非對稱GMC設(shè)計和Box-Behnken設(shè)計的構(gòu)造理論.pdf

1、試驗設(shè)計在科學(xué)研究和實踐中都起著重要的作用，它已廣泛應(yīng)用于農(nóng)業(yè)、化工、醫(yī)藥以及一些高科技產(chǎn)品的研發(fā)與制造．
　　 Wu and Hamada(2000)將試驗的問題依據(jù)其研究對象分為五大類：(i)處理比較，(ii）變量篩選，(iii)響應(yīng)曲面探索，(iv)系統(tǒng)優(yōu)化，(v)系統(tǒng)穩(wěn)健性。Mukerjee andWu(2006)進一步總結(jié)指出，這些問題除了單因素和兩因素的處理比較外，都涉及多個輸入變量對試驗輸出結(jié)果的效應(yīng)研究。這些輸入

2、變量稱為因子，而這樣的試驗稱為因析試驗。為了探究因子變化對響應(yīng)的作用效應(yīng)，每個因子必須有兩個或兩個以上的設(shè)置，這些設(shè)置稱為因子的水平，不同因子的水平組合稱為處理組合，在工業(yè)試驗中一個處理組合也稱為一條運行。因析設(shè)計考慮的是因析試驗中處理組合的選擇和安排，包含所有處理組合的設(shè)計稱為完全因析設(shè)計．由于處理組合個數(shù)隨著因子個數(shù)或因子水平數(shù)的增多而指數(shù)地增多，完全因析設(shè)計的試驗在實際中往往不可行，因此在實踐中通常選擇其中某一部分水平組合進行試驗

3、，稱為部分因析試驗。部分因析設(shè)計如果能夠通過定義關(guān)系來表達則稱為正規(guī)設(shè)計．在因析設(shè)計中，稱所有因子的水平都相等的設(shè)計為對稱設(shè)計，否則稱為非對稱設(shè)計或混合水平設(shè)計．
　　 部分因析設(shè)計在試驗中得到廣泛應(yīng)用，而用最優(yōu)設(shè)計可以獲得巨大經(jīng)濟效益，因而如何選擇最優(yōu)設(shè)計是非常重要的。在選擇最優(yōu)部分因析試驗時需要考慮的一個問題是，資源的限制導(dǎo)致試驗次數(shù)的限制，如何利用有限的資源盡可能多地來估計期望的因子與它們之間的交互作用及其有關(guān)的模型。本文

4、研究兩類設(shè)計的構(gòu)造問題：第一部分是研究在一般最小低階混雜(GMC)準(zhǔn)則下非對稱最優(yōu)設(shè)計的構(gòu)造；第二部分是研究盡可能少試驗次數(shù)的設(shè)計對二次響應(yīng)曲面模型進行估計。
　　 本文第一部分主要研究兩水平與四水平混合設(shè)計的情形。兩水平正規(guī)部分因析設(shè)計多年來一直受到人們的關(guān)注，由于它有簡單的別名結(jié)構(gòu)，即任何兩個效應(yīng)要么正交要么完全別名?；旌纤皆O(shè)計由于實際的用處受到人們的廣泛重視。當(dāng)一個試驗有n個兩水平因子和m個四水平因子時稱為2n4m混合水

5、平設(shè)計（簡稱2n4m設(shè)計）。2n4m設(shè)計中的四水平因子可以通過兩水平因子替代得到，這種方法最早由Addelman(1962)正式提出，具體替代的準(zhǔn)則是任何一個四水平的因子都可以通過三個兩水平因子組合得到．隨后 Wu(1989)將 Addelman的方法拓展，Wu，Zhang and Wang(1992)將此方法進一步推廣到一般的情況。
　　 最早判斷因析設(shè)計最優(yōu)性的準(zhǔn)則是1961年 Box和 Hunter針對兩水平正規(guī)設(shè)計提出的

6、最大分辨度(MR)準(zhǔn)則。不同的設(shè)計可能含有相同的最大分辨度，為了進一步區(qū)分它們的優(yōu)劣，F(xiàn)ries and Hunter(1980)提出了最小低階混雜(MA)準(zhǔn)則．目前人們已經(jīng)將兩水平正規(guī)設(shè)計的MR和MA準(zhǔn)則推廣到兩水平與四水平混合的情形。值得注意的是MR和MA準(zhǔn)則都是從字長型(WLP)出發(fā)的，而字長型只是反應(yīng)效應(yīng)之間的一種平均混雜性質(zhì)，因而從字長型出發(fā)的MR和MA準(zhǔn)則求得的最優(yōu)設(shè)計，只是試驗者對試驗因子重要性順序無任何先驗信息時最適用的

7、。而實際中大多數(shù)試驗中試驗者具有這方面的先驗信息，那么在此情況下如何選擇最優(yōu)設(shè)計就成為迫切需要解決的問題。為了解決此類問題，Zhang，Li，Zhao and Ai(2008)針對兩水平正規(guī)設(shè)計提出了不同于WLP的別名效應(yīng)數(shù)目型(AENP)來分類設(shè)計．一個設(shè)計的AENP包含了所有效應(yīng)與其他效應(yīng)以不同嚴重程度別名的基本信息，相比基于字長型準(zhǔn)則的分類設(shè)計，它更充分、更直接地反映了設(shè)計中不同階因子效應(yīng)之間的混雜關(guān)系。另外，其他準(zhǔn)則都可以通過表

