一些不等式的證明及推廣【畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　一些不等式的證明及推廣</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

2、 </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號 </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：本文主要介紹了柯西不等式、Young不等式、赫爾德不等式和閔可

3、斯基不等式的基本形式以及它們的證明，此外還對這幾個重要不等式的推廣做了比較系統(tǒng)的綜述，并舉例說明了這些不等式在各個方面的具體應(yīng)用。</p><p>　　關(guān)鍵字：柯西不等式；Young不等式；赫爾德不等式；閔可斯基不等式 </p><p>　　The Proof And Generalization of Some Important Inequalities</p><

4、p>　　Abstract: This paper summarized the basic form of several important inequalities and their proof, such as Cauchy inequality, Young inequality, Holder inequality and Minkowski inequality. In addition, this article

5、introduces some generalizations of these inequalities and some applications in every aspect by taking examples. </p><p>　　Key words: Cauchy inequality; Young inequality; Holder inequality; </p><p&

6、gt;　　Minkowski inequality; </p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　1 引言1</b></p><p>　　2 柯西不等式3</p><p>　　2.1 柯西不等式的定義3</p><p>　　2.2 柯

7、西不等式的幾種證明方法3</p><p>　　3 柯西不等式的推廣及應(yīng)用8</p><p>　　3.1 在實數(shù)域上柯西不等式的幾個推廣結(jié)論8</p><p>　　3.2 柯西不等式的推廣形式8</p><p>　　3.3 柯西不等式在歐氏空間的推廣形式10</p><p>　　3.4 證明不等式10<

8、;/p><p>　　3.5 用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)12</p><p>　　4 Young不等式14</p><p>　　4.1 Young不等式的定義14</p><p>　　4.2 Young不等式的幾種證明方法14</p><p>　　4.3 帶項的Young不等式15</p>&

9、lt;p>　　4.4 Young不等式（積分形式）的定義16</p><p>　　4.5 Young不等式（積分形式）的幾種證明方法16</p><p>　　4.6 Young逆向不等式17</p><p>　　4.7 Young不等式與Young逆不等式的推廣18</p><p>　　5 赫爾德積分不等式20</p&

10、gt;<p>　　5.1 赫爾德積分不等式20</p><p>　　5.2 赫爾德積分不等式的幾種證明方法20</p><p>　　5.3 赫爾德不等式的推廣23</p><p><b>　　結(jié)論26</b></p><p><b>　　致謝27</b></p>

11、<p><b>　　參考文獻(xiàn)28</b></p><p><b>　　1 引言</b></p><p>　　不等關(guān)系是自然界中存在著的基本數(shù)學(xué)關(guān)系。近幾年來，不等式在中學(xué)教學(xué)中得到廣泛的重視。不論是幾何、數(shù)論、函數(shù)或組合數(shù)學(xué)中的許多問題，都可能與不等式有關(guān)，這就使得不等式的問題（特別是有關(guān)不等式的證明）在數(shù)學(xué)競賽中顯得尤為重要。而

12、且，不等式在數(shù)學(xué)研究中也起著相當(dāng)重要的作用。它的應(yīng)用非常廣泛，在初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中都有重要的意義。特別是20世紀(jì)90年代，不等式的研究空前活躍，研究的深度和廣度都在迅速擴(kuò)大。</p><p>　　近年來，這些重要不等式一直受到廣泛的關(guān)注，不少學(xué)者對他們進(jìn)行了較深入的研究與推廣。本文主要是總結(jié)歸納相關(guān)的研究成果。如柯西不等式、Young不等式、赫爾德不等式和閔可斯基不等式的基本形式以及相關(guān)證明，此外本文還對這幾個

