幾類二階非線性差分方程邊值問題正解的存在性.pdf

1、差分方程邊值問題正解存在性理論是微分方程理論中一個十分重要的分支，它具有非常深刻的物理背景和數(shù)學(xué)模型，近年來，這一理論在應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域取得了迅速的發(fā)展和廣泛的重視，有大批學(xué)者從事于這方面的理論研究，取得了一系列較好的結(jié)果，研究差分方程邊值問題正解的存在性，有較好的發(fā)展前景，并且有較高的實(shí)用價值.差分方程邊值問題正解的存在性也是差分方程解的重要性態(tài)之一.隨著自然科學(xué)與生產(chǎn)技術(shù)的不斷發(fā)展，在許多應(yīng)用問題中均出現(xiàn)了差分方程邊值問題解的的存在性理

2、論的應(yīng)用.特別是近幾十年，微分方程解差分方程邊值問題正解的存在性的研究發(fā)展得相當(dāng)迅速，其中以二階非線性差分方程最受人們的關(guān)注，因此也被研究得比較深入和廣泛，無論是從方程的類型上還是從研究的方法上均有長足的發(fā)展. 本文利用錐壓縮拉伸不動點(diǎn)定理，函數(shù)的單調(diào)性對幾類二階非線性差分方程進(jìn)行了進(jìn)一步的研究，得到一些新的結(jié)果. 根據(jù)內(nèi)容本論文分為以下五章： 第一章概述本論文研究的主要問題. 第二章在這一章中，我們主要

3、研究如下p—Laplacian差分方程 △[φp(△u(t-1))]+f(t，u(t))=0，t∈[1，T+1](2.1.1)在邊值條件△u(0)=u(T+2)=0(2.1.2)下的正解的存在性，主要通過Krasnoselskii's錐壓縮和拉伸不動點(diǎn)定理得到上述方程及邊值問題至少存在一個正解的結(jié)論. 這里φp(s)是p—Laplacian算子，即φp(s)=｜s｜p—2s，p>1，(φp)-1=φq，1/p+1/q=1

4、；f是([1，T+1]，R)→R+上的連續(xù)函數(shù). 第三章在這一章中，我們主要研究如下的差分方程 △[φp(△u(t-1))+a(t)f(u(t))=0，t∈[1，T+1](3.1.1)滿足邊值條件 u(0)=△u(T+1)=0，(3.1.2) 這里R為實(shí)數(shù)，Z為整數(shù)并且R+為正實(shí)數(shù)，給定Z中整數(shù)a，b，并且a

5、(s)，φq(s)的定義同上，f：R+→R+為連續(xù)的，a(t)是定義在[1，T+1]上的正值函數(shù). 在第一節(jié)中，主要引入p(δ，d)，()P(δ，d)，p(δ，d)，以及不動點(diǎn)定理. 在第二節(jié)中，應(yīng)用不動點(diǎn)定理得出本文的主要結(jié)果. 第四章在這一章中，我們主要研究如下差分方程 △(φp(△u(k)))+a(k)f(k，u(k))=0，k∈{0，…N}(4.1.1)邊值條件為 △u(0)=0，u(N+

6、1)+B0(△u(l))=0(4.1.2)其中 △u(k)=u(k+1)—u(k).這章我們將得到方程(4.1.1)在邊值條件(4.1.2)下的正解存在性.并且給出以下假設(shè)(H1)f是([0，N]，R)→R+上的連續(xù)函數(shù).(H2){a(k)}是一個正數(shù)列.(H3)φp(s)，φq(s)的定義同上，N是一個正整數(shù)，l∈{0，1，…n+1}.是一個常數(shù).(H4) B0：R→R是連續(xù)的并且滿足存在β≥α≥0，使得α(x)≤B0(x)≤

7、β(x)x∈R+.序列{u(0)，u(1)，…u(N+2)}稱作邊值問題(4.1.1)—(4.1.2)的解，如果對于k∈{0，…N}滿足方程和邊值條件(4.1.2)，并且u(k)>0，k∈{1…，N+1). 在第一節(jié)中，我們介紹Banach空間中的一些定義和一個不動點(diǎn)定理， 在第二節(jié)中，應(yīng)用第一節(jié)給出的不動點(diǎn)定理得出本文的主要結(jié)果. 第五章在這一章中，我們主要研究如下差分方程的邊值問題正解的存在性，其中