若干重要不等式的推廣及應(yīng)用【畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　　（20 屆）</b></p><p>　　若干重要不等式的推廣及應(yīng)用</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

2、 </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號 </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘 要：在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域里，不等式問題占有廣闊的天地。因此本文綜述

3、了幾類重要不等式的推廣及證明，如Hadmard不等式、Cauchy不等式、Abel不等式、Janous不等式等，同時舉例說明重要不等式在各個方面的具體應(yīng)用。</p><p>　　關(guān)鍵詞：重要不等式；Hadmard不等式；Cauchy不等式；</p><p>　　The popularization and application of some important inequations&

4、lt;/p><p>　　Abstract：Inequalities hold vast world in mathematics researches.This paper mainly introduces the basic form and proofs of Cauchy inequality, Hadmard inequality, Abel inequality and Janous inequality

5、.Moverover,the the paper also gives a summary of the promotion of these inequalities systematically,while discussing emphatically the specific applications of these important inequations in all aspects. Key words： Impor

6、tant inequation; Hadmard inequality; Cauchy inequality;</p><p><b>　　1 前 言1</b></p><p>　　2 常用重要不等式的推廣2</p><p>　　2.1 Hadmard不等式及推廣2</p><p>　　2.1.1 Hadma

7、rd不等式2</p><p>　　2.1.2 Hadmard不等式的推廣3</p><p>　　2.2 Cauchy不等式及推廣5</p><p>　　2.2.1 Cauchy不等式5</p><p>　　2.2.2 Cauchy不等式的推廣6</p><p>　　2.3 Abel不等式及推廣8&l

8、t;/p><p>　　2.3.1 Abel不等式8</p><p>　　2.3.2 Abel不等式的推廣8</p><p>　　2.4 Janous不等式及推廣10</p><p>　　2.4.1 Janous不等式10</p><p>　　2.4.2 Janous不等式的推廣11</p>

9、<p>　　3 常用重要不等式的應(yīng)用14</p><p>　　3.1在代數(shù)中的應(yīng)用14</p><p>　　3.2 在幾何中的應(yīng)用15</p><p>　　3.3 最值極值問題中的應(yīng)用17</p><p>　　3.4 不等式之間的相互推導(dǎo)18</p><p>　　3.5 在概率論中的應(yīng)用

10、19</p><p>　　4 總 結(jié)21</p><p>　　致 謝錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)22</b></p><p><b>　　1 前 言</b></p><p>　　眾所周知不等式作為數(shù)學(xué)的組成部分以及重要的推理工具，被

11、廣泛地應(yīng)用到數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域。在分析學(xué)中不等式的作用更是不可替代。而其中一些常用不等式如Hadmard不等式、Abel不等式、Janous不等式、Cauchy不等式更在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的創(chuàng)建、延伸、和應(yīng)用上起著非凡的作用，這使得不等式的研究成了當(dāng)前數(shù)學(xué)研究的一個熱點。</p><p>　　近年來這些重要不等式一直受到廣泛的關(guān)注，不少學(xué)者對他們進(jìn)行了較深入的研究與推廣。本文主要是綜合歸納相關(guān)的研究成果，如Hadmard不

12、等式、Abel不等式、Janous不等式、Cauchy不等式的基本形式和相關(guān)證明，并對以上四個重要不等式的推廣做了較系統(tǒng)綜述，并舉例說明了它們在各方面的具體應(yīng)用。</p><p>　　在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中靈活運用不等式可以使一些較為復(fù)雜的問題迎刃而解，一套數(shù)學(xué)理論最終甚至可以歸結(jié)為一個不同尋常的不等式。但是在部分情況下不等式還存在一定的局限性，因此探討重要不等式能夠在哪些情況下發(fā)揮作用，是否能夠得到進(jìn)一步的推廣等問題就顯

13、得非常有必要。</p><p>　　大量的學(xué)者對于不等式的研究已經(jīng)趨于完善，但是仍舊缺少系統(tǒng)性地歸納和梳理。本文希望通過對現(xiàn)有研究進(jìn)行總結(jié)與歸納，強化不等式作為數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個組成部分和一項推理工具的作用，以期更快捷有效地解決部分?jǐn)?shù)學(xué)問題，并為今后相關(guān)的生活、工作、學(xué)習(xí)提供一定的參考價值。</p><p>　　2 常用重要不等式的推廣</p><p>　　重要不等式

