則‖A-Ak‖F(xiàn)=minB∈Qkm×n‖A-B‖F(xiàn)=(2r∑i=k+1)δ2i)1/2 定理設(shè)A∈Qm×n，～A是劃去A的任意一列后所得的矩陣.{δi}，{～δi}分別為A和(～A)的按遞減順序排列的奇異值. 1)若m≥n，則δ1≥～δ1≥δ2≥～δ2≥…≥～δn-1≥δn≥0， 2)若m＜n，則δ1≥～δ1≥δ2≥～δ2≥…≥δm≥～δm≥0. 定理設(shè)A,B∈Qm×n，

6、q=min{m，n}.A，B，A+B的奇異值分別為δ1(A)≥δ2(A)≥…≥δq(A)≥0，δ1(B)≥δ2(B)≥…≥δq(B)≥0δ1(A+B)≥δ2(A+B)≥…≥δq(A+B)≥0則δi+j-1(A+B)≤δi(A)+δi(B)(1≤i，j≤q且i+j≤q+1). 定理設(shè)A∈Qrm×n，～A=A+δA∈Qm×n若‖δA‖2‖A+‖2＜1，則rank(～A)≥rank(A)，且當(dāng)rank(～A)＞rank(A)時，‖～A

7、+‖2≥1/‖δA‖2，當(dāng)rank(～A)=rank(A)時，‖A+‖2/1+‖δA‖2‖A+‖2≤‖～A+‖2≤‖A+‖2/1-‖δA2‖‖A+‖2.定理設(shè)A∈Qm×n，~A=A+δA∈Qm×n，則‖～A+-A+‖F(xiàn)≤√2max{‖～A+‖22,‖A+‖22}‖δA‖F(xiàn) 定理設(shè)A∈Qm×n，～A=A+δA∈Qm×n，則‖P～A-PA‖F(xiàn)≤√‖～A+‖22+‖A+‖22‖δA‖F(xiàn)‖P～A-PA‖2≤max{‖～A+‖2,‖A+‖

8、2}‖δA‖2. 定理設(shè)A，～A=A+δA∈SC>n(Q)，λ1≥λ2≥…≥λn＞0，～λ1≥～λ2≥…≥～λn＞0分別為A與～A的特征值，則|λi-～λi|/√λi～λi≤‖A-1/2δA～A-1/2‖2 定理給定X∈Qm×n，設(shè)X的奇異值分解為(1.1)式，∧=diag(λ1，…，λn)∈Rn×n，V1H∧V1的譜分解為(1.3)式，則問題Ⅰ中(A，B)為正則矩陣束的通解為A=U((∑-1W)^B11D(∑-1W)H

9、-B21∑WDWH∑-1(-B21∑WDWH∑-1-A22)UHB=U((∑-1W)^B11(∑-1W)H-B21)-B21H-B22)UH 其中-B21為任意(m-r)×r階四元數(shù)矩陣，-A22，-B22為任意m-r階四元數(shù)自共軛矩陣，^B11=diag(^b1，…，^br)為任意四元數(shù)矩陣，且^bi，i=1，2，…，r中相同的相鄰排列，諸^bi相同的情形與VH1∧V1的譜分解中D的諸μi相同情形一致. 定理給定X∈Q

10、m×n，設(shè)X的奇異值分解為(1.1)式，∧=diag(λ1，…，λn)∈Rn×n，V1H∧V1的譜分解為(1.3)式，則問題Ⅱ的通解為 A=U(∑WDWH∑-100-A22)UH其中-A2為任意m-r階四元數(shù)自共軛矩陣. 定理給定X∈Qnm×n，設(shè)X的QR分解為(1.4)式，∧=diag(λ1，…，λn)∈Rn×n，則問題Ⅲ的通解為A=Q(R-H^R-1-B21R^R-1(-B21R^R-1-A22)H)QHB=Q(R-