關(guān)于非線性脈沖微分系統(tǒng)穩(wěn)定性的若干結(jié)果.pdf

1、本文研究如下三類脈沖微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性：(Ⅰ)非線性脈沖控制系統(tǒng){x'(t)=f(t,x,u),t≥t0,t≠tk,x(tk+)=x(tk)+Ik(x,u),k=1,2,…,x(t0+)=x0,其中f∈C[R+×Rn×Rm,Rn],Ik∈C[Rn×Rm,Rn]，u為給定可控集Ω中的任一控制向量，t0＜t1＜t2＜…＜tk＜∞為脈沖時刻，且tk→∞，k→∞.(Ⅱ)脈沖混合微分系統(tǒng){x'=f(t,x,λk(xk)),t∈(tk,tk+1),x

2、(tk+)=xk+,xk+=xk+Ik(xk),k=1,2,…,xk=x(tk),I0(x0)≡0,x(t0+)=x0,其中f∈C[R+×Rn×Rm,Rn],Ik∈C[Rn,Rn],λk∈C[Rn,Rm],t0＜t1＜t2＜…＜tk＜∞為脈沖時刻，且tk→∞，k→∞.(Ⅲ)脈沖時滯微分系統(tǒng){x'(t)=f(t,x(t),x(t-τ(t))),t≥t0,t≠τk,x(τk)=x(τk-)+Ik(x(τk-)),k=1,2…,其中f∈C[R

3、+×Rn×Rn，Rn]，Ik∈C[Rn，Rn]，t-τ(t)≥0，τ(t)≥0，0≤t0≤τ1＜τ2＜…＜τk＜∞為脈沖時刻，且tk→∞，k→∞.得到了脈沖控制系統(tǒng)(Ⅰ)關(guān)于兩個測度的穩(wěn)定性和有界性，脈沖混合微分系統(tǒng)(Ⅱ)零解的嚴格穩(wěn)定性，及脈沖時滯微分系統(tǒng)(Ⅲ)關(guān)于兩個測度的穩(wěn)定性結(jié)果.并分別給出例子說明定理的應(yīng)用. 近年來脈沖控制問題引起了許多研究者的興趣.在大量實際應(yīng)用中都存在控制問題，如衛(wèi)星的軌道運行，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化控制

4、，金融市場的資本供求等等.許多情況下，脈沖控制和連續(xù)控制需要相輔相成才能對系統(tǒng)產(chǎn)生較好的控制效果.在控制理論中，連續(xù)控制體現(xiàn)在系統(tǒng)的狀態(tài)表達式右端含有一個滿足一定條件的控制向量，而且在脈沖函數(shù)中也含有控制向量.脈沖控制微分系統(tǒng)就描述了這類脈沖控制問題.目前，關(guān)于非線性脈沖控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究還是比較少的，而且都只用Lyapunov函數(shù)的比較原理討論其穩(wěn)定性質(zhì)[5],[6],[8],[33]，并沒有涉及到其他方法.本文第一章在比較原理的基

5、礎(chǔ)上，利用變分Lyapunov方法[7]研究了非線性脈沖控制系統(tǒng)(Ⅰ)關(guān)于兩個測度的穩(wěn)定性，實際穩(wěn)定性及有界性，建立了新的變分比較原理和若干比較結(jié)果.和以往不同，本章考慮了不帶控制的常微分系統(tǒng)，將脈沖控制系統(tǒng)(Ⅰ)看作它的擾動系統(tǒng)，而且，文中的Lyapunov函數(shù)含有此常微分系統(tǒng)的解.通過本章定理，我們可以由常微分系統(tǒng)和比較系統(tǒng)兩者的相應(yīng)穩(wěn)定性質(zhì)得到脈沖控制系統(tǒng)(Ⅰ)的穩(wěn)定性質(zhì).變分Lyapunov方法的使用，使得已有結(jié)果可看作本文結(jié)果

6、的特殊情況. 脈沖混合微分系統(tǒng)是一種可變結(jié)構(gòu)的脈沖微分系統(tǒng)，它描述了許多實際中的物理模型，近年來關(guān)于其穩(wěn)定性的研究已有不少成果[10]，[11]，[31]，[33].我們知道，一個微分系統(tǒng)平凡解的Lyapunov穩(wěn)定并不能排除其漸近穩(wěn)定的可能，而且，如果平凡解是漸近穩(wěn)定的，只是表明充分靠近平凡解的非零解是趨于零的，并不能刻劃這些解的衰減率，即它是如何趨于零的.換句話說，這些穩(wěn)定性概念只是對解的單邊估計，都是不嚴格的.那么，自然就

7、希望對解給出下界的估計，即與平凡解的接近程度.這種概念，稱為管狀區(qū)域的穩(wěn)定性，或嚴格穩(wěn)定性.目前，對微分系統(tǒng)嚴格穩(wěn)定性的研究并不多見[12]，[13]，[14]，尤其是對脈沖微分系統(tǒng).本文第二章分別用Lyapunov直接方法和比較原理研究了脈沖混合系統(tǒng)(Ⅱ)零解的嚴格穩(wěn)定性，得到了若干充分條件. 近年來，具有時滯的脈沖微分系統(tǒng)定性理論的研究逐漸成為熱點，特別是具有界滯量的脈沖微分系統(tǒng)，已有一些成果[18]-[26].在以往結(jié)果中

8、，系統(tǒng)中的時滯往往具有一個固定的上界，從而對其穩(wěn)定性的研究形成一套方法，并出現(xiàn)了一些漸近穩(wěn)定定理.而對具有變時滯的脈沖微分系統(tǒng)的定性研究還比較少，特別是對其穩(wěn)定性的研究，所見結(jié)果并不多.本文第三章用Lyapunov函數(shù)結(jié)合Razumikhin技巧，討論了具有變時滯的脈沖微分系統(tǒng)(Ⅲ)關(guān)于兩個測度的穩(wěn)定性，建立了若干充分條件.由于文中對系統(tǒng)的時滯τ(t)沒有較強限制，可以趨于∞，故定理中的Razumikhin型條件不同于以往.而且，本章多