Zygmund猜想的一些研究.pdf

1、本文分三節(jié)．
　　 第一節(jié)主要介紹了Zygmund猜想及其研究狀況．
　　 Zygmund定理：設(shè)1≤k≤n，在Rn中，B為邊長不超過k個(gè)不同常數(shù)的所有矩形組成的集合，則滿足：其中In+t=max(lnt，0)，MB為相應(yīng)于B的極大算子(具體定義見第一節(jié)綜述)．
　　 Zygmund猜想：對(duì)于1≤k≤n，以及只依賴于t1，t2，．．．tk的非負(fù)函Φφ1Φφ2，．．．，φn，其中ti＞0，i=1，2，．．．k，且φ

2、i對(duì)于tj，1≤j≤k是遞增的，則基B={[Φφ1(ti，．．．tk)，．．．，φn(t1，．．．tk)]，t1＞0，t2＞0，．．．，tk＞0}滿足：其中l(wèi)n+t=max(lnt，0)．
　　 記{x1，x2，．．．xn]是Rn中邊長分別為x1，X2，．．．xn的區(qū)間．令．
　　 Bk={Φφ1(t1，．．．tk)，．．．，φn(t1，．．．tk)]，t1＞0，t2＞0，．．．，tk＞0}，其中φi是非負(fù)的，并且對(duì)每個(gè)

3、變量是遞增的．
　　 微分基的定義：Rn中的微分基B=Ux∈RnB(x)，其中每個(gè)B(x)由Rn中的一些有界具有正測度的可測集組成，且有子族{Bj}()B(x)，使得diamBi→0．
　　 當(dāng)k=n時(shí)由強(qiáng)極大函數(shù)的性質(zhì)知Zygraund猜想成立．當(dāng)k=1時(shí)由H—L極大函數(shù)可證Zygmund猜想成立．我們有對(duì)于1＜k＜n：(1)．k=2情形：
　　 當(dāng)B2={[s，t，φ(s，t)]：s，t＞0}且φ(s，t)為

4、非負(fù)遞增時(shí)，Zygmund猜想成立．具體可參見參考文獻(xiàn)[14]．
　　 當(dāng)B2={[sα1tβ1，sα2tβ2，sα3β3，…，sαntβn]，s，t＞0}時(shí)，若αiβj—αjβi=O，i≠j，αi，βj＞0，則Zygmund猜想成立．具體可參見參考文獻(xiàn)[9]．
　　 當(dāng)B2=Φφ1(s)，…，φ(s)，ψ1(t)，…，ψq(t)，Ф(s，t)]：s，t＞0}，φi，ψi，Ф非負(fù)遞增時(shí)，Zygmund猜想也成立．具體可參

5、見參考文獻(xiàn)[13]．(2)．k=3情形：
　　 當(dāng)B3={Φφ1(s)，ψ1(s)Φφ2(t)，ψ2(t)Φφ3(u)，ψ3(u)]：s，t，u≥0)，φi，ψi滿足φi(s1)≥βiφi(s2)；ψi(t1)≥adψi(t2)，其中s1≥s2，t1≥t2，0＜α，β≤1時(shí)，Zygmund猜想成立．具體可參見參考文獻(xiàn)[13]．(3)．3＜k＜n情形：
　　 當(dāng)B={[s，tφ(s)，tψ(s)，t4，t5，…，tn]：s

6、，t，ti＞0，i=4，…n}時(shí)，Zygmund猜想不成立．具體可參見參考文獻(xiàn)[9]．
　　 當(dāng)B={[s1，t1φ(s1)，t1ψ(s1)，…，sm，tmφ(sm)，tmψ(sm)]：si，ti＞0，i=1…m)時(shí)，Zygmund猜想也不成立．具體可參見參考文獻(xiàn)[9]．
　　 當(dāng)B2={[s，t，sα1tβ1，sα2β2]：s，t＞0}，α1β2—α2β1≠0時(shí)，Zygmund猜想是否成立，及能否找到αi，βi的其它關(guān)

7、系使得Zygmund猜想成立等均未知；對(duì)于當(dāng)Ba={[s，t，u，stu]：s，t，u＞0)時(shí)，Zygmund猜想是否成立也未知；除一些特例外，當(dāng)2＜k＜n時(shí)Zygmund猜想還沒有一般的結(jié)論．此外，在R3與R4中，證明Zygmund猜想都是主要用Vitali型覆蓋引理的方法來證的，可否用其它的覆蓋定理來證，這些問題都是有待于進(jìn)一步研究．本文將在第二、三章中對(duì)這些問題進(jìn)一些探討．
　　 第二節(jié)主要證明了：
　　 命題1：

8、當(dāng)基為Bm+2={s，t，ul，u2，…，um，st]：s，t，ui＞0，i=1，2，…m}時(shí)，Zygmund猜想成立．
　　 證明的主要方法是使用了有關(guān)乘積基極大算子的弱(1，1)型有界性的結(jié)果(即下面的引理1)，并通過適當(dāng)?shù)挠?jì)算得到．
　　 引理1：設(shè)Bi，i=1，2是Rni的一個(gè)微分基，并且設(shè)Hi為Bi的極大算子．假設(shè)Hi滿足下面的弱型估計(jì)：()λ＞0，fi∈Lloc(Rni)，其中φi是[0，∝]→[0，∝]上嚴(yán)

9、格遞增的連續(xù)函數(shù)，且φi(0)=0．如果B是Rn=Rn1+n2的兩個(gè)基B1，B2的乘積基，即：B=[R1×R2：R1∈B1，R2∈B2}，并且H是B的極大算子，則()λ＞0，f∈Lloc(Rn)有
　　 |{x∈Rn：Hf(x)＞λ]|
　　 第三節(jié)證明了：在一定條件下當(dāng)B2={[s，t，φl(s，t)Φφ2(s，t)，．．．，φn—2(s，t)]：s，t＞0}時(shí)，Zygmund猜想成立，即
　　 命題2：設(shè)

10、r>　　 B2=[s，tΦφ1(s，t)，φ(s，t)，．．．，φn—2(s，t)]：s，t＞0}，其中φ(s，t)，i=1，2，．．．n—2，滿足當(dāng)砂1(si，t1)Φφ1(s2，t2)時(shí)，有φi(s1，t1)≥φi(s2，t2)，i=2，3，．．．，n—2，且MB2為其極大函數(shù)，則存在不依賴于λ＞0，和f∈Lloc(Rn)的正常數(shù)C，滿足：
　　 證明的主要想法是利用2型指數(shù)覆蓋的有關(guān)結(jié)果．為了證明B2是2型指數(shù)覆蓋，記B

11、12為所有區(qū)間都是二進(jìn)方體的，則有CMB2≤MB12≤MB2，故不失—般性，我們可假設(shè)在B2中的所有區(qū)間的邊都是二進(jìn)方體的，()R∈B2，記R=I×J×K×L1×L2×．．．×Ln—3，這里I，J，K以及Li，i=1，2，．．．，(n—3)是一維的區(qū)間．設(shè){R}Ni=1是B2的一個(gè)有限集合，并且假設(shè)有長度遞減的序列Li。選擇(R)1=R1，并且假設(shè)(R)1．．．，Rj—1都已經(jīng)被選了，并且讓Rj—1后面的(R)j取{Ri}中的Ri的第一