若干重要不等式的推廣及應(yīng)用【畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　若干重要不等式的推廣及應(yīng)用</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

2、 </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘 要：在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域里，不等式問(wèn)題占有廣闊的天地。因此本文綜述

3、了幾類重要不等式的推廣及證明，如Hadmard不等式、Cauchy不等式、Abel不等式、Janous不等式等，同時(shí)舉例說(shuō)明重要不等式在各個(gè)方面的具體應(yīng)用。</p><p>　　關(guān)鍵詞：重要不等式；Hadmard不等式；Cauchy不等式；</p><p>　　The popularization and application of some important inequations&

4、lt;/p><p>　　Abstract：Inequalities hold vast world in mathematics researches.This paper mainly introduces the basic form and proofs of Cauchy inequality, Hadmard inequality, Abel inequality and Janous inequality

5、.Moverover,the the paper also gives a summary of the promotion of these inequalities systematically,while discussing emphatically the specific applications of these important inequations in all aspects. Key words： Impor

6、tant inequation; Hadmard inequality; Cauchy inequality;</p><p><b>　　1 前 言1</b></p><p>　　2 常用重要不等式的推廣2</p><p>　　2.1 Hadmard不等式及推廣2</p><p>　　2.1.1 Hadma

7、rd不等式2</p><p>　　2.1.2 Hadmard不等式的推廣3</p><p>　　2.2 Cauchy不等式及推廣5</p><p>　　2.2.1 Cauchy不等式5</p><p>　　2.2.2 Cauchy不等式的推廣6</p><p>　　2.3 Abel不等式及推廣8&l

8、t;/p><p>　　2.3.1 Abel不等式8</p><p>　　2.3.2 Abel不等式的推廣8</p><p>　　2.4 Janous不等式及推廣10</p><p>　　2.4.1 Janous不等式10</p><p>　　2.4.2 Janous不等式的推廣11</p>

9、<p>　　3 常用重要不等式的應(yīng)用14</p><p>　　3.1在代數(shù)中的應(yīng)用14</p><p>　　3.2 在幾何中的應(yīng)用15</p><p>　　3.3 最值極值問(wèn)題中的應(yīng)用17</p><p>　　3.4 不等式之間的相互推導(dǎo)18</p><p>　　3.5 在概率論中的應(yīng)用

10、19</p><p>　　4 總 結(jié)21</p><p>　　致 謝錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)22</b></p><p><b>　　1 前 言</b></p><p>　　眾所周知不等式作為數(shù)學(xué)的組成部分以及重要的推理工具，被

11、廣泛地應(yīng)用到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。在分析學(xué)中不等式的作用更是不可替代。而其中一些常用不等式如Hadmard不等式、Abel不等式、Janous不等式、Cauchy不等式更在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的創(chuàng)建、延伸、和應(yīng)用上起著非凡的作用，這使得不等式的研究成了當(dāng)前數(shù)學(xué)研究的一個(gè)熱點(diǎn)。</p><p>　　近年來(lái)這些重要不等式一直受到廣泛的關(guān)注，不少學(xué)者對(duì)他們進(jìn)行了較深入的研究與推廣。本文主要是綜合歸納相關(guān)的研究成果，如Hadmard不

12、等式、Abel不等式、Janous不等式、Cauchy不等式的基本形式和相關(guān)證明，并對(duì)以上四個(gè)重要不等式的推廣做了較系統(tǒng)綜述，并舉例說(shuō)明了它們?cè)诟鞣矫娴木唧w應(yīng)用。</p><p>　　在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中靈活運(yùn)用不等式可以使一些較為復(fù)雜的問(wèn)題迎刃而解，一套數(shù)學(xué)理論最終甚至可以歸結(jié)為一個(gè)不同尋常的不等式。但是在部分情況下不等式還存在一定的局限性，因此探討重要不等式能夠在哪些情況下發(fā)揮作用，是否能夠得到進(jìn)一步的推廣等問(wèn)題就顯

13、得非常有必要。</p><p>　　大量的學(xué)者對(duì)于不等式的研究已經(jīng)趨于完善，但是仍舊缺少系統(tǒng)性地歸納和梳理。本文希望通過(guò)對(duì)現(xiàn)有研究進(jìn)行總結(jié)與歸納，強(qiáng)化不等式作為數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)組成部分和一項(xiàng)推理工具的作用，以期更快捷有效地解決部分?jǐn)?shù)學(xué)問(wèn)題，并為今后相關(guān)的生活、工作、學(xué)習(xí)提供一定的參考價(jià)值。</p><p>　　2 常用重要不等式的推廣</p><p>　　重要不等式