14、是指在數(shù)學(xué)的計算與證明問題中常見的不等式。包括排序不等式、均值不等式、完全的均值不等式、冥平均不等式、權(quán)方和不等式、Cauchy不等式、切比雪夫不等式和琴生不等式等等。</p><p>　　鑒于不等式在科學(xué)研究中的重要地位，眾多學(xué)者對重要不等式繼續(xù)進(jìn)行研究，獲得了一些更好的結(jié)果。</p><p>　　2.1 Hadmard不等式及推廣</p><p>　　2.1.1

15、 Hadmard不等式</p><p>　　定理2.1：設(shè)是是的連續(xù)凸函數(shù)，則對每一對有：</p><p>　　證明：因為是開區(qū)間上的連續(xù)凸函數(shù)，所以是連續(xù)的，因此可積。因為不僅是的中點，同時也是和的中點，其中利用為連續(xù)凸函數(shù)，則就有不等式</p><p>　　上式兩邊對從到積分，經(jīng)計算后就可以得到：</p><p>　　另一方面由于是連續(xù)凸

16、函數(shù)又可以得到：</p><p><b>　　證畢。 </b></p><p>　　Hadmard不等式（1.1）在不等式理論中占有重要地位，它不僅用來為證明其他不等式提供理論依據(jù)，還在其他問題的求解中有著廣泛的應(yīng)用，例如求最值問題和求范圍問題等</p><p>　　2.1.2 Hadmard不等式的推廣 </p><

17、;p>　　引理1：設(shè)是中點凸函數(shù)，即</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　記</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　則有，其中。</b></p><p>　

18、　引理2：設(shè)為連續(xù)凸函數(shù)，</p><p><b>　　如果那么</b></p><p>　　如果為上的遞增（減）函數(shù)，且，那么成立。</p><p>　　引理3：設(shè)為連續(xù)凸函數(shù)，且</p><p><b>　　記</b></p><p><b>　　。</b

19、></p><p><b>　　如果，那么</b></p><p>　　如果在遞增（減），且，那么也成立。</p><p>　　引理4：設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其中函數(shù)滿足：</b>&

20、lt;/p><p>　　定理2.2：設(shè)是連續(xù)凸函數(shù)，函數(shù)滿足</p><p><b>　　記</b></p><p><b>　　則有</b></p><p>　　。 </p><p><b>　　由于</b></p>&l

21、t;p>　　所以式是式的又一推廣。</p><p>　　證明：在引理3中令再由引理4知不等式則變?yōu)椴坏仁剑C畢。</p><p>　　2.2 Cauchy不等式及推廣 </p><p>　　Cauchy是法國數(shù)學(xué)家，1789年8月21日出生于巴黎，他對數(shù)論、代數(shù)、數(shù)學(xué)分析和微分方程等多個數(shù)學(xué)領(lǐng)域進(jìn)行了深入的研究，并獲得了許多重要成果，著名的Cauchy不等式

22、就是其中之一。</p><p>　　Cauchy不等式是著名的不等式之一，且不失為一個十分完善的重要不等式。它不僅是數(shù)學(xué)分析的重要工具，還與物理學(xué)中的矢量、高等數(shù)學(xué)中的內(nèi)積空間和賦范空間有著密切的聯(lián)系。在以上相關(guān)解題過程中，適當(dāng)、巧妙地引入Cauchy不等式，可以簡化解題過程，起到事半功倍的效果。</p><p>　　2.2.1 Cauchy不等式</p><p>

23、;　　定理2.3：若是任何實數(shù)，</p><p>　　則有 </p><p>　　(當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立)</p><p>　　證明：（數(shù)學(xué)歸納法）</p><p>　　當(dāng)時，等號顯然成立。</p><p>　　假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立，即有：</p><p><

24、b>　　則當(dāng)時，</b></p><p><b>　　證畢。</b></p><p>　　2.2.2 Cauchy不等式的推廣</p><p><b>　　指數(shù)形式</b></p><p>　　引理5：設(shè)為不小于2的自然數(shù)，則對于 和有， </p><p>

