微分方程的復(fù)振蕩理論與函數(shù)的唯一性理論.pdf

1、1925年，R．Nevanlinna引入亞純函數(shù)的特征函數(shù)并給出了兩個(gè)基本定理，這建立了亞純函數(shù)的Nevanlinna理論．半個(gè)多世紀(jì)，Nevanlinna理論得到了很好的發(fā)展并應(yīng)用于復(fù)微分方程和亞純函數(shù)的唯一性理論的研究．微分方程的復(fù)振蕩理論是邊緣領(lǐng)域交叉的學(xué)科，是應(yīng)用復(fù)分析的理論和方法來(lái)研究微分方程．自從s.Bank和I Laine在上世紀(jì)八十年代得到了一些原始結(jié)果之后，復(fù)振蕩理論非常流行．許多數(shù)學(xué)家都曾進(jìn)行了深入的研究并長(zhǎng)期關(guān)注它

2、，其中中國(guó)高仕安教授和陳宗煊教授做出了很大的貢獻(xiàn)并推動(dòng)了這領(lǐng)域的研究．函數(shù)的唯—性理論是國(guó)際上最近二十多年一直熱門(mén)的研究課題．處理分擔(dān)值的亞純函數(shù)的唯—性理論的研究是始于R.Nevanlinna的研究工作，他開(kāi)創(chuàng)了唯—性理論的研究．自次以后，許多數(shù)學(xué)家得到了很多優(yōu)美的結(jié)果．中國(guó)的儀洪勛教授在這領(lǐng)域研究了二十多年，得到了很多有益結(jié)果，為函數(shù)唯—性理論的發(fā)展做出很大的貢獻(xiàn)． 本敝中，我們介紹作者在儀洪勛教授指導(dǎo)下對(duì)微分方程的復(fù)振蕩理

3、論和函數(shù)唯—性理論兩個(gè)領(lǐng)域所做的研究工作．全文分五章． 第1章，我們簡(jiǎn)要介紹Nevanlinna理論(見(jiàn)[35]，[75]，[81]，[471)和、vinman-Valiron理論(見(jiàn)[40]，[47])的基本結(jié)果，它們是研究復(fù)微分方程和亞純函數(shù)唯—性的重要工具． 第2章，我們研究平面c上迭代級(jí)亞純系數(shù)的線(xiàn)性微分方程的復(fù)振蕩理論，推廣和改進(jìn)了[24],[45]，[20]，[12]等的一些結(jié)果．現(xiàn)在給出我們主要結(jié)果中的三個(gè)

4、定理．定理0.0.1．設(shè)B<,0>…，B<,k-1>是亞純函數(shù)使得i(B<,0>=p(0(B<,j>)：j=1，…，K-1}<σ<,p>(B<,0>)=：σ和max{λ<,1>-(1/B<,j>)：j=0，1，…，k-1}<σ<,1>(B<,0>).的每個(gè)亞純解f≠O滿(mǎn)足i(f)=p+1和σ<,p+1>(f)=σ<,p>(B<,0>)．定理0.0.2．設(shè)B<,0>…．B<,k-1>是亞純函數(shù)使得則方程i(B

5、<,s>)=p(0(B<,j>)：j≠s}<σ<,p>(B<,s>)：σmax{λ<,1>(1/B<,j>):j=0,1，…，K-1}<σ<,1>(B<,s>).f<'(k)>+B<,k-1>，f<'(k-1)>+…+B<,s>f<'(s)>+…+B<,0>f，=0 (0.0.2)的每個(gè)超越亞純解f滿(mǎn)足p≤ i(f)≤p+1和σ<,p+1>(f)≤σ<,P>(B<,s>)≤σ<'p>

6、(f)．進(jìn)一步，若方程(2．1．4)所有解是亞純函數(shù)，則至少存在一個(gè)亞純解f<,1>滿(mǎn)足i(f<,1>)=p+1和σ<,p＋1>(f<,1>)=σ<,p>(B<,s>)．定理0.0.3．設(shè)B<,0>，B<,1>，…，B<,k-1>是亞純函數(shù)．存在某個(gè)B<,s>(0≤s≤k-1)使得則方程(0.0．2)的所有超越亞純解f滿(mǎn)足i(f)=2和σ2(f)=σ(B<,s>)，且方程(0.0．2)的每個(gè)非超越的亞純解，是次數(shù)為deg(f)≤s-1的

7、多項(xiàng)式． 第3章，我們考慮單位圓內(nèi)線(xiàn)性微分方程的復(fù)振蕩理論．第一節(jié)中，我們研究方程，f"+A(z)=0的復(fù)振蕩，其中系數(shù)A(z)在單位圓內(nèi)解析．第二節(jié)中，我們介紹單位圓內(nèi)有窮級(jí)解的微分方程的一些簡(jiǎn)單結(jié)果．第三節(jié)中，我們研究單位圓內(nèi)一類(lèi)高階微分方程的復(fù)振蕩．最后一節(jié)，我們考慮了迭代級(jí)系數(shù)的高階微分方程．這里我們給出本章的第一節(jié)中主要結(jié)果． 定理0.0．4．設(shè)A(z)是單位圓內(nèi)一個(gè)不允許的解析函數(shù)．假設(shè)f<,1>和f<,2>

8、是方程f"+A(z)f=0 (0.0．3)的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解，并設(shè)E=f<,1>f<,2>，則定理0.0．5．設(shè)A(z)是單位圓內(nèi)一個(gè)允許解析函數(shù)則方程(0.0．3)的所有非零解，都．是無(wú)窮級(jí)且滿(mǎn)足σ(A)≤σ<,2>(f)=σ<,M>(A)． 定理0.0．6．設(shè)A(z)是單位圓內(nèi)一個(gè)允許解析函數(shù)，f<,1>和f<,2>是方程(0.0．3)的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解，并設(shè)E=f<,1>f<,2>，則若入(E)<∞，則對(duì)于所有形如f=c<,1

9、>f<,1>+c<,2>f<,2>的解都滿(mǎn)足入(f)=∞，其中cM<,1>≠0和c<,2>≠0． 定理0.0．7．設(shè)A(z)是單位圓內(nèi)一個(gè)允許解析函數(shù)．若λ(A)<σ(A)，則方程(0.0．3)所有的非零解，都滿(mǎn)足σ(A)≤λ(f)． 第4章，我們研究截?cái)嗟姆謸?dān)小函數(shù)的亞純函數(shù)的重值和唯一性并得到了一個(gè)更一般的結(jié)果，改進(jìn)和推廣了R．Nevanlinna[54]，Li-Qiao[50]，‘Yao[77]，Yi [79][8

10、0]，及Thai-Tan[6]等的結(jié)果． 定理0.0．1．0。設(shè)f<,1>和f<,2>是C上兩個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)，α<,j>=1，2…，q)是R(f<,1>)nR(f<,2>)中q個(gè)判別的亞純函數(shù)，并設(shè)k<,j>(j=1，2…，q)是正整數(shù)或∞且滿(mǎn)足k<,1>≥k<,2>≥…≥k<,q>． m和n是{1，2....，q}中的正整數(shù)，α是R(f<,i>)(i=1，2)中一個(gè)任意亞純函數(shù)．若 min{A<,1>，A<,2>}≥