14、是指在數(shù)學(xué)的計(jì)算與證明問(wèn)題中常見(jiàn)的不等式。包括排序不等式、均值不等式、完全的均值不等式、冥平均不等式、權(quán)方和不等式、Cauchy不等式、切比雪夫不等式和琴生不等式等等。</p><p>　　鑒于不等式在科學(xué)研究中的重要地位，眾多學(xué)者對(duì)重要不等式繼續(xù)進(jìn)行研究，獲得了一些更好的結(jié)果。</p><p>　　2.1 Hadmard不等式及推廣</p><p>　　2.1.1

15、 Hadmard不等式</p><p>　　定理2.1：設(shè)是是的連續(xù)凸函數(shù)，則對(duì)每一對(duì)有：</p><p>　　證明：因?yàn)槭情_(kāi)區(qū)間上的連續(xù)凸函數(shù)，所以是連續(xù)的，因此可積。因?yàn)椴粌H是的中點(diǎn)，同時(shí)也是和的中點(diǎn)，其中利用為連續(xù)凸函數(shù)，則就有不等式</p><p>　　上式兩邊對(duì)從到積分，經(jīng)計(jì)算后就可以得到：</p><p>　　另一方面由于是連續(xù)凸

16、函數(shù)又可以得到：</p><p><b>　　證畢。 </b></p><p>　　Hadmard不等式（1.1）在不等式理論中占有重要地位，它不僅用來(lái)為證明其他不等式提供理論依據(jù)，還在其他問(wèn)題的求解中有著廣泛的應(yīng)用，例如求最值問(wèn)題和求范圍問(wèn)題等</p><p>　　2.1.2 Hadmard不等式的推廣 </p><

17、;p>　　引理1：設(shè)是中點(diǎn)凸函數(shù)，即</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　記</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　則有，其中。</b></p><p>　

18、　引理2：設(shè)為連續(xù)凸函數(shù)，</p><p><b>　　如果那么</b></p><p>　　如果為上的遞增（減）函數(shù)，且，那么成立。</p><p>　　引理3：設(shè)為連續(xù)凸函數(shù)，且</p><p><b>　　記</b></p><p><b>　　。</b

19、></p><p><b>　　如果，那么</b></p><p>　　如果在遞增（減），且，那么也成立。</p><p>　　引理4：設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其中函數(shù)滿足：</b>&

20、lt;/p><p>　　定理2.2：設(shè)是連續(xù)凸函數(shù)，函數(shù)滿足</p><p><b>　　記</b></p><p><b>　　則有</b></p><p>　　。 </p><p><b>　　由于</b></p>&l

21、t;p>　　所以式是式的又一推廣。</p><p>　　證明：在引理3中令再由引理4知不等式則變?yōu)椴坏仁剑C畢。</p><p>　　2.2 Cauchy不等式及推廣 </p><p>　　Cauchy是法國(guó)數(shù)學(xué)家，1789年8月21日出生于巴黎，他對(duì)數(shù)論、代數(shù)、數(shù)學(xué)分析和微分方程等多個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域進(jìn)行了深入的研究，并獲得了許多重要成果，著名的Cauchy不等式

22、就是其中之一。</p><p>　　Cauchy不等式是著名的不等式之一，且不失為一個(gè)十分完善的重要不等式。它不僅是數(shù)學(xué)分析的重要工具，還與物理學(xué)中的矢量、高等數(shù)學(xué)中的內(nèi)積空間和賦范空間有著密切的聯(lián)系。在以上相關(guān)解題過(guò)程中，適當(dāng)、巧妙地引入Cauchy不等式，可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程，起到事半功倍的效果。</p><p>　　2.2.1 Cauchy不等式</p><p>

23、;　　定理2.3：若是任何實(shí)數(shù)，</p><p>　　則有 </p><p>　　(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立)</p><p>　　證明：（數(shù)學(xué)歸納法）</p><p>　　當(dāng)時(shí)，等號(hào)顯然成立。</p><p>　　假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即有：</p><p><

