項(xiàng)鏈李代數(shù)的結(jié)構(gòu)與性質(zhì).pdf

1、最近,Le Bruyn和Ginzburg分別引入了項(xiàng)鏈李代數(shù)([1],[2]),它是定義在箭圖上的一種無(wú)限維李代數(shù),在非交換幾何研究中起了重要作用.目前對(duì)項(xiàng)鏈李代數(shù)的結(jié)構(gòu)還沒(méi)有太多的研究.該文探討項(xiàng)鏈李代數(shù)的結(jié)構(gòu)及性質(zhì).在1.1節(jié)中,我們定義了箭圖Q的重箭圖Q循環(huán)上的映射σ,用它給出了項(xiàng)鏈李代數(shù)括號(hào)運(yùn)算的一個(gè)嚴(yán)格定義,并用此定義證明了這是一個(gè)李運(yùn)算.在1.2節(jié)中,我們對(duì)項(xiàng)鏈字引入左右指標(biāo)數(shù)組,利用它們把項(xiàng)鏈李代數(shù)N<,Q>的基分成了A,

2、B,C,D,E5類.我們還討論了由重箭圖自然自同構(gòu)導(dǎo)出的李代數(shù)的一個(gè)自然的對(duì)合.在1.3節(jié)中,應(yīng)用指標(biāo)數(shù)組我們討論了各類元素的性質(zhì),指出其第A,B,C類元各自張成的子空間均是N<,Q>的子代數(shù),特別是C類中所有長(zhǎng)度為2的元素張成了N<,Q>的Abel子代數(shù)H,且含于C生成的子代數(shù)P的中心Z(P)中.在2.1節(jié)中,我們利用H給出了N<,Q>的中心元的一般形式,即對(duì)任意x∈Z(N<,Q>),有x=∑<,i>b<,i>ω<,i>十x′,其中b

3、<,i>∈K,ω<,i>∈C,x′∈E<,0>.我們還對(duì)只有一個(gè)單循環(huán)和一個(gè)單循環(huán)及若干單箭頭的箭圖,給出了其項(xiàng)鏈李代數(shù)的某些中心元素的具體形式.在2.2節(jié)中,我們對(duì)非平凡圖,即當(dāng)箭圖中有箭頭時(shí),利用H中的元素證明了N<,Q>不是半單純李代數(shù).當(dāng)箭圖中有長(zhǎng)度大于1的循環(huán),且無(wú)圈時(shí),構(gòu)造了N<,Q>的非可解子代數(shù),從而證明了N<,Q>是不可解李代數(shù).我們還利用指標(biāo)數(shù)組討論了項(xiàng)鏈字的運(yùn)算,構(gòu)造了N<,Q>的可解非冪零子代數(shù),從而證明了當(dāng)箭圖