譜元方法求解不可壓縮流體流動及流動線性穩(wěn)定性分析.pdf

1、本文的主要內容是利用譜元法數值模擬流體力學中的相關問題?？傮w思路如下：首先開展對譜元法基本算法的研究，分別建立了直角坐標系和極坐標系下的譜元法，并通過一些具有解析解的數值算例驗證方法的精度和程序的有效性；其次結合時間分裂法，求解不同坐標系下的非定常不可壓縮流動，在求解精度上與其它數值方法進行了比較；最后對方腔頂蓋驅動流進行了線性穩(wěn)定性分析，方腔采用有限長模型，研究展向（z方向）長度變化對流動失穩(wěn)的影響，通過能量分析，探索流動失穩(wěn)的物理機

2、制。
　　針對上述研究思路，本文具體開展了如下工作，并完成了相應的程序開發(fā)：（1）推導了直角坐標系下的Chebyshev和Legendre譜元方法，并提出了極坐標系下的求解Poisson-型方程Legendre譜元方法和Fourier-Legendre譜元方法。在極坐標系下的譜元方法中，在單元徑向上，變量采用Legendre多項式展開，極點所在單元的徑向采用Gauss-Radau積分點，其它單元的徑向采用Gauss-Lobatto

3、積分點；在單元周向上，變量分別采用Legendre多項式和Fourier多項式展開。最后求解了多個具有解析解的Dirichlet或Neumann邊界條件下的Poisson-型方程（Helmholtz方程和Poisson方程），用于驗證本文方法的精度和有效性。（2）結合譜元方法和時間分裂法，求解了一系列非定常不可壓縮流體流動，其中時間分裂法離散了Navier-Stokes方程中的時間項，從而得到相應的Poisson-型方程，進而通過譜元法

4、進行求解。在直角坐標系下，分別求解了方腔頂蓋驅動流、自然對流和表面張力流等流動，計算結果與文獻基準解或有限體積法數值結果進行了對比，從而驗證方法的精度和可行性。在極坐標系下，利用Fourier-Legendre譜元方法，以圓盤驅動流作為算例，研究加速坩堝旋轉技術（ACRT）對于流體濃度均勻化的影響；首先，采用數值同位素模型，分別研究加速坩堝旋轉和勻速坩堝旋轉對于同位素流體濃度均勻化的作用，其中同位素流體的濃度變化僅由對流決定，以濃度的標

5、準差判斷均勻化程度，最后比較了譜元法和有限差分法的數值精度，對比了兩種方法下的數值擴散的大?。黄浯?，研究高溫溶液晶體生長中加速坩堝旋轉技術對于流體濃度均勻化的作用，流體濃度的變化由對流和擴散決定，本文選擇了六種典型的加速坩堝旋轉模式，并對每種旋轉模式分別施加了不同的旋轉時間周期，通過對濃度的標準差曲線變化找出最優(yōu)的加速坩堝旋轉模式和旋轉時間周期，并以此指導實驗。（3）結合譜元法和線性穩(wěn)定性分析理論，分別研究方腔（即x-y平面）施加無滑移

6、邊界條件和滑移邊界條件的有限長模型的頂蓋驅動流失穩(wěn)特性；其基本思想是在二維基態(tài)解上施加三維小擾動，去掉擾動的高階非線性部分，將小擾動寫成正則模形式，從而得到擾動的控制方程組，通過譜元離散方程組，并將方程組表達成積分弱形式，最后可以得到相應的廣義特征值問題，利用Arpack程序包求解此特征值問題，對于不同的Re數（Reynold數）和波數，根據特征值的實部大小來尋找流動失穩(wěn)的臨界值；對臨界流動進行擾動能量分析，探索不同展向長度下的流動失穩(wěn)

7、物理機制。
　　通過對不同問題的計算和相應數值結果進行分析，結果表明：
　?、俦疚牡淖V元方法能夠以較少節(jié)點獲得高精度數值解；在極坐標系下的譜元方法中，極點所在單元的徑向采用Gauss-Radau積分點，能夠成功地避免r=0處的1/r坐標奇異性；另外，本文譜元法可以通過區(qū)域分解技術避免極點附近節(jié)點的聚集，從而使得其在求解利用顯示時間格式離散的非定常問題時，減輕對時間步長的限制。
　?、诶米V元法和時間分裂法，成功地求解直