24、b>　　則當(dāng)時(shí)，</b></p><p><b>　　證畢。</b></p><p>　　2.2.2 Cauchy不等式的推廣</p><p><b>　　指數(shù)形式</b></p><p>　　引理5：設(shè)為不小于2的自然數(shù)，則對(duì)于 和有， </p><p>

25、;<b>　　，</b></p><p>　　等號(hào)成立的充要條件是，下面的成立；</p><p><b>　　使</b></p><p>　　若對(duì)每個(gè)至少有一個(gè)時(shí)，則，</p><p>　　（為與無(wú)關(guān)的正值常數(shù)），且對(duì)于，恒有</p><p><b>　　或<

26、/b></p><p>　　引理6：設(shè)為不小于2的自然數(shù)，對(duì)于和有</p><p>　　等號(hào)成立的充要條件是，下面的成立；</p><p><b>　　時(shí)，同引理5；</b></p><p><b>　　時(shí)，且對(duì)</b></p><p><b>　　恒有<

27、;/b></p><p><b>　　或</b></p><p>　　在引理5，6中令分別可以得到：</p><p>　　定理2.4：設(shè)為不小于2的自然數(shù)，則對(duì)有</p><p>　　。 </p><p><b>　　定理2.

28、5：設(shè)對(duì)有</b></p><p><b>　　積分形式</b></p><p>　　引理7: 設(shè)為不小于2的自然數(shù)，對(duì)區(qū)間上的任意可積函數(shù)</p><p><b>　　和有：</b></p><p>　　引理7中若或，則分別可以得到：</p><p>　　定理2

29、.6: 設(shè)為不小于2的自然數(shù)，對(duì)上的任意可積函數(shù)有：</p><p>　　定理2.7: 設(shè)為不小于2的自然數(shù)，對(duì)上的任意可積函數(shù)有：</p><p>　　Cauchy不等式作為數(shù)學(xué)不等式中一個(gè)基礎(chǔ)而且重要的不等式，在求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時(shí)是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，對(duì)解題時(shí)起了舉足輕重的作用。它將數(shù)列中各項(xiàng)積的和與和的積巧妙的結(jié)合在一起，使得許多問(wèn)題得到了簡(jiǎn)化。</p>

30、;<p>　　2.3 Abel不等式及推廣</p><p>　　2.3.1 Abel不等式</p><p><b>　　定理2.8: 設(shè)則</b></p><p>　　等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。</p><p>　　此不等式為著名的Abel不等式，它有著廣泛的應(yīng)用，它在雙曲幾何中的地位如同Cauchy不等式在

31、歐氏幾何的地位一樣重要。</p><p>　　2.3.2 Abel不等式的推廣</p><p><b>　　引理8：設(shè)則</b></p><p>　　等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。</p><p><b>　　引理9：設(shè)，</b></p><p><b>　　則</b

32、></p><p>　　等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)成立。</p><p><b>　　定理2.9：設(shè) 則</b></p><p>　　等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)在且時(shí)成立。</p><p><b>　　證明：因?yàn)闉榇?lt;/b></p><p><b>　　令</b><

33、/p><p>　　根據(jù)題設(shè)條件及引理9，有</p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　從而因此。</b></p><p><b>　　因?yàn)椤?lt;/b></p><p><b>　　運(yùn)用引理9，得</b><

34、/p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即 </b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　注意到</b></p><p>　　以之帶入上面不等式，得</p>&

35、lt;p><b>　　所以</b></p><p><b>　　于是</b></p><p><b>　　因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，</b></p>&l

36、t;p><b>　　于是</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以</b></p><

37、p><b>　　。</b></p><p>　　從證明過(guò)程知，上不等式中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)</p><p><b>　　且</b></p><p><b>　　時(shí)成立。</b></p><p>　　在定理中令便可得到Abel不等式，可見(jiàn)Abel不等式是該定理的一個(gè)特殊形式。&l

38、t;/p><p>　　2.4 Janous不等式及推廣</p><p>　　2.4.1 Janous不等式</p><p>　　奧地利數(shù)學(xué)家W.Janous在1986年曾建立了下述幾何不等式：</p><p>　　定理2.10: 設(shè)的邊BC，CA，AB與面積分別為a,b,c,,記任意一點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，C的距離,分別為,則 </p>