13、重要不等式的推廣做了比較系統(tǒng)的綜述，并舉例說明了重要不等式在各個方面的具體應(yīng)用。</p><p>　　柯西不等式是著名的不等式之一，且不失為至善至美的重要不等式。它不僅是數(shù)學(xué)分析的重要工具，還和物理學(xué)中的矢量、高等數(shù)學(xué)中的內(nèi)積空間、賦范空間有著密切的聯(lián)系，這使得不等式的研究成了當(dāng)前數(shù)學(xué)研究的一個熱點。它不僅是數(shù)學(xué)分析的重要工具，還和物理學(xué)中的矢量、高等數(shù)學(xué)中的內(nèi)積空間、賦范空間有著密切的聯(lián)系?？挛鞑坏仁绞怯纱髷?shù)學(xué)

14、家柯西（Cauchy）在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時得到的。但從歷史的角度講，該不等式應(yīng)當(dāng)稱為Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，正是后兩位數(shù)學(xué)家彼此獨立地在積分學(xué)中推而廣之，才將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步?？挛鞑坏仁椒浅Ｖ匾?，適當(dāng)、巧妙地引入柯西不等式，可以簡化解題過程，起到事半功倍的作用。因此柯西不等式在初等數(shù)學(xué)、微分方程和泛函分析等領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用，再加上本身有著優(yōu)美的對稱形式、簡潔的統(tǒng)一證法和命題

15、間的內(nèi)在聯(lián)系，關(guān)于它的研究一直受到人們的關(guān)注。由此促使我們進(jìn)一步了解柯西不等式的各種形式及它的應(yīng)用。</p><p>　　閔可夫斯基不等式是由閔可夫斯基（Minkowski）于1896年證明的，它的出現(xiàn)對于促進(jìn)泛函空間理論的飛速發(fā)展起到了至關(guān)重要的作用。閔可夫斯基的主要工作在數(shù)論、代數(shù)和數(shù)學(xué)物理上。在數(shù)論方面，他對二次型進(jìn)行了重要的研究。在1881年法國大獎中，閔可夫斯基深入鉆研了高斯、狄利克雷和愛因斯坦等人的論

16、著。因為高斯曾在研究把一個整數(shù)分解為三個平方數(shù)之和時用了二元二次型的性質(zhì)，閔可夫斯基根據(jù)前人的工作發(fā)現(xiàn)：把一個整數(shù)分解為五個平方數(shù)之和的方法與四元二次型有關(guān)。由此，他深入研究了n元二次型，建立了完整的理論體系。這樣一來，上述問題就很容易從更一般的理論中得出，閔可夫斯基交給法國科學(xué)院的論文長達(dá)140頁，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了原題的范圍。閔可夫斯基此后繼續(xù)研究n元二次型的理論。他透過三個不變量刻畫了有理系數(shù)二次型有理系數(shù)線性變換下的等價性，完成了實系數(shù)

17、正定二次型的約化理論，現(xiàn)稱“Minkowski約化理論”。當(dāng)閔可夫斯基用幾何方法研究n元二次型的約化問題時，他獲得了十分精彩而清晰的結(jié)果。他把用這種方法建立起來的關(guān)于數(shù)的理論稱為“數(shù)的幾何”，其中包括著名的閔克夫斯基原理。由這里又引導(dǎo)出他在“凸體幾何”方面的研究，這</p><p>　　Young不等式及與之相關(guān)的赫爾德不等式、閔克夫斯基不等式都是非常重要的不等式，在分析數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展起到

18、了非常重要的作用。通過Young不等式我們可以證明赫爾德不等式，進(jìn)而證明閔克夫斯基不等式。雖然赫爾德于1889年便在其著作中證明了赫爾德不等式，但是現(xiàn)在的絕大部分書籍都采用Young不等式做為引理來證明它。在數(shù)學(xué)分析、調(diào)和函數(shù)、泛函分析和偏微分方程等學(xué)科中上述三個不等式的身影處處可見，是使用得最為頻繁，最為廣泛的知識工具。Young不等式及與之相關(guān)的赫爾德不等式、閔克夫斯基不等式都是非常重要的不等式，在分析數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，對現(xiàn)代數(shù)

19、學(xué)的發(fā)展起到了非常重要的作用。</p><p><b>　　2 柯西不等式</b></p><p><b>　　2.1 柯西不等式</b></p><p><b>　　設(shè)有兩組實數(shù)和，則</b></p><p><b>　　，</b></p>

