非對(duì)稱GMC設(shè)計(jì)和Box-Behnken設(shè)計(jì)的構(gòu)造理論.pdf

1、試驗(yàn)設(shè)計(jì)在科學(xué)研究和實(shí)踐中都起著重要的作用，它已廣泛應(yīng)用于農(nóng)業(yè)、化工、醫(yī)藥以及一些高科技產(chǎn)品的研發(fā)與制造．
　　 Wu and Hamada(2000)將試驗(yàn)的問題依據(jù)其研究對(duì)象分為五大類：(i)處理比較，(ii）變量篩選，(iii)響應(yīng)曲面探索，(iv)系統(tǒng)優(yōu)化，(v)系統(tǒng)穩(wěn)健性。Mukerjee andWu(2006)進(jìn)一步總結(jié)指出，這些問題除了單因素和兩因素的處理比較外，都涉及多個(gè)輸入變量對(duì)試驗(yàn)輸出結(jié)果的效應(yīng)研究。這些輸入

2、變量稱為因子，而這樣的試驗(yàn)稱為因析試驗(yàn)。為了探究因子變化對(duì)響應(yīng)的作用效應(yīng)，每個(gè)因子必須有兩個(gè)或兩個(gè)以上的設(shè)置，這些設(shè)置稱為因子的水平，不同因子的水平組合稱為處理組合，在工業(yè)試驗(yàn)中一個(gè)處理組合也稱為一條運(yùn)行。因析設(shè)計(jì)考慮的是因析試驗(yàn)中處理組合的選擇和安排，包含所有處理組合的設(shè)計(jì)稱為完全因析設(shè)計(jì)．由于處理組合個(gè)數(shù)隨著因子個(gè)數(shù)或因子水平數(shù)的增多而指數(shù)地增多，完全因析設(shè)計(jì)的試驗(yàn)在實(shí)際中往往不可行，因此在實(shí)踐中通常選擇其中某一部分水平組合進(jìn)行試驗(yàn)

3、，稱為部分因析試驗(yàn)。部分因析設(shè)計(jì)如果能夠通過定義關(guān)系來表達(dá)則稱為正規(guī)設(shè)計(jì)．在因析設(shè)計(jì)中，稱所有因子的水平都相等的設(shè)計(jì)為對(duì)稱設(shè)計(jì)，否則稱為非對(duì)稱設(shè)計(jì)或混合水平設(shè)計(jì)．
　　 部分因析設(shè)計(jì)在試驗(yàn)中得到廣泛應(yīng)用，而用最優(yōu)設(shè)計(jì)可以獲得巨大經(jīng)濟(jì)效益，因而如何選擇最優(yōu)設(shè)計(jì)是非常重要的。在選擇最優(yōu)部分因析試驗(yàn)時(shí)需要考慮的一個(gè)問題是，資源的限制導(dǎo)致試驗(yàn)次數(shù)的限制，如何利用有限的資源盡可能多地來估計(jì)期望的因子與它們之間的交互作用及其有關(guān)的模型。本文

4、研究?jī)深愒O(shè)計(jì)的構(gòu)造問題：第一部分是研究在一般最小低階混雜(GMC)準(zhǔn)則下非對(duì)稱最優(yōu)設(shè)計(jì)的構(gòu)造；第二部分是研究盡可能少試驗(yàn)次數(shù)的設(shè)計(jì)對(duì)二次響應(yīng)曲面模型進(jìn)行估計(jì)。
　　 本文第一部分主要研究?jī)伤脚c四水平混合設(shè)計(jì)的情形。兩水平正規(guī)部分因析設(shè)計(jì)多年來一直受到人們的關(guān)注，由于它有簡(jiǎn)單的別名結(jié)構(gòu)，即任何兩個(gè)效應(yīng)要么正交要么完全別名。混合水平設(shè)計(jì)由于實(shí)際的用處受到人們的廣泛重視。當(dāng)一個(gè)試驗(yàn)有n個(gè)兩水平因子和m個(gè)四水平因子時(shí)稱為2n4m混合水