39、;<p>　　。 </p><p>　　等號(hào)僅當(dāng)為正三角形且P為其中心時(shí)成立。</p><p>　　2.4.2 Janous不等式的推廣</p><p>　　引理10：設(shè)與的面積分別為，則對(duì)任意一點(diǎn)P有</p><p><b>　　，</b></p><p>

40、;　　等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)與為相似的銳角三角形，且P為的垂心時(shí)成立。</p><p>　　引理11：設(shè)的三邊與外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑分別為</p><p><b>　　則對(duì)任意實(shí)數(shù)有</b></p><p><b>　　等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立。</b></p><p>　　定理2.11：設(shè)與的面積分別為。又P為任意

41、一點(diǎn)，Q為內(nèi)</p><p>　　部任一點(diǎn)，Q到的距離分別為則</p><p>　　， </p><p>　　等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，均為正三角形且P與Q分別為它們的中心時(shí)成立。</p><p>　?。ㄗⅲ涸摬坏仁皆谛问缴戏浅?yōu)美，從已有的文獻(xiàn)來(lái)看，類似的涉及兩個(gè)三角形與兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的三角形幾何不等式是十分罕見(jiàn)的。）<

42、/p><p>　　證明：顯然以為邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)三角形，記其面積為</p><p><b>　　由Heron公式：</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　?。ㄆ渲袨榈陌胫荛L(zhǎng)）易得</p><p><b>　　根據(jù)引理10有</b>&

43、lt;/p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　接下來(lái)證明：</b></p><p>　　為此，又先來(lái)證有關(guān)與任意正數(shù)的加權(quán)不等式：</p><p>　　按引理11知，欲證上式只要證：</p><p>　　兩邊乘以并利用，即知上式等價(jià)于</p>

44、<p>　　由顯然的不等式及已知的不等式：</p><p>　　即知前式成立，從而不等式得證。</p><p>　　將不等式中的換成即知，對(duì)與任意的正數(shù)有</p><p><b>　　在上式中取利用</b></p><p><b>　　就可得不等式</b></p><

45、;p><b>　　，</b></p><p><b>　　再根據(jù)不等式</b></p><p><b>　　和</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　可知</b></p>&l

46、t;p><b>　　，</b></p><p>　　這顯然等價(jià)于定理的結(jié)論，證畢。</p><p>　　3 常用重要不等式的應(yīng)用</p><p>　　自古以來(lái)，物理量之間大小的比較為現(xiàn)實(shí)世界之必須，這導(dǎo)致了數(shù)學(xué)不等式的產(chǎn)生和發(fā)展。迄今，不等式的重要應(yīng)用已貫穿于當(dāng)代科學(xué)技術(shù)和工程領(lǐng)域的多個(gè)學(xué)科分支。</p><p>

47、;　　3.1在代數(shù)中的應(yīng)用</p><p>　　例1：已知正數(shù)滿足證明</p><p>　　證明：由Cauchy不等式及得</p><p>　　又因?yàn)樵诖瞬坏仁絻蛇呁艘?，再加上得從而可得</p><p><b>　　故</b></p><p>　　例2：已知,且，求證：</p>

48、<p><b>　　證明：</b></p><p>　　由權(quán)方和不等式：當(dāng)或 ，有</p><p><b>　　。</b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)。</p><p><b>　　可得：</b></p><p><b>

49、　　左</b></p><p><b>　　而</b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　等號(hào)在取得。</b></p><p>　　3.2 在幾何中的應(yīng)用</p><p>　　1.推導(dǎo)空間點(diǎn)到平面的距離和點(diǎn)

50、到直線的距離公式</p><p>　　已知點(diǎn)及平面：設(shè)為平面上的一點(diǎn)，則，，</p><p>　　由Cauchy不等式</p><p><b>　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立</b></p><p><b>　　即有：</b></p><p><b>　　也就是</b

51、></p><p><b>　　，</b></p><p>　　所以點(diǎn)到平面的距離公式為：</p><p>　　同樣的辦法可推導(dǎo)出點(diǎn)到直線的距離公式為：</p><p><b>　　。</b></p><p>　　2．由Janous不等式及其推廣可以得到以下幾個(gè)漂亮而又

52、簡(jiǎn)潔的猜想。</p><p>　　1）猜想1：對(duì)與任意一點(diǎn)有：</p><p>　　2）猜想2：對(duì)內(nèi)部任意一點(diǎn)有：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中分別為的角平分線。</p><p>　　注：雖然上面的2個(gè)猜想尚未得到有效的證明，但我相信在不久的將來(lái)，學(xué)者們對(duì)于Ja

