若干計(jì)算機(jī)試驗(yàn)設(shè)計(jì)的構(gòu)造與分析.pdf

1、試驗(yàn)設(shè)計(jì)是統(tǒng)計(jì)學(xué)的重要分支之一，它在統(tǒng)計(jì)學(xué)的課程、研究和應(yīng)用中扮演著關(guān)鍵角色。試驗(yàn)設(shè)計(jì)不僅擁有完整的理論體系，它在我們?nèi)粘Ｉ顚?shí)踐中也有著廣泛的應(yīng)用。試驗(yàn)有助于我們了解某些過程或系統(tǒng)的機(jī)制，掌握更多關(guān)于產(chǎn)品的信息，以進(jìn)一步提高生產(chǎn)效率。試驗(yàn)包括兩個(gè)方面：設(shè)計(jì)和分析。試驗(yàn)的設(shè)計(jì)藝術(shù)和分析技巧有著緊密聯(lián)系。前者的目的是希望通過精心設(shè)計(jì)試驗(yàn)以提高后者的效率和精度。試驗(yàn)的分析指的就是統(tǒng)計(jì)推斷，它包括建模、變量選擇、估計(jì)、預(yù)測、優(yōu)化等等。一個(gè)好的

2、設(shè)計(jì)應(yīng)該利用盡可能少的資源去獲得關(guān)于研究對象的盡可能多的有用信息。
　　試驗(yàn)又可以分為兩大類：實(shí)體試驗(yàn)和計(jì)算機(jī)試驗(yàn)。實(shí)體試驗(yàn)是指那些在實(shí)驗(yàn)室、工廠或田問完成的試驗(yàn)。試驗(yàn)設(shè)計(jì)的發(fā)展可以追溯到二十世紀(jì)三十年代，統(tǒng)計(jì)學(xué)家R．A．Fisher在英國的一問農(nóng)場試驗(yàn)站開始了他的開創(chuàng)性工作。實(shí)體試驗(yàn)的特點(diǎn)是試驗(yàn)結(jié)果會(huì)受到系統(tǒng)誤差的影響。系統(tǒng)誤差客觀存在且不可控，所以在相同的因子水平設(shè)置下去多次重復(fù)試驗(yàn)會(huì)得到不同的結(jié)果。隨機(jī)化、分區(qū)組和重復(fù)是實(shí)體

3、試驗(yàn)的三大基本原則，它們可以降低系統(tǒng)誤差的影響。計(jì)算機(jī)試驗(yàn)的興起得益于近幾十年來計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展。與實(shí)體試驗(yàn)相比，計(jì)算機(jī)試驗(yàn)通過在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行代碼來完成。因此，計(jì)算機(jī)試驗(yàn)的輸出結(jié)果具有確定性，這也是計(jì)算機(jī)試驗(yàn)與實(shí)體試驗(yàn)的最大區(qū)別。實(shí)體試驗(yàn)中的三大基本原則不再適用于計(jì)算機(jī)試驗(yàn)。除了輸出具有確定性，試驗(yàn)代碼的運(yùn)行也可能會(huì)花費(fèi)大量的時(shí)間。計(jì)算機(jī)試驗(yàn)的另一特點(diǎn)就是包含的輸入變量數(shù)目眾多-15到20或者更多。計(jì)算機(jī)試驗(yàn)的目的就是建立一個(gè)擬模型

4、，通過這個(gè)擬模型來刻畫輸出變量和輸入變量之間的復(fù)雜關(guān)系。根據(jù)計(jì)算機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)，我們需要新的設(shè)計(jì)和分析方法來與之對應(yīng)。
　　計(jì)算機(jī)試驗(yàn)的發(fā)展才剛剛起步，對許多問題的研究還不是很完善。該領(lǐng)域中有許多新的有意義的課題值得研究者們深入研究。本文研究計(jì)算機(jī)試驗(yàn)中的一些新課題，包括二階正交分片拉丁超立方體設(shè)計(jì)的構(gòu)造和基于近似正交表的拉丁超立方體設(shè)計(jì)的構(gòu)造。此外，本文還提出了一類新的設(shè)計(jì)一半拉丁超立方體設(shè)計(jì)，并將其應(yīng)用于計(jì)算機(jī)試驗(yàn)的分析中。

