2023年全國碩士研究生考試考研英語一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁
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文檔簡介

1、1925年,R.Nevanlinna引入亞純函數(shù)的特征函數(shù)并給出了兩個基本定理,這建立了亞純函數(shù)的Nevanlinna理論.半個多世紀(jì),Nevanlinna理論得到了很好的發(fā)展并應(yīng)用于復(fù)微分方程和亞純函數(shù)的唯一性理論的研究.微分方程的復(fù)振蕩理論是邊緣領(lǐng)域交叉的學(xué)科,是應(yīng)用復(fù)分析的理論和方法來研究微分方程.自從s.Bank和I Laine在上世紀(jì)八十年代得到了一些原始結(jié)果之后,復(fù)振蕩理論非常流行.許多數(shù)學(xué)家都曾進(jìn)行了深入的研究并長期關(guān)注它

2、,其中中國高仕安教授和陳宗煊教授做出了很大的貢獻(xiàn)并推動了這領(lǐng)域的研究.函數(shù)的唯—性理論是國際上最近二十多年一直熱門的研究課題.處理分擔(dān)值的亞純函數(shù)的唯—性理論的研究是始于R.Nevanlinna的研究工作,他開創(chuàng)了唯—性理論的研究.自次以后,許多數(shù)學(xué)家得到了很多優(yōu)美的結(jié)果.中國的儀洪勛教授在這領(lǐng)域研究了二十多年,得到了很多有益結(jié)果,為函數(shù)唯—性理論的發(fā)展做出很大的貢獻(xiàn). 本敝中,我們介紹作者在儀洪勛教授指導(dǎo)下對微分方程的復(fù)振蕩理

3、論和函數(shù)唯—性理論兩個領(lǐng)域所做的研究工作.全文分五章. 第1章,我們簡要介紹Nevanlinna理論(見[35],[75],[81],[471)和、vinman-Valiron理論(見[40],[47])的基本結(jié)果,它們是研究復(fù)微分方程和亞純函數(shù)唯—性的重要工具. 第2章,我們研究平面c上迭代級亞純系數(shù)的線性微分方程的復(fù)振蕩理論,推廣和改進(jìn)了[24],[45],[20],[12]等的一些結(jié)果.現(xiàn)在給出我們主要結(jié)果中的三個

4、定理.定理0.0.1.設(shè)B<,0>…,B<,k-1>是亞純函數(shù)使得i(B<,0>=p(0(B<,j>):j=1,…,K-1}<σ<,p>(B<,0>)=:σ和max{λ<,1>-(1/B<,j>):j=0,1,…,k-1}<σ<,1>(B<,0>).的每個亞純解f≠O滿足i(f)=p+1和σ<,p+1>(f)=σ<,p>(B<,0>).定理0.0.2.設(shè)B<,0>….B<,k-1>是亞純函數(shù)使得則方程i(B

5、<,s>)=p(0(B<,j>):j≠s}<σ<,p>(B<,s>):σmax{λ<,1>(1/B<,j>):j=0,1,…,K-1}<σ<,1>(B<,s>).f<'(k)>+B<,k-1>,f<'(k-1)>+…+B<,s>f<'(s)>+…+B<,0>f,=0 (0.0.2)的每個超越亞純解f滿足p≤ i(f)≤p+1和σ<,p+1>(f)≤σ<,P>(B<,s>)≤σ<'p>

6、(f).進(jìn)一步,若方程(2.1.4)所有解是亞純函數(shù),則至少存在一個亞純解f<,1>滿足i(f<,1>)=p+1和σ<,p+1>(f<,1>)=σ<,p>(B<,s>).定理0.0.3.設(shè)B<,0>,B<,1>,…,B<,k-1>是亞純函數(shù).存在某個B<,s>(0≤s≤k-1)使得則方程(0.0.2)的所有超越亞純解f滿足i(f)=2和σ2(f)=σ(B<,s>),且方程(0.0.2)的每個非超越的亞純解,是次數(shù)為deg(f)≤s-1的

7、多項(xiàng)式. 第3章,我們考慮單位圓內(nèi)線性微分方程的復(fù)振蕩理論.第一節(jié)中,我們研究方程,f"+A(z)=0的復(fù)振蕩,其中系數(shù)A(z)在單位圓內(nèi)解析.第二節(jié)中,我們介紹單位圓內(nèi)有窮級解的微分方程的一些簡單結(jié)果.第三節(jié)中,我們研究單位圓內(nèi)一類高階微分方程的復(fù)振蕩.最后一節(jié),我們考慮了迭代級系數(shù)的高階微分方程.這里我們給出本章的第一節(jié)中主要結(jié)果. 定理0.0.4.設(shè)A(z)是單位圓內(nèi)一個不允許的解析函數(shù).假設(shè)f<,1>和f<,2>

8、是方程f"+A(z)f=0 (0.0.3)的兩個線性無關(guān)解,并設(shè)E=f<,1>f<,2>,則定理0.0.5.設(shè)A(z)是單位圓內(nèi)一個允許解析函數(shù)則方程(0.0.3)的所有非零解,都.是無窮級且滿足σ(A)≤σ<,2>(f)=σ<,M>(A). 定理0.0.6.設(shè)A(z)是單位圓內(nèi)一個允許解析函數(shù),f<,1>和f<,2>是方程(0.0.3)的兩個線性無關(guān)解,并設(shè)E=f<,1>f<,2>,則若入(E)<∞,則對于所有形如f=c<,1

9、>f<,1>+c<,2>f<,2>的解都滿足入(f)=∞,其中cM<,1>≠0和c<,2>≠0. 定理0.0.7.設(shè)A(z)是單位圓內(nèi)一個允許解析函數(shù).若λ(A)<σ(A),則方程(0.0.3)所有的非零解,都滿足σ(A)≤λ(f). 第4章,我們研究截?cái)嗟姆謸?dān)小函數(shù)的亞純函數(shù)的重值和唯一性并得到了一個更一般的結(jié)果,改進(jìn)和推廣了R.Nevanlinna[54],Li-Qiao[50],‘Yao[77],Yi [79][8

10、0],及Thai-Tan[6]等的結(jié)果. 定理0.0.1.0。設(shè)f<,1>和f<,2>是C上兩個非常數(shù)亞純函數(shù),α<,j>=1,2…,q)是R(f<,1>)nR(f<,2>)中q個判別的亞純函數(shù),并設(shè)k<,j>(j=1,2…,q)是正整數(shù)或∞且滿足k<,1>≥k<,2>≥…≥k<,q>. m和n是{1,2....,q}中的正整數(shù),α是R(f<,i>)(i=1,2)中一個任意亞純函數(shù).若 min{A<,1>,A<,2>}≥

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