20、<p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。</p><p>　　2.2 柯西不等式的幾種證明方法</p><p>　　證明1（簡捷證明）設(shè)，，，則</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即。證畢。</b></p><p><b>

21、　　證明2（配方法）</b></p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　證畢。</b></p><p>　　證明3（判別式法）設(shè)為任意實數(shù)，則</p><p><b>　　。</b></p><p>　　上述不等式的

22、右邊是關(guān)于的一元二次多項式，且對于任意實數(shù)都是非負(fù)的，則</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即。證畢。</b></p><p><b>　　證明4（參數(shù)法）</b></p><p>　　若或，結(jié)論顯然成立。</p><p&g

23、t;<b>　　若且，令</b></p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　則由，可知： </b></p><p><b>　　從而：，于是有：</b></p><p><b>　　證畢。</b></

24、p><p><b>　　證明5（向量法）</b></p><p><b>　　設(shè)n維向量，則</b></p><p><b>　　又，故</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即所證結(jié)論成

25、立。</b></p><p><b>　　證明6（凸函數(shù)法）</b></p><p>　　設(shè)函數(shù)則有知，在為嚴(yán)格下凸函數(shù)，從而對任意一組實數(shù)及，有：</p><p><b>　　（2.1）</b></p><p>　　現(xiàn)設(shè)為任意一組實數(shù)，記則將之帶入（2.1）得：</p>

26、<p><b>　　即。</b></p><p>　　令則由的任意性可知可取任意實數(shù)，且有：</p><p><b>　　于是：</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即所證結(jié)論成立。</b></p&g

27、t;<p>　　證明7（數(shù)學(xué)歸納法）</p><p>　　當(dāng)時，等號顯然成立。</p><p>　　假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立，即則當(dāng)時，</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即當(dāng)時結(jié)論成立。</b></p><p>　　綜上可知：對任意

28、的自然數(shù)n，有：</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即所證結(jié)論成立。</b></p><p>　　證明8（利用Jensen總和不等式）</p><p>　　考察函數(shù)故是上的凸函數(shù)，由Jensen總和不等式（其中），得</p><p><

29、b>　　。</b></p><p><b>　　取，則</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　證畢。</b></p><p>　　證明9（利用行列式）因為</p><p><b>　　，&

30、lt;/b></p><p><b>　　所以。</b></p><p>　　證明10（利用二次型正定性）因為</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　，</b&g

31、t;</p><p>　　故為正定，從而二次型矩陣正定。因此，即</p><p><b>　　。</b></p><p>　　從而。當(dāng)時等號成立，證畢。</p><p>　　3 柯西不等式的推廣</p><p>　　3.1 在實數(shù)域上柯西不等式的幾個推廣結(jié)論</p><p&g

32、t;　　命題3.1 設(shè)，為定義在上的連續(xù)函數(shù)，則</p><p><b>　　。</b></p><p>　　命題3.2 設(shè)，，，則</p><p><b>　　，</b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。</p><p><b>　　命題3.3 設(shè)，則&l

33、t;/b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。</p><p><b>　　命題3.4 設(shè)，則</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。</p>

34、;<p>　　命題3.5 設(shè)，，，則</p><p><b>　　，</b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。</p><p>　　3.2 柯西不等式的推廣形式</p><p>　　定理3.1（柯西積分不等式） 設(shè)是連續(xù)函數(shù)，則</p><p><b>　　，<

35、;/b></p><p>　　等號成立的充要條件是：或，使得或成立。</p><p>　　定理3.2 設(shè)，，，是組實數(shù)，則有</p><p><b>　　，</b></p><p>　　等號成立的充要條件為。</p><p>　　證明 不妨設(shè)，，， ，，，，。由幾何平均值不等式，有&

36、lt;/p><p><b>　　。</b></p><p>　　對上式累次求和，可得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即</b></p><p>　　。 （3.1）</p><p>　　由于，

37、，，，這樣式(3.1)為</p><p>　　。 （3.2）</p><p>　　在給式（3.2）兩邊同時m次方冪，得</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p>　　3