5、r>　　拉丁超立方體設(shè)計(jì)是由McKav等人在1979年提出的。它是計(jì)算機(jī)試驗(yàn)中最為常用的一類設(shè)計(jì)。拉丁超立方體設(shè)計(jì)可以在任意一維上達(dá)到最大分層，這一特性使得它可以很好地適應(yīng)計(jì)算機(jī)試驗(yàn)輸出結(jié)果具有確定性這一特點(diǎn)。拉丁超立方體設(shè)計(jì)早期的構(gòu)造都是各列獨(dú)立構(gòu)造，這就會(huì)使得因子之間可能會(huì)具有較強(qiáng)的相關(guān)性。而較強(qiáng)相關(guān)性的出現(xiàn)會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重的共線性，且不利于顯著因子的識(shí)別，使后續(xù)的數(shù)據(jù)分析變得復(fù)雜。在回歸分析中，如果變量之間相互正交，那么就可以保證系數(shù)的

6、估計(jì)之間是不相關(guān)的。如果設(shè)計(jì)具有正交性，那么主效應(yīng)估計(jì)之間是不相關(guān)的，這就有助于識(shí)別重要因子。進(jìn)一步，如果設(shè)計(jì)具有二階正交性，那么除了主效應(yīng)估計(jì)之間不相關(guān)，所有主效應(yīng)估計(jì)與二次效應(yīng)估計(jì)、主效應(yīng)估計(jì)與二階交互效應(yīng)估計(jì)之間都是不相關(guān)的。這就可以排除二次效應(yīng)和二階交互效應(yīng)對主效應(yīng)估計(jì)的影響。因此，構(gòu)造具有正交性或二階正交性的拉丁超立方體設(shè)計(jì)是計(jì)算機(jī)試驗(yàn)中的一個(gè)熱門課題。
　　計(jì)算機(jī)試驗(yàn)可以看成是一個(gè)黑盒子，由于我們對這個(gè)黑盒子中的信息了

7、解得非常有限，一個(gè)很自然的想法是盡可能詳盡地對試驗(yàn)區(qū)域進(jìn)行探索。帶有空間填充性的設(shè)計(jì)可以將設(shè)計(jì)點(diǎn)盡量均勻地布置在設(shè)計(jì)區(qū)域上。如何使拉丁超立方體設(shè)計(jì)具有空間填充性是一個(gè)有趣的問題。正交表、近似正交表和強(qiáng)正交表是構(gòu)造帶有空間填充性的拉丁超立方體設(shè)計(jì)的基石?；诖藰?gòu)造出的設(shè)計(jì)在較低維上會(huì)具有分層性質(zhì)。由于試驗(yàn)次數(shù)相對有限，較高維上的分層性質(zhì)還是難以達(dá)到的。本文給出了一種利用正交表構(gòu)造近似正交表，進(jìn)而構(gòu)造帶有低維分層性等優(yōu)良性質(zhì)的拉丁超立方體設(shè)

8、計(jì)的方法。另外，基于某些準(zhǔn)則優(yōu)化得來的設(shè)計(jì)也可能具有空間填充性。距離準(zhǔn)則，例如最大最小距離和最小最大距離(Johnson，Moore and Ylvisaker，1990)，還有均勻性的一些準(zhǔn)則，例如中心化L2偏差和可卷L2偏差(Hickernell，1998a，1998b)，都可以幫助我們找到好的設(shè)計(jì)。
　　在實(shí)際中，計(jì)算機(jī)試驗(yàn)可能既包含定量因子又包含定性因子。Qian(2012)提出的分片拉丁超立方體設(shè)計(jì)適用于這類試驗(yàn)，該設(shè)計(jì)

9、的每一個(gè)分片可以對應(yīng)于定性因子的一個(gè)水平組合。分片拉丁超立方體設(shè)計(jì)不僅適用于帶有定性定量因子的計(jì)算機(jī)試驗(yàn)，也可以用于多精度計(jì)算機(jī)試驗(yàn)、模型校正、交叉驗(yàn)證、多水平函數(shù)估計(jì)、隨機(jī)優(yōu)化、數(shù)據(jù)匯集等等。如何使分片拉丁超立方體設(shè)計(jì)具有正交性、近似正交性和分層性質(zhì)是值得研究的問題。本文給出了一種構(gòu)造二階正交分片拉丁超立方體設(shè)計(jì)的方法，相比于現(xiàn)有的設(shè)計(jì)，本文構(gòu)造的設(shè)計(jì)在參數(shù)上更為靈活，性質(zhì)更加優(yōu)良。
　　對于計(jì)算機(jī)試驗(yàn)的分析，預(yù)測精度是一個(gè)很重