5、平設(shè)計(jì)（簡(jiǎn)稱2n4m設(shè)計(jì)）。2n4m設(shè)計(jì)中的四水平因子可以通過兩水平因子替代得到，這種方法最早由Addelman(1962)正式提出，具體替代的準(zhǔn)則是任何一個(gè)四水平的因子都可以通過三個(gè)兩水平因子組合得到．隨后 Wu(1989)將 Addelman的方法拓展，Wu，Zhang and Wang(1992)將此方法進(jìn)一步推廣到一般的情況。
　　 最早判斷因析設(shè)計(jì)最優(yōu)性的準(zhǔn)則是1961年 Box和 Hunter針對(duì)兩水平正規(guī)設(shè)計(jì)提出的

6、最大分辨度(MR)準(zhǔn)則。不同的設(shè)計(jì)可能含有相同的最大分辨度，為了進(jìn)一步區(qū)分它們的優(yōu)劣，F(xiàn)ries and Hunter(1980)提出了最小低階混雜(MA)準(zhǔn)則．目前人們已經(jīng)將兩水平正規(guī)設(shè)計(jì)的MR和MA準(zhǔn)則推廣到兩水平與四水平混合的情形。值得注意的是MR和MA準(zhǔn)則都是從字長(zhǎng)型(WLP)出發(fā)的，而字長(zhǎng)型只是反應(yīng)效應(yīng)之間的一種平均混雜性質(zhì)，因而從字長(zhǎng)型出發(fā)的MR和MA準(zhǔn)則求得的最優(yōu)設(shè)計(jì)，只是試驗(yàn)者對(duì)試驗(yàn)因子重要性順序無任何先驗(yàn)信息時(shí)最適用的

7、。而實(shí)際中大多數(shù)試驗(yàn)中試驗(yàn)者具有這方面的先驗(yàn)信息，那么在此情況下如何選擇最優(yōu)設(shè)計(jì)就成為迫切需要解決的問題。為了解決此類問題，Zhang，Li，Zhao and Ai(2008)針對(duì)兩水平正規(guī)設(shè)計(jì)提出了不同于WLP的別名效應(yīng)數(shù)目型(AENP)來分類設(shè)計(jì)．一個(gè)設(shè)計(jì)的AENP包含了所有效應(yīng)與其他效應(yīng)以不同嚴(yán)重程度別名的基本信息，相比基于字長(zhǎng)型準(zhǔn)則的分類設(shè)計(jì)，它更充分、更直接地反映了設(shè)計(jì)中不同階因子效應(yīng)之間的混雜關(guān)系。另外，其他準(zhǔn)則都可以通過表

8、示為AENP的函數(shù)而得到。同時(shí)基于AENP，他們提出了一般最小低階混雜(GMC)準(zhǔn)則，該準(zhǔn)則下的最優(yōu)設(shè)計(jì)稱為GMC設(shè)計(jì)。新的準(zhǔn)則比其他準(zhǔn)則更精確客觀地體現(xiàn)了效應(yīng)等級(jí)原則。目前AENP和GMC準(zhǔn)則逐漸發(fā)展完善起來，形成了GMC理論體系。它統(tǒng)一了現(xiàn)有各種準(zhǔn)則的表達(dá)和助于深刻揭示各準(zhǔn)則內(nèi)在性質(zhì)和關(guān)系，同時(shí)基于AENP可以產(chǎn)生其他各種在實(shí)際中有用的最優(yōu)準(zhǔn)則和設(shè)計(jì)．在這種理論體系下已經(jīng)有了大量的研究成果，例如Zhang and Mukerjee(

9、2009a，b)對(duì)GMC準(zhǔn)則在任意素?cái)?shù)或素?cái)?shù)次冪水平下的刻畫．Li，Zhao and Zhang(2011)構(gòu)造了5N/16+1≤n≤N-1情形下的正規(guī)2n-k GMC設(shè)計(jì)(N=2n-k是處理組合數(shù)，n為因子數(shù)目)。他們得到的結(jié)論非常直觀：對(duì)于任何滿足約束條件的因子數(shù)n，其對(duì)應(yīng)的GMC設(shè)計(jì)由Hq的后n列組成，其中 Hq是按 Yates序排列的2（N-1）-[（N-1）-q]飽和設(shè)計(jì)．Zhang and Cheng(2010)以及Chen