25、;<b>　　，</b></p><p>　　等號成立的充要條件是，下面的成立；</p><p><b>　　使</b></p><p>　　若對每個至少有一個時，則，</p><p>　?。榕c無關(guān)的正值常數(shù)），且對于，恒有</p><p><b>　　或<

26、/b></p><p>　　引理6：設(shè)為不小于2的自然數(shù)，對于和有</p><p>　　等號成立的充要條件是，下面的成立；</p><p><b>　　時，同引理5；</b></p><p><b>　　時，且對</b></p><p><b>　　恒有<

27、;/b></p><p><b>　　或</b></p><p>　　在引理5，6中令分別可以得到：</p><p>　　定理2.4：設(shè)為不小于2的自然數(shù)，則對有</p><p>　　。 </p><p><b>　　定理2.

28、5：設(shè)對有</b></p><p><b>　　積分形式</b></p><p>　　引理7: 設(shè)為不小于2的自然數(shù)，對區(qū)間上的任意可積函數(shù)</p><p><b>　　和有：</b></p><p>　　引理7中若或，則分別可以得到：</p><p>　　定理2

29、.6: 設(shè)為不小于2的自然數(shù)，對上的任意可積函數(shù)有：</p><p>　　定理2.7: 設(shè)為不小于2的自然數(shù)，對上的任意可積函數(shù)有：</p><p>　　Cauchy不等式作為數(shù)學(xué)不等式中一個基礎(chǔ)而且重要的不等式，在求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，對解題時起了舉足輕重的作用。它將數(shù)列中各項積的和與和的積巧妙的結(jié)合在一起，使得許多問題得到了簡化。</p>

30、;<p>　　2.3 Abel不等式及推廣</p><p>　　2.3.1 Abel不等式</p><p><b>　　定理2.8: 設(shè)則</b></p><p>　　等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立。</p><p>　　此不等式為著名的Abel不等式，它有著廣泛的應(yīng)用，它在雙曲幾何中的地位如同Cauchy不等式在

31、歐氏幾何的地位一樣重要。</p><p>　　2.3.2 Abel不等式的推廣</p><p><b>　　引理8：設(shè)則</b></p><p>　　等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立。</p><p><b>　　引理9：設(shè)，</b></p><p><b>　　則</b

32、></p><p>　　等號當(dāng)且僅當(dāng)且時成立。</p><p><b>　　定理2.9：設(shè) 則</b></p><p>　　等號當(dāng)且僅當(dāng)在且時成立。</p><p><b>　　證明：因為為此</b></p><p><b>　　令</b><

33、/p><p>　　根據(jù)題設(shè)條件及引理9，有</p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　從而因此。</b></p><p><b>　　因為。</b></p><p><b>　　運用引理9，得</b><

34、/p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即 </b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　注意到</b></p><p>　　以之帶入上面不等式，得</p>&

35、lt;p><b>　　所以</b></p><p><b>　　于是</b></p><p><b>　　因為</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，</b></p>&l

36、t;p><b>　　于是</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　因為</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以</b></p><

37、p><b>　　。</b></p><p>　　從證明過程知，上不等式中等號當(dāng)且僅當(dāng)</p><p><b>　　且</b></p><p><b>　　時成立。</b></p><p>　　在定理中令便可得到Abel不等式，可見Abel不等式是該定理的一個特殊形式。&l

38、t;/p><p>　　2.4 Janous不等式及推廣</p><p>　　2.4.1 Janous不等式</p><p>　　奧地利數(shù)學(xué)家W.Janous在1986年曾建立了下述幾何不等式：</p><p>　　定理2.10: 設(shè)的邊BC，CA，AB與面積分別為a,b,c,,記任意一點P到頂點A，B，C的距離,分別為,則 </p>

39、;<p>　　。 </p><p>　　等號僅當(dāng)為正三角形且P為其中心時成立。</p><p>　　2.4.2 Janous不等式的推廣</p><p>　　引理10：設(shè)與的面積分別為，則對任意一點P有</p><p><b>　　，</b></p><p>

40、;　　等號當(dāng)且僅當(dāng)與為相似的銳角三角形，且P為的垂心時成立。</p><p>　　引理11：設(shè)的三邊與外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑分別為</p><p><b>　　則對任意實數(shù)有</b></p><p><b>　　等號僅當(dāng)時成立。</b></p><p>　　定理2.11：設(shè)與的面積分別為。又P為任意