8、示為AENP的函數(shù)而得到。同時基于AENP，他們提出了一般最小低階混雜(GMC)準(zhǔn)則，該準(zhǔn)則下的最優(yōu)設(shè)計稱為GMC設(shè)計。新的準(zhǔn)則比其他準(zhǔn)則更精確客觀地體現(xiàn)了效應(yīng)等級原則。目前AENP和GMC準(zhǔn)則逐漸發(fā)展完善起來，形成了GMC理論體系。它統(tǒng)一了現(xiàn)有各種準(zhǔn)則的表達和助于深刻揭示各準(zhǔn)則內(nèi)在性質(zhì)和關(guān)系，同時基于AENP可以產(chǎn)生其他各種在實際中有用的最優(yōu)準(zhǔn)則和設(shè)計．在這種理論體系下已經(jīng)有了大量的研究成果，例如Zhang and Mukerjee(

9、2009a，b)對GMC準(zhǔn)則在任意素數(shù)或素數(shù)次冪水平下的刻畫．Li，Zhao and Zhang(2011)構(gòu)造了5N/16+1≤n≤N-1情形下的正規(guī)2n-k GMC設(shè)計(N=2n-k是處理組合數(shù)，n為因子數(shù)目)。他們得到的結(jié)論非常直觀：對于任何滿足約束條件的因子數(shù)n，其對應(yīng)的GMC設(shè)計由Hq的后n列組成，其中 Hq是按 Yates序排列的2（N-1）-[（N-1）-q]飽和設(shè)計．Zhang and Cheng(2010)以及Chen

10、g and Zhang(2010)在Doubling方法、SOS設(shè)計和MaxC2設(shè)計的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了N/4+1≤n≤5N/16的兩水平GMC設(shè)計。構(gòu)造的結(jié)果同樣簡單：對應(yīng)的GMC設(shè)計是一個變換的Yates序（叫做RC Yates序）的Hq的后n列組成．Zhang，Wei and Li(2010)提出了區(qū)組別名效應(yīng)型(B-AENP)和區(qū)組一般最小低階混雜準(zhǔn)則(B-GMC)來選擇最優(yōu)區(qū)組設(shè)計．他們得到試驗次數(shù)為16，32，64的區(qū)組一般最小

11、低階混雜準(zhǔn)則設(shè)計的結(jié)果，明顯優(yōu)于MA準(zhǔn)則下的最優(yōu)設(shè)計．
　　 本文第一部分在兩水平正規(guī)GMC設(shè)計構(gòu)造的基礎(chǔ)上考慮非對稱的GMC設(shè)計，提出非對稱GMC準(zhǔn)則，并且得到了因子數(shù)n滿足N/4+l≤n+2

12、數(shù)n滿足5N/16+1≤n+2　　 本文第二部分是對二次響應(yīng)曲面模型進行估計。對于實際收集到的數(shù)據(jù)，人們通常采用一些數(shù)學(xué)方

13、法去分析，比較流行的是多項式逼近法。它首先從一階模型著手，如果試驗的范圍已經(jīng)最優(yōu)，為了得到更精確的逼近，需要再再追加一些試驗次數(shù)，利用二階模型進行擬合等等。對于二次響應(yīng)曲面模型，常用的有中心組合法(簡稱CCD，Boxand Wilson，1951)和Box-Behnken設(shè)計(Box and Betnken，1958)，這兩種設(shè)計具有許多優(yōu)良的性質(zhì)，比如正交性和高效性，同時也存在一些問題，比如隨著因子個數(shù)的增加試驗次數(shù)會迅速增加。Dra

14、per和Lin等人做了大量工作來減少CCD設(shè)計的試驗次數(shù)，Box-Behnken設(shè)計近些年來受到了不少關(guān)注，如Whittinghill(1998)，Nguyenand Borkowski(2008)，但很少有關(guān)于減少試驗次數(shù)的研究。本文的目的就是在保持Box-Behnken設(shè)計良好性質(zhì)的前提下來減少試驗次數(shù)。
　　 Box-Behnken設(shè)計是將兩水平的因析設(shè)計與不完全區(qū)組設(shè)計通過特別的方式結(jié)合，再加上兩水平的均值作為中心點得到

15、。在這一部分，我們構(gòu)造了一種新的Box-Behnken設(shè)計，它通過平衡不完全區(qū)組設(shè)計(BIBD)或是部分平衡不完全區(qū)組設(shè)計(PBIBD)進行構(gòu)造，能以較高的效率和較少的試驗次數(shù)來擬合二次響應(yīng)曲面模型。區(qū)組中處理替代的方法一部分采用23-1的設(shè)計，一部分采用完全設(shè)計，這樣原有Box-Behnken設(shè)計的正交性很好的保留下來。我們利用一種新的算法將參數(shù)分組，通過計算組瞬時矩陣(GMM)將模型的參數(shù)估計出來，從而大大減少了計算量，當(dāng)因子數(shù)目很