關(guān)于富足半群和模糊正則半群的研究.pdf

1、“半群代數(shù)理論”在計(jì)算機(jī)科學(xué)、信息科學(xué)的推動(dòng)下，經(jīng)過(guò)六十余年的系統(tǒng)研究，已成為“代數(shù)學(xué)”中一個(gè)獨(dú)具特色的學(xué)科分支．它與“群論”的關(guān)系類似于“環(huán)論”與“域論”的關(guān)系．這一地位的確立不僅在于一批系統(tǒng)的研究成果的出現(xiàn)，更在于一套獨(dú)特的系統(tǒng)研究思路和方法的形成． 半群理論家說(shuō)過(guò)：半群同余理論是半群代數(shù)理論中最深刻和最精彩的部分．特別是在Zadeh引入了模糊集的概念后，模糊關(guān)系也隨之產(chǎn)生了．如同在研究一般半群的結(jié)構(gòu)理論一樣，我們可從半群的

2、模糊理論出發(fā)研究其模糊性質(zhì)，包括討論半群上的模糊同余關(guān)系及其由模糊同余關(guān)系所確定的商半群等理論，基于這樣的思想Kuroki將半群的同態(tài)基本定理推廣到更一般的、內(nèi)涵更豐富的同態(tài)定理．一般半群上模糊同余的深入研究并非易事，近年來(lái)人們主要考慮了逆半群模糊同余的刻畫以及正則半群的模糊同余性質(zhì)等． 本文主要研究幾類富足半群的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，并通過(guò)模糊同余關(guān)系研究了正則半群上的模糊結(jié)構(gòu)理論．具體工作如下： 1.由于郭小江教授在文獻(xiàn)[27]

3、中證明了任何一個(gè)IC擬適當(dāng)半群均是型-W半群．自然地，在廣義正則半群的意義下，借助于Hall's半群Wr、冪等元帶B及兩個(gè)逆半群T和WB／7之間的同態(tài)ψ構(gòu)造出的純整半群H(B，WB／7，妒)，文中證明了織積S=(T，WB／δ，ψ)是一個(gè)型一W半群，其中ψ是從型-A半群T到WB／δ的冪等元分離好同余，且每個(gè)型-W半群均可如此構(gòu)造．接著給出了兩個(gè)型-W半群同構(gòu)的充分必要條件．最后利用好同余證明了在富足半群意義下的滿足正則性條件冪等元提升引理

4、．這一引理正是Lallement，s引理的自然推廣． 2.定義了一類F一富足半群，即對(duì)x∈S，滿足|U*(x)|=1的一類IC-擬適當(dāng)半群，稱之為u-IC擬適當(dāng)半群，結(jié)合富足半群上的自然偏序關(guān)系給出了這類半群的諸多性質(zhì)．利用半群s上的自同構(gòu)幺半群End(S)定義了半直積S×φT，其中φ是從T到End(S)的幺同態(tài)，S是半群，T是幺半群．接下來(lái)證明了當(dāng)B是一個(gè)含恒等元i的帶，M是一個(gè)消去幺半群，則半直積B×φM是一個(gè)u-IC擬適當(dāng)

5、半群，其中西是從M到Aut(B)的幺同態(tài)．最后得到關(guān)于u-IC擬適當(dāng)半群的結(jié)構(gòu)定理．即如上構(gòu)造的半直積是u-IC擬適當(dāng)半群；反之，任何一個(gè)u-IC擬適當(dāng)半群均可如此構(gòu)造． 3.給出了比u-IC擬適當(dāng)半群更廣泛的一類IC富足半群，稱之為a-IC擬適當(dāng)半群．這類半群含有冪等元α1，且α是IC富足半群的中間單位，并滿足|U*α(x)|=1.在討論了這類半群的諸多性質(zhì)之后，證明了一個(gè)含有中間單位Q的IC擬適當(dāng)半群構(gòu)成a-IC擬適當(dāng)半群的

6、充要條件為asa是u-IC擬適當(dāng)半群．由這一充要條件可知當(dāng)中間單位α=1時(shí)，a-IC擬適當(dāng)半群就是前面討論的u-IC擬適當(dāng)半群．結(jié)合富足半群上的偏序關(guān)系討論了a-IC擬適當(dāng)半群中極小消去同余類中最大元的性質(zhì)． 最后，在消去幺半群M和子半群aAut(B)Q之間定義了一映射三，并證明了半直積M×EαAut(B)α是a-IC擬適當(dāng)半群，其中aAut(B)a是自同構(gòu)群Aut(B)的子半群． 4.給出了幾類模糊正則半群的定義，包括

7、模糊逆半群、模糊純整半群及模糊正則子半群和模糊完全正則子半群，并討論了其性質(zhì)；另外，由于同余在半群代數(shù)理論中所起的作用就如同正規(guī)子群在群論、理想在環(huán)論中的地位一樣．而在引入模糊集與模糊關(guān)系之后，在半群中引入模糊等價(jià)關(guān)系及模糊同余關(guān)系．本文主要從正則半群入手，推廣了李勇華等[56】討論的模糊群同余關(guān)系，得到模糊弱半正規(guī)子半群和模糊逆半群同余的理論．并利用同余核的概念得到：若ρ是半群S上的模糊逆半群同余，則同余核Ker(ρ)，簡(jiǎn)記為K(ρ)

8、，便是半群S上的模糊弱半正規(guī)子半群．反之，若μ是半群S上的模糊弱半正規(guī)子半群，定義的ρ：S×S→[0，l]如下： ρ(a，b)=μ(a'b)，(Va,6∈S) 其中a’∈Gμ(a)={c∈S：μ(ac)=1}．則ρμ是S上的一個(gè)模糊逆半群同余． 5．通過(guò)逆半群上模糊集與模糊子半群的概念定義了幾種新的模糊等價(jià)關(guān)系，從而得到了幾種模糊同余關(guān)系．在逆半群s上定義模糊關(guān)系β如下： β(a,b)={min{μ(a)

9、，μ(b))，ifa≠b；/μ(ab-2)，ifa=b. 給出了逆半群上的模糊正規(guī)子半群和模糊商子半群的定義，并討論了它的一些性質(zhì)． 6.半群上的同余對(duì)是由同余核與同余跡構(gòu)成的，且同余對(duì)在研究半群的同余方面起著很重要的作用．Petrich．M討論了完全正則半群上的同余及同余對(duì)的性質(zhì)．作為推廣，本文研究了完全正則半群上模糊同余及其所決定模糊同余對(duì)，并得到完全正則半群上模糊同余與模糊同余對(duì)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．最后，給出了逆半