10、要的關(guān)注點(diǎn)。從試驗(yàn)設(shè)計(jì)的角度看，一個(gè)精心安排的設(shè)計(jì)能夠?yàn)樘岣哳A(yù)測精度提供幫助。此外，由于系統(tǒng)的表現(xiàn)在變量的臨界值附近可能會(huì)變得不穩(wěn)定，在試驗(yàn)區(qū)域邊界附近進(jìn)行預(yù)測要比在中心點(diǎn)附近進(jìn)行預(yù)測難得多。如何通過安排設(shè)計(jì)使得在整個(gè)試驗(yàn)區(qū)域上都有較優(yōu)的預(yù)測精度是一個(gè)值得關(guān)注的問題。關(guān)于這個(gè)問題，本文給出了一些初步的研究和探索。
　　下面簡要介紹一下本文各章的基本內(nèi)容。
　　第一章是引言，簡要介紹了一些背景知識(shí)。
　　第二章給出了一種

11、構(gòu)造二階正交分片拉丁超立方體設(shè)計(jì)的方法。分片拉丁超立方體設(shè)計(jì)可以應(yīng)用于計(jì)算機(jī)試驗(yàn)的多種情形。正交性和二階正交性對于識(shí)別重要因子非常關(guān)鍵。除了正交性，空間填充性對于拉丁超立方體設(shè)計(jì)來說也是一種優(yōu)良的性質(zhì)。本章給出了二階正交分片拉丁超立方體設(shè)計(jì)的構(gòu)造方法，并對構(gòu)造出的設(shè)計(jì)進(jìn)行優(yōu)化，使其具有良好的空間填充性。進(jìn)一步，本章將構(gòu)造方法推廣到了構(gòu)造近似正交分片拉丁超立方體設(shè)計(jì)。對于本章給出的設(shè)計(jì)，其分片數(shù)、列數(shù)和因子水平設(shè)置相比于現(xiàn)有同類設(shè)計(jì)都更為

12、靈活。
　　第三章提出了基于近似正交表構(gòu)造拉丁超立方體設(shè)計(jì)的方法。低維分層性對于拉丁超立方體設(shè)計(jì)來說是一個(gè)極好的性質(zhì)。為了滿足實(shí)際需要，計(jì)算機(jī)試驗(yàn)的設(shè)計(jì)需要可以容納數(shù)量較多的因子。本章構(gòu)造了一類拉丁超立方體設(shè)計(jì)，這類設(shè)計(jì)的列可以分成若干個(gè)組，來自不同組的任意兩列都具有分層性質(zhì)，同組的列之間具有列正交性或空間填充性。此外，我們將這種構(gòu)造方法推廣到了構(gòu)造具有上述性質(zhì)的分片拉丁超立方體設(shè)計(jì)。與現(xiàn)有設(shè)計(jì)相比較，本章給出的設(shè)計(jì)可以容納更多的

13、因子，并可以對試驗(yàn)區(qū)域進(jìn)行更為詳盡的探索，且具有優(yōu)良的性質(zhì)。
　　第四章構(gòu)造了一類新的設(shè)計(jì)一半拉丁超立方體設(shè)計(jì)，并展示了其在計(jì)算機(jī)試驗(yàn)分析中的優(yōu)越性。從試驗(yàn)設(shè)計(jì)的角度看，設(shè)計(jì)會(huì)對預(yù)測精度產(chǎn)生影響。本章提出了一類新的設(shè)計(jì)一半拉丁超立方體設(shè)計(jì)，這類設(shè)計(jì)包含一個(gè)內(nèi)嵌的拉丁超立方體設(shè)計(jì)，并在試驗(yàn)區(qū)域的邊界附近額外添加了一些設(shè)計(jì)點(diǎn)。因此，該類設(shè)計(jì)不僅保持了拉丁超立方體設(shè)計(jì)的空間填充性，還為在試驗(yàn)區(qū)域邊界進(jìn)行預(yù)測提供了幫助。本章通過幾個(gè)模擬例