8、角坐標系下的不可壓縮流體流動；首先通過求解具有解析解的二維非定常Burgers方程，驗證了本文方法的可行性和高精度性；其次將方腔頂蓋驅動流、自然對流和表面張力流的數值結果同文獻基準解或有限體積法數值結果進行對比，發(fā)現各種結果之間吻合得都非常好，從而說明本文方法能夠正確地用于流體流動的求解，并為后續(xù)譜元法在極坐標系下的流動求解和流動的穩(wěn)定性分析打下基礎。
　　③基于Fourier-Legendre譜元方法和有限差分法的數值結果比較表

9、明：一階迎風差分格式存在嚴重的數值假擴散現象，數值誤差很大，增加節(jié)點數能稍微地改善結果；二階迎風差分格式的數值擴散較嚴重，存在較大的誤差，增加節(jié)點數時可以有效地改善數值結果；譜元方法求解的數值結果顯示，譜元法存在極小的數值擴散，在勻速旋轉時數值解幾乎與理論解一致，在加速旋轉時，標準差做非常均勻的周期性變化，不隨時間變化發(fā)生幅值的偏移，與數學模型的物理意義十分吻合，說明譜元法是一種以較少節(jié)點獲得高精度解的數值方法，具有很好的穩(wěn)定性和收斂性

10、。
　?、芾肍ourier-Legendre譜元方法深入地研究了晶體生長中加速坩堝旋轉技術對于濃度均勻化的作用，數值結果顯示：濃度均勻化最優(yōu)的加速坩堝旋轉模式是具有雙向旋轉的對稱梯形模式，最優(yōu)的無量綱時間周期為T=0.1；在本模型中溶液的完全混合是由擴散和對流共同決定的，而對流是從時間尺度上加快了溶液總體混合的過程，即改變了局部濃度梯度，從而加速擴散。
　?、萃ㄟ^對方腔 x-y平面上的邊界施加無滑移邊界條件的有限長模型的頂

11、蓋驅動流失穩(wěn)特性分析發(fā)現：首先，對于立方體方腔流動，失穩(wěn)的臨界Re數和波數為818.41和3，流動的失穩(wěn)屬于靜態(tài)失穩(wěn)，失穩(wěn)后的流動在壁面附近比方腔中心要明顯得多，通過能量分析發(fā)現最危險的區(qū)域位于上流線固壁附近，這與展向施加周期性邊界條件的無限長模型的數值是一致的，流動的失穩(wěn)機制為與靜態(tài) TGL（Taylor-Goertler-like）模式相關的離心失穩(wěn)。其次研究了Λ為整數的幾個算例，根據結果提出了兩個判斷不同Λ下流動失穩(wěn)臨界參數的預測

12、，以Λ為小數且1<Λ<2的算例數值結果驗證了上述預測的正確性；本文結果同直接數值模擬的數值結果進行了對比，兩種思路得到的臨界波數吻合得很好，僅Λ=1.8時存在不符，可能是數值方法的精度導致了這個差異，另外，不同Λ下的流動失穩(wěn)均為靜態(tài)失穩(wěn)，且改變Λ并不改變流動失穩(wěn)的物理機制。最后，當Λ=2π時，擾動的控制方程同基于無限長模型的擾動方程在形式上是一樣的，而本文Λ=2π時的有限長模型失穩(wěn)臨界值同無限長模型的數值結果也符合地很好，且當波數k≤1

13、1流動為振蕩失穩(wěn)，即Hopf分叉，而當波數 k>11時流動為靜態(tài)失穩(wěn)，與文獻結果十分一致；進一步驗證了本文有限長模型的線性穩(wěn)定性分析結果的正確性，能夠用于解釋流動的失穩(wěn)機制。
　?、尥ㄟ^對方腔 x-y平面上的邊界施加滑移邊界條件的有限長模型的頂蓋驅動流失穩(wěn)特性分析發(fā)現：首先，立方體方腔流動的失穩(wěn)臨界Re為337.02，不到無滑移邊界下的有限長模型和無限長模型臨界Re的一半，說明了無滑移邊界條件能夠起到穩(wěn)定流體流動的作用；流動的失穩(wěn)

14、屬于靜態(tài)失穩(wěn)；通過直接數值模擬驗證了臨界波數 k=2的正確性；基于能量分析發(fā)現，正的總能傳遞速率在方腔壁面附近達到頂峰，導致了流動的失穩(wěn)，這是流動失穩(wěn)的物理機制。由于角渦的消失，即缺失了形成TGL渦的主渦與下流線角渦之間的分界面，因此本模型下的流動失穩(wěn)與無滑移邊界下的有限長模型失穩(wěn)是不同的。其次，展向長度的變化對于臨界雷諾數的影響較小，且不同Λ下流動失穩(wěn)均屬于靜態(tài)失穩(wěn)；同樣，由于施加了滑移邊界條件，流動相對于無滑移邊界下的流動更加地不穩(wěn)