41、一點，Q為內(nèi)</p><p>　　部任一點，Q到的距離分別為則</p><p>　　， </p><p>　　等號當(dāng)且僅當(dāng)，均為正三角形且P與Q分別為它們的中心時成立。</p><p>　?。ㄗⅲ涸摬坏仁皆谛问缴戏浅?yōu)美，從已有的文獻(xiàn)來看，類似的涉及兩個三角形與兩個動點的三角形幾何不等式是十分罕見的。）<

42、/p><p>　　證明：顯然以為邊長可構(gòu)成一個三角形，記其面積為</p><p><b>　　由Heron公式：</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　?。ㄆ渲袨榈陌胫荛L）易得</p><p><b>　　根據(jù)引理10有</b>&

43、lt;/p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　接下來證明：</b></p><p>　　為此，又先來證有關(guān)與任意正數(shù)的加權(quán)不等式：</p><p>　　按引理11知，欲證上式只要證：</p><p>　　兩邊乘以并利用，即知上式等價于</p>

44、<p>　　由顯然的不等式及已知的不等式：</p><p>　　即知前式成立，從而不等式得證。</p><p>　　將不等式中的換成即知，對與任意的正數(shù)有</p><p><b>　　在上式中取利用</b></p><p><b>　　就可得不等式</b></p><

45、;p><b>　　，</b></p><p><b>　　再根據(jù)不等式</b></p><p><b>　　和</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　可知</b></p>&l

46、t;p><b>　　，</b></p><p>　　這顯然等價于定理的結(jié)論，證畢。</p><p>　　3 常用重要不等式的應(yīng)用</p><p>　　自古以來，物理量之間大小的比較為現(xiàn)實世界之必須，這導(dǎo)致了數(shù)學(xué)不等式的產(chǎn)生和發(fā)展。迄今，不等式的重要應(yīng)用已貫穿于當(dāng)代科學(xué)技術(shù)和工程領(lǐng)域的多個學(xué)科分支。</p><p>

47、;　　3.1在代數(shù)中的應(yīng)用</p><p>　　例1：已知正數(shù)滿足證明</p><p>　　證明：由Cauchy不等式及得</p><p>　　又因為在此不等式兩邊同乘以2，再加上得從而可得</p><p><b>　　故</b></p><p>　　例2：已知,且，求證：</p>

48、<p><b>　　證明：</b></p><p>　　由權(quán)方和不等式：當(dāng)或 ，有</p><p><b>　　。</b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號。</p><p><b>　　可得：</b></p><p><b>

49、　　左</b></p><p><b>　　而</b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　等號在取得。</b></p><p>　　3.2 在幾何中的應(yīng)用</p><p>　　1.推導(dǎo)空間點到平面的距離和點

50、到直線的距離公式</p><p>　　已知點及平面：設(shè)為平面上的一點，則，，</p><p>　　由Cauchy不等式</p><p><b>　　當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立</b></p><p><b>　　即有：</b></p><p><b>　　也就是</b

51、></p><p><b>　　，</b></p><p>　　所以點到平面的距離公式為：</p><p>　　同樣的辦法可推導(dǎo)出點到直線的距離公式為：</p><p><b>　　。</b></p><p>　　2．由Janous不等式及其推廣可以得到以下幾個漂亮而又

52、簡潔的猜想。</p><p>　　1）猜想1：對與任意一點有：</p><p>　　2）猜想2：對內(nèi)部任意一點有：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中分別為的角平分線。</p><p>　　注：雖然上面的2個猜想尚未得到有效的證明，但我相信在不久的將來，學(xué)者們對于Ja

53、nous不等式的進(jìn)一步研究和推廣，一定會得到它們的證明。到那個時候Janous不等式在三角形中的作用將會更加的明顯。</p><p>　　3．已知為三角形三邊長，求證：。</p><p>　　證明：換元：令則不等式</p><p><b>　　由權(quán)方不等式可得</b></p><p>　　故原不等式成立且在即時取得等號。

54、</p><p>　　3.3 最值極值問題中的應(yīng)用</p><p>　　例3：設(shè)求的最小值。</p><p>　　解： 由Cauchy不等式，可得</p><p>　　例4：已知 且，求的最小值。</p><p>　　證明：由權(quán)方和不等式得</p><p><b>　　，故&l