38、.3 柯西不等式在歐氏空間的推廣形式</p><p>　　在抽象的歐氏空間中，柯西不等式可以敘述為：設(shè)是歐氏空間，若、，則</p><p><b>　　。</b></p><p>　　上述等號成立的充要條件是線性相關(guān)。</p><p>　　這個不等式也稱為柯西-施瓦茲不等式，從這里我們可猜想：如果歐氏空間是有限空間，即，

39、不取的標(biāo)準(zhǔn)正交基，而取的任意一個基柯西不等式的坐標(biāo)形式又是怎樣的？</p><p><b>　　設(shè)</b></p><p><b>　　，則</b></p><p>　　同樣有。于是得到n維歐氏空間一般坐標(biāo)形式的柯西不等式：</p><p>　　這樣表示書寫較繁，為了方便起見，還可用矩陣的形式把它書

40、寫簡潔化：令</p><p><b>　　，，，</b></p><p>　　其中為正定矩陣。設(shè)為的轉(zhuǎn)置陣，則可將上式寫為：</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　3.4 證明不等式</b></p><p><b>

41、;　　例3-1 設(shè)則</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。</p><p>　　證明 由柯西不等式，得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　化簡整理得。</b&

42、gt;</p><p>　　例3-2 設(shè)，則有</p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。</p><p>　　證明 ,化簡整理得。</p><p>　　例3-3 對任意參數(shù)，則</p><p><b>　　,</b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。</

43、p><p><b>　　證明 。</b></p><p><b>　　例3-4 設(shè)，則</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。</p><p>　　證明 由柯西不等式有，則</p><

44、p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以 。</b></p><p>　　3.5 用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)</p><p>　　在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》一書中，在線性回歸中，有樣本相關(guān)系數(shù)，并指出且越接近于1，相關(guān)程度越大，越接近于0，則相關(guān)程度越小?，F(xiàn)在可用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)。

45、</p><p><b>　　現(xiàn)記，，則，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　由柯西不等式有，。</b></p><p><b>　　當(dāng)時，</b></p><p>　　此時，，為常數(shù)。點

46、 均在直線上。</p><p><b>　　當(dāng)時，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　而</b

47、></p><p><b>　　，，</b></p><p>　　因此，，其中為常數(shù)。此時，，其中為常數(shù)，</p><p>　　點均在直線附近，所以越接近于1，相關(guān)程度越大。</p><p>　　當(dāng)時，不具備上述特征，從而，找不到合適的常數(shù)，使得點都在直線附近。所以，越接近于0，則相關(guān)程度越小。 4 Young不

48、等式</p><p>　　4.1 Young不等式 </p><p><b>　　設(shè)，，且，則</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時等式成立。</p><p>　　4.2 Young不等式的幾種證明方法</p>&

49、lt;p>　　證明1（導(dǎo)數(shù)求極值法）考察函數(shù)，，我們有：</p><p><b>　　。</b></p><p>　　可見在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，于是是的極大值點。則</p><p><b>　　， 。</b></p><p>　　令，，并記，代入上式得</p><p&g

50、t;<b>　　，</b></p><p><b>　　化簡即是。</b></p><p>　　將與表示為與，與分別表示為與，然后記，，上式又可寫成</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　證畢。</b></p>

51、<p>　　證明2（凸函數(shù)法）由于在上，</p><p><b>　　，</b></p><p>　　故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號。</p><p>　　證明3（利用中值定理）令，，在閉區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理得：</p><p><b>　　，（其中），</b></p><

52、p><b>　　從而當(dāng)時，有</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　并且等式僅在時成立。若，令，可得：</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　整理得</b></p><p

53、><b>　　。</b></p><p><b>　　令，則，于是</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)在時等號成立。若，令可得：</p><p><b>　　，</b></p><p>

54、;<b>　　整理得：</b></p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　令，則，于是</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　4.3 帶項的Young不等式 </p><p&g

