概率算子測(cè)度和相對(duì)效率以及有關(guān)不等式的一些研究.pdf

1、摘要本文討論了概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其相關(guān)領(lǐng)域的某些專(zhuān)題‘本文分三章，共由5篇論文組成，其中一些文章已經(jīng)公開(kāi)發(fā)表或已經(jīng)被接受.第一章由一篇論文組成，主要是對(duì)概率算子測(cè)度展開(kāi)一些研究.在光通信中量子信號(hào)的估值與檢測(cè)理論得到發(fā)展與應(yīng)用它有許多新的特點(diǎn)它的模型是以量子場(chǎng)為背景，因此它的檢測(cè)問(wèn)題涉及到量子場(chǎng)的原理和方法.在Helstrov的專(zhuān)著中，為對(duì)一個(gè)量子系統(tǒng)的參數(shù)進(jìn)行估量與判別，引進(jìn)了概率算子測(cè)度(POM)及一系列運(yùn)算但涉及POM運(yùn)算的一系列

2、問(wèn)題如POM的存在性問(wèn)題，關(guān)于POM的積分問(wèn)題，關(guān)于兩個(gè)POM的求導(dǎo)問(wèn)題，POM的弱收斂問(wèn)題，在一般量子檢測(cè)理論中往往不予討論但從數(shù)學(xué)角度看這些問(wèn)題確實(shí)存在羅躍虎、沈世錳等對(duì)算子測(cè)度的擴(kuò)張，積分以及兩個(gè)算子測(cè)度的題等進(jìn)行了深入討論彭家南等研究了概率算子測(cè)度的弱收斂問(wèn)題RadontiikodymIm]我們對(duì)上述問(wèn)題也進(jìn)行了一些探討，給出了概率算子測(cè)度弱收斂的其他的一些充要條件和充分條件推廣了算子測(cè)度的擴(kuò)張定理引進(jìn)了概率算子測(cè)度的相對(duì)緊和胎

3、緊等概念，并且證明了刻劃相對(duì)緊和胎緊二者之間關(guān)系的Prohorov定理在概率算子測(cè)度情形也成立.我們把將普通測(cè)度論的一些其他結(jié)論亦推廣到概率算子測(cè)度上去，深化了對(duì)概率算子測(cè)度的認(rèn)識(shí).第二章主要由兩篇論文組成，主要研究了線(xiàn)性模型中關(guān)于相對(duì)效率的一些專(zhuān)題.對(duì)于GaussMarkov線(xiàn)性模型，我們可以得到參數(shù)Q的最佳線(xiàn)性無(wú)偏估計(jì)(BLUE)和最小二乘估計(jì)(LSE)反萬(wàn)一般不等于莊探討二者究竟有多大偏離，這在某些應(yīng)用方面是很重要的比較萬(wàn)和B的差

4、異的其中一種方式就是考慮s相對(duì)于a的相對(duì)效率.本章的第一篇論文定義了非奇異線(xiàn)性模型的一種新的相對(duì)效率，即cov(S`)對(duì)于cov洲的所有相對(duì)特征根之和的單位化這種新的定義方式較深刻地揭示了cov(3)與cov(助之間的聯(lián)系.這篇文章對(duì)這種新的相對(duì)效率的性質(zhì)及其和其它形式的定義之間的關(guān)系也進(jìn)行了研究與比較，得到了一系列有意義的結(jié)果.最后還給出了它的下界的兩種互相獨(dú)立的估計(jì).本章的第二篇論文主要討論奇異線(xiàn)性模型的相對(duì)效率.這篇文章把劉愛(ài)義，

5、丁杰等所討論的非奇異線(xiàn)性模型的相對(duì)效率推廣到奇異情形一定義了奇異線(xiàn)性模型的兩種相對(duì)效率。2(自和。5(句，利用矩陣代數(shù)工具給出了。2(自和。5(句的三個(gè)下界估計(jì).并且得到了一些矩陣不等式.第三章主要由兩篇論文組成，主要討論了線(xiàn)性模型中所涉及到的一些不等式和圖上的有關(guān)不等式本章的第一篇論文給出了Kantorovich不等式的一個(gè)新的較簡(jiǎn)單的證明，并且給出了其推廣形式.同時(shí)在形式上也推廣了GreubRheinboldt關(guān)于Kantorovi

6、ch不等式的一個(gè)推廣文章還給出了YoungHolde:和Minkowski矩陣不等式和它們的反不等式，因此得到了不等式鏈這些不等式在線(xiàn)性模型以及統(tǒng)計(jì)學(xué)其它領(lǐng)域中有著重要的應(yīng)用，本章的第二篇論文討論了圖上的一些不等式.這篇文章利用隨機(jī)分析的研究結(jié)果與方法，給出了圖上拉普拉斯算子特征值的一個(gè)估計(jì)，把一些泛函不等式推廣到圖上，并且討論了圖上Sobolev類(lèi)型不等式的等價(jià)性AbstractThisthesisconsistsoffiverese

7、archpapersconcerningsomespecialfieldsofprobabilitytheoryandmathematicalstatistics.ItisdesignedintothreechaptersChapter1consistsofonepaperwhichisrelatedtoprobabilityoperatormeasure(POM)introducedbyHelstrovwhenliedoessomer

8、esearchonquantumestimationanddetectioninthefieldofopticalcommunication.SomequstionsaboutthemathmaticalbaseofPOMsuchasitsexistenceintegration.weakconvergenceandsoon.areputforwardai記answeredbysomemathematians.玩thispaperweg

9、ivesomesufficientandnecessaryconditionsfortheweakconvergenceofPOM.RealsogenerizetheextensiontheoremofPOM.EspeciallyweintroducetherelativecompactnessandtightnesstothePOM.AndweprovedtheProhorovtheoremwhichdescribestherelat

10、ionbetweenrelativecompactnessandtightnessalsoholdsinthecaseofPOMChapter2consitsoftwopaperswhicharerelatedtorelativeeficiendyinGaussMarkovlinearmodelInthefirstpaperwegiveanewdefinitionofrelativeeficiencyinlinearmodelwhich

11、revealstherelationshipbetweenCov(3)andCov(角tosomeprofoundextent.someresultsaboutitspropertyandtherelationwithotherrelativeefficiencydefinitionsareobtainedAndwealsogetthetwoindependentestimationofitslowerbound.Thesecondpa

12、pergives。:(戶(hù))and。:(聲)thetwokindsofnewdefinitionsofrelativeefficiencyforthesingularlinearmodel.ThelowerboundsoftheserelativeeficienciesandsomernatrixinequalitiesarealsogainedbyusingtechniquesofmatricalgebraChapter3consist

13、softwopapersconcerningsomeinequlitiesinthefieldsoflinearmodelandgraph.InthefirstpaperwegiveanewandsimpleproofoftheKantorovichinequlity.OnekindofgeneralizationoftheKantorovichinequalityisalsogivenwhichinsomesensecoversthe

14、resultsobtainedbyGreubRheinboldt.ThepaperalsogivesYoungHolderandMinkowskimatrixinequalitiesandtheirinverseforms.Sothematrixinqualitychainsareobtained.Thesecondpaperbasedonsomeresultsalowerboundestimationoftheeigenvaluefo

15、randmethodsofstochasticanalysisgivesLaplacianongraphandgeneralizessomefunctionalSobolevtypeinequalitiestograph.Andwealsodiscusstheequivalenceamongtheseinequalities.Keywords:probabilityoperatormeasurerelativecompactnessti