55、t;/b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得最小值。</p><p>　　例5：證明：存在極小值。</p><p><b>　　證明：因為</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　求二階偏導(dǎo)數(shù)，得</b>&

56、lt;/p><p><b>　　因為 </b></p><p>　　由Cauchy不等式知 ，</p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　又因為</b></p&g

57、t;<p><b>　　所以有極小值。</b></p><p>　　3.4 不等式之間的相互推導(dǎo)</p><p>　　1.利用Abel不等式推導(dǎo)Popoviciu不等式。</p><p>　　在定理2.8中令，可得到下面的一個推論。</p><p><b>　　推論：設(shè)</b><

58、/p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　成立；</b></p><p>　　將代入上面的推論，整理可得到</p><p>　　即Popoviciu不等式。</p><p>　　2．利用Young不等式推導(dǎo)其他不等式。</p><p&g

59、t;　　Young不等式：設(shè)且滿足，則。</p><p>　　應(yīng)用帶的Young不等式知，兩邊在上積分并取</p><p>　　，則馬上得到Holder不等式。</p><p>　　3.5 在概率論中的應(yīng)用</p><p>　　1.在概率論中，線性回歸有樣本相關(guān)系數(shù)，并指出且不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)。</p><p&g

60、t;<b>　　現(xiàn)記，則</b></p><p>　　由Cauchy不等式有，</p><p><b>　　當(dāng)時，</b></p><p>　　此時，為常數(shù)，點 均在直線</p><p><b>　　上，</b></p><p><b>　　當(dāng)

61、時， </b></p><p>　　即 </p><p>　　而 </p><p><b>　　為常數(shù)。</b></p><p>　　此時，為常數(shù)，點均在直線附近，所以</p><p>　　越接近于1，相關(guān)程度越大。</

62、p><p><b>　　4 總 結(jié)</b></p><p>　　作為數(shù)學(xué)的一個重要分支，不等式有著悠久的發(fā)展歷史和極其豐富的內(nèi)容。由其悠久的發(fā)展歷史可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)不等式理論充滿蓬勃生機，而且已得到突飛猛進(jìn)的發(fā)展。作為一種基本的工具，不等式在數(shù)學(xué)學(xué)科與其它科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。</p><p>　　Hadarmard不等式、Cauchy不等式

63、、Abel不等式以及Janous不等式都是非常重要的不等式，并廣泛應(yīng)用于在數(shù)學(xué)分析，對促進(jìn)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了非常重要的作用。本文主要介紹了它們的基本形式、推廣形式以及應(yīng)用。經(jīng)過本次論文的寫作，作者從各個方面加深了對不等式的了解，也深刻體會到它們的魅力性。這些不等式在形式、證明和應(yīng)用上，都體現(xiàn)了代數(shù)與分析、概率與分析、高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)之間相互滲透，相互促進(jìn)的內(nèi)在聯(lián)系。正如希爾波特所說：“數(shù)學(xué)是一有機整體，它的生命力依賴于各部分的聯(lián)系。

64、”除此之外，通過這次協(xié)作，本人也增強了自主探究數(shù)學(xué)問題的能力，掌握了研究數(shù)學(xué)問題的立足點和基本思想方法。如掌握研究數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題的方法是：發(fā)現(xiàn)問題——猜測結(jié)論——分析論證——推廣結(jié)論——應(yīng)用結(jié)果。又如利用類比歸納的方法掌握對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行多層次全方位的推廣研究，向高維的推廣、向縱深的推廣、類比橫向的推廣、反向的推廣以及這幾種推用的廣方法的聯(lián)合使再推廣。</p><p>　　在數(shù)學(xué)分析、調(diào)和函數(shù)、分析函數(shù)和偏微方

65、程等學(xué)科中上述不等式的身影處處可見，是使用得最為頻繁，最為廣泛的知識工具。本文的目的就是通過對若干重要不等式的推廣及應(yīng)用相關(guān)內(nèi)容的整理歸納，使人們能夠更加清楚的認(rèn)識到它們的作用。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] Mitrinovic D S, Lackovic I B. Hermite and convexity[J].Aeq

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