55、t;<b>　　設(shè)，，，，使得</b></p><p>　　證明 利用Young不等式，得</p><p>　　4.4 Young不等式（積分形式） </p><p>　　設(shè)是嚴(yán)格單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，，為的反函數(shù)，則對于任意的，，有</p><p>　　， （4.1）&l

56、t;/p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。</p><p>　　4.5 Young不等式（積分形式）的幾種證明方法</p><p>　　證明1（面積法證明）根據(jù)函數(shù)和其反函數(shù)的圖形特性，及曲線與軸和軸所圍面積，</p><p><b>　　， ，</b></p><p>　　比較矩形面積與，便知&l

57、t;/p><p><b>　　。</b></p><p>　　證明2 （分析法) </p><p><b>　　第一步：我們先證明</b></p><p>　　， （4.2）</p><p>　　由在上是嚴(yán)格單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，得在

58、上是嚴(yán)格單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，故（4.2）式中積分有意義，將區(qū)間做等分劃，記分點為，相應(yīng)的點，，構(gòu)成區(qū)間的一個分劃，因在上連續(xù)，故在上一致連續(xù)，故時，對于此分劃來講，有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　，</b></p&g

59、t;<p><b>　?。?.2）式得證。</b></p><p>　　第二步：由（4.2）式可知，若，則（4.1）式中等號成立。</p><p>　　第三步：若，則由的連續(xù)性可知，，使，于是</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　第四步：若，&

60、lt;/b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　第五步：綜上可知，當(dāng)且僅當(dāng)時，（4.1）中的等號成立。</p><p>　　4.6 Young逆向不等式</p><p>　　設(shè)和是兩個正數(shù)序列，，，則當(dāng)時，</p><p>　　； （4.3）

61、 </p><p><b>　　當(dāng)或時，</b></p><p>　　。 （4.4）</p><p><b>　　記</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　?。?.3），（4.4

62、）兩式等號取到當(dāng)且僅當(dāng)在序列中存在一個子列使得，，并且對于任意的有。</p><p>　　4.7 Young不等式與Young逆不等式的推廣</p><p>　　4.7.1 Young不等式的推廣</p><p>　　直接應(yīng)用Young不等式，即可給出赫爾德不等式的證明，再由赫爾德不等式得出閔克夫斯基不等式。</p><p>　　赫爾德不

63、等式 設(shè)有兩組實數(shù)和，，，則</p><p><b>　　，</b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。</p><p>　　當(dāng)時，赫爾德不等式即為柯西不等式。</p><p>　　閔可夫斯基不等式 設(shè)有兩組正數(shù)和，，則</p><p><b>　　，</b>&l

64、t;/p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。</p><p>　　4.7.2 Young逆不等式的推廣</p><p>　　應(yīng)用Young逆不等式，即可給出赫爾德逆不等式的證明，再由赫爾德逆不等式得出閔克夫斯基逆不等式。</p><p>　　反向赫爾德不等式 設(shè)有兩組實數(shù)和，且，，則</p><p><b>

65、　　。</b></p><p>　　反向閔可夫斯基不等式 設(shè)有兩組正數(shù)和，且，則</p><p><b>　　。</b></p><p>　　5 赫爾德積分不等式</p><p>　　5.1 赫爾德積分不等式</p><p>　　若函數(shù)與在區(qū)間上連續(xù)非負(fù)，且，，則</p>

66、;<p>　　5.2 赫爾德積分不等式的幾種證明方法</p><p>　　證明1 設(shè)，，取，，由Young不等式，有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　兩邊對積分，得：</b></p><p><b>　　，</b></

67、p><p><b>　　即 </b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　證明2 因為和在上連續(xù)非負(fù)，所以函數(shù)，與在上可積。應(yīng)用定積分的定義，將區(qū)間等分成個小區(qū)間，分點為，，。取，。 令</p><p><b>　　，，</b></p>&l

68、t;p><b>　　于是</b></p><p><b>　　， 。</b></p><p>　　由Young不等式，得： </p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即</b></p><p>&l

69、t;b>　　，</b></p><p><b>　　兩邊分別對求和，得</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　又因為，，分子分母同乘，得</p><p><b>　　，</b></p><p><b&