10、g and Zhang(2010)在Doubling方法、SOS設(shè)計(jì)和MaxC2設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了N/4+1≤n≤5N/16的兩水平GMC設(shè)計(jì)。構(gòu)造的結(jié)果同樣簡(jiǎn)單：對(duì)應(yīng)的GMC設(shè)計(jì)是一個(gè)變換的Yates序（叫做RC Yates序）的Hq的后n列組成．Zhang，Wei and Li(2010)提出了區(qū)組別名效應(yīng)型(B-AENP)和區(qū)組一般最小低階混雜準(zhǔn)則(B-GMC)來選擇最優(yōu)區(qū)組設(shè)計(jì)．他們得到試驗(yàn)次數(shù)為16，32，64的區(qū)組一般最小

11、低階混雜準(zhǔn)則設(shè)計(jì)的結(jié)果，明顯優(yōu)于MA準(zhǔn)則下的最優(yōu)設(shè)計(jì)．
　　 本文第一部分在兩水平正規(guī)GMC設(shè)計(jì)構(gòu)造的基礎(chǔ)上考慮非對(duì)稱的GMC設(shè)計(jì)，提出非對(duì)稱GMC準(zhǔn)則，并且得到了因子數(shù)n滿足N/4+l≤n+2

12、數(shù)n滿足5N/16+1≤n+2　　 本文第二部分是對(duì)二次響應(yīng)曲面模型進(jìn)行估計(jì)。對(duì)于實(shí)際收集到的數(shù)據(jù)，人們通常采用一些數(shù)學(xué)方

13、法去分析，比較流行的是多項(xiàng)式逼近法。它首先從一階模型著手，如果試驗(yàn)的范圍已經(jīng)最優(yōu)，為了得到更精確的逼近，需要再再追加一些試驗(yàn)次數(shù)，利用二階模型進(jìn)行擬合等等。對(duì)于二次響應(yīng)曲面模型，常用的有中心組合法(簡(jiǎn)稱CCD，Boxand Wilson，1951)和Box-Behnken設(shè)計(jì)(Box and Betnken，1958)，這兩種設(shè)計(jì)具有許多優(yōu)良的性質(zhì)，比如正交性和高效性，同時(shí)也存在一些問題，比如隨著因子個(gè)數(shù)的增加試驗(yàn)次數(shù)會(huì)迅速增加。Dra

14、per和Lin等人做了大量工作來減少CCD設(shè)計(jì)的試驗(yàn)次數(shù)，Box-Behnken設(shè)計(jì)近些年來受到了不少關(guān)注，如Whittinghill(1998)，Nguyenand Borkowski(2008)，但很少有關(guān)于減少試驗(yàn)次數(shù)的研究。本文的目的就是在保持Box-Behnken設(shè)計(jì)良好性質(zhì)的前提下來減少試驗(yàn)次數(shù)。
　　 Box-Behnken設(shè)計(jì)是將兩水平的因析設(shè)計(jì)與不完全區(qū)組設(shè)計(jì)通過特別的方式結(jié)合，再加上兩水平的均值作為中心點(diǎn)得到

15、。在這一部分，我們構(gòu)造了一種新的Box-Behnken設(shè)計(jì)，它通過平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)(BIBD)或是部分平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)(PBIBD)進(jìn)行構(gòu)造，能以較高的效率和較少的試驗(yàn)次數(shù)來擬合二次響應(yīng)曲面模型。區(qū)組中處理替代的方法一部分采用23-1的設(shè)計(jì)，一部分采用完全設(shè)計(jì)，這樣原有Box-Behnken設(shè)計(jì)的正交性很好的保留下來。我們利用一種新的算法將參數(shù)分組，通過計(jì)算組瞬時(shí)矩陣(GMM)將模型的參數(shù)估計(jì)出來，從而大大減少了計(jì)算量，當(dāng)因子數(shù)目很