70、gt;　　即</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　令，由定積分定義，有</p><p><b>　　。</b></p><p>　　證明3 作輔助函數(shù)</p><p>　　因為、在上連續(xù)，所以在上可導(dǎo)，且</p>&

71、lt;p>　　根據(jù)Young不等式，有</p><p><b>　　，</b></p><p>　　因此在遞增。又因為，所以 即</p><p><b>　　。</b></p><p>　　證明4 已知，在上連續(xù)，將等分成幾個小區(qū)間，，取，因為，在上非負(fù)，由赫爾德不等式，有</p>

72、;<p><b>　　。</b></p><p>　　又因為，在不等號兩邊同乘，</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　由已知與的連續(xù)性可得，與在上都可積，則由定積分的定義， 當(dāng)時，有</p>

73、;<p><b>　　。</b></p><p>　　證明5 先設(shè)。因為在上非負(fù)，由Young不等式，可得</p><p><b>　　。</b></p><p>　　又因在上可積知、，在上都可積，兩邊積分得</p><p><b>　　。</b></p&

74、gt;<p><b>　　一般地，令，，于是</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　由前面的證明可知，即</p><p><b>　　。</b></p><p>　　5.3 赫爾德不等式的推廣</p><p>

75、;　　赫爾德不等式在維及無窮維序列空間的離散形式的推廣及其任意測度空間上的積分形式推廣。</p><p>　　定理5.1 設(shè)，，；；，且</p><p><b>　　則</b></p><p>　?。?.1） </p><p>　　證明 對任意取定的，對用數(shù)學(xué)歸納法

76、。當(dāng)時，此不待證。當(dāng)時，（5.1）式即為</p><p><b>　?。?.2）</b></p><p>　　設(shè)時，結(jié)論成立，則當(dāng)時，有，并且。</p><p><b>　　令，則</b></p><p>　　， （5.3）</p

77、><p>　　， （5.4） </p><p>　　據(jù)（5.2）及（5.3）式，得</p><p><b>　　由（5.4）式，知</b></p><p>　　即結(jié)論對也成立。據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，（5.1）式對成立。定理得證。</p

78、><p>　　定理5.2 設(shè)是任意測度空間上的非負(fù)可測函數(shù)，，；，且滿足（5.1）式，則</p><p><b>　　。</b></p><p>　　定理5.3 設(shè)，，，且，則</p><p><b>　　。</b></p><p>　　定理5.4 設(shè)，，，。若級數(shù)均收斂，

79、則</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　結(jié)論</b></p><p>　　本文主要闡述了柯西不等式、Young不等式、赫爾德不等式和閔克夫斯基不等式的一些證明方法及相關(guān)推廣。柯西不等式是一個非常重要的不等式，靈活巧妙的應(yīng)用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解。它在證明不等式、解三角形、求函數(shù)

80、最值、解方程等方面有著廣泛的應(yīng)用。Young不等式、赫爾德不等式和閔克夫斯基不等式之間可以相互推導(dǎo)。這些重要不等式在數(shù)學(xué)分析、調(diào)和分析、泛函分析、偏微分方程等學(xué)科的研究中發(fā)揮了重要作用，使用的技巧靈活多樣，得到的結(jié)果極為深刻。然而，在數(shù)學(xué)知識體系中赫爾德不等式的證明出現(xiàn)較晚，限制了它的早期傳播和實用的可能性。文獻(xiàn)給出了Young不等式和Young逆不等式的初等證明方法及這兩個不等式的等價性，進(jìn)而給出了赫爾德不等式的初等證明。本課題首先總

81、結(jié)柯西不等式、Young不等式和赫爾德不等式的證明方法，在此基礎(chǔ)上，總結(jié)并探討這些不等式的相關(guān)推廣。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]李靜.Cauthy-Swhwarz不等式的四種形式的證明及應(yīng)用[J].宿州學(xué)院學(xué)報. 2008,12,23(6).</p><p>　　[2]張偉,何衛(wèi).柯西-施瓦茨不等式

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