53、nous不等式的進(jìn)一步研究和推廣，一定會(huì)得到它們的證明。到那個(gè)時(shí)候Janous不等式在三角形中的作用將會(huì)更加的明顯。</p><p>　　3．已知為三角形三邊長(zhǎng)，求證：。</p><p>　　證明：換元：令則不等式</p><p><b>　　由權(quán)方不等式可得</b></p><p>　　故原不等式成立且在即時(shí)取得等號(hào)。

54、</p><p>　　3.3 最值極值問(wèn)題中的應(yīng)用</p><p>　　例3：設(shè)求的最小值。</p><p>　　解： 由Cauchy不等式，可得</p><p>　　例4：已知 且，求的最小值。</p><p>　　證明：由權(quán)方和不等式得</p><p><b>　　，故&l

55、t;/b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值。</p><p>　　例5：證明：存在極小值。</p><p><b>　　證明：因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　求二階偏導(dǎo)數(shù)，得</b>&

56、lt;/p><p><b>　　因?yàn)?</b></p><p>　　由Cauchy不等式知 ，</p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　又因?yàn)?lt;/b></p&g

57、t;<p><b>　　所以有極小值。</b></p><p>　　3.4 不等式之間的相互推導(dǎo)</p><p>　　1.利用Abel不等式推導(dǎo)Popoviciu不等式。</p><p>　　在定理2.8中令，可得到下面的一個(gè)推論。</p><p><b>　　推論：設(shè)</b><

58、/p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　成立；</b></p><p>　　將代入上面的推論，整理可得到</p><p>　　即Popoviciu不等式。</p><p>　　2．利用Young不等式推導(dǎo)其他不等式。</p><p&g

59、t;　　Young不等式：設(shè)且滿足，則。</p><p>　　應(yīng)用帶的Young不等式知，兩邊在上積分并取</p><p>　　，則馬上得到Holder不等式。</p><p>　　3.5 在概率論中的應(yīng)用</p><p>　　1.在概率論中，線性回歸有樣本相關(guān)系數(shù)，并指出且不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)。</p><p&g

60、t;<b>　　現(xiàn)記，則</b></p><p>　　由Cauchy不等式有，</p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，</b></p><p>　　此時(shí)，為常數(shù)，點(diǎn) 均在直線</p><p><b>　　上，</b></p><p><b>　　當(dāng)

61、時(shí)， </b></p><p>　　即 </p><p>　　而 </p><p><b>　　為常數(shù)。</b></p><p>　　此時(shí)，為常數(shù)，點(diǎn)均在直線附近，所以</p><p>　　越接近于1，相關(guān)程度越大。</

62、p><p><b>　　4 總 結(jié)</b></p><p>　　作為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，不等式有著悠久的發(fā)展歷史和極其豐富的內(nèi)容。由其悠久的發(fā)展歷史可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)不等式理論充滿蓬勃生機(jī)，而且已得到突飛猛進(jìn)的發(fā)展。作為一種基本的工具，不等式在數(shù)學(xué)學(xué)科與其它科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。</p><p>　　Hadarmard不等式、Cauchy不等式

63、、Abel不等式以及Janous不等式都是非常重要的不等式，并廣泛應(yīng)用于在數(shù)學(xué)分析，對(duì)促進(jìn)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了非常重要的作用。本文主要介紹了它們的基本形式、推廣形式以及應(yīng)用。經(jīng)過(guò)本次論文的寫(xiě)作，作者從各個(gè)方面加深了對(duì)不等式的了解，也深刻體會(huì)到它們的魅力性。這些不等式在形式、證明和應(yīng)用上，都體現(xiàn)了代數(shù)與分析、概率與分析、高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)之間相互滲透，相互促進(jìn)的內(nèi)在聯(lián)系。正如希爾波特所說(shuō)：“數(shù)學(xué)是一有機(jī)整體，它的生命力依賴于各部分的聯(lián)系。

64、”除此之外，通過(guò)這次協(xié)作，本人也增強(qiáng)了自主探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，掌握了研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的立足點(diǎn)和基本思想方法。如掌握研究數(shù)學(xué)問(wèn)題或?qū)嶋H問(wèn)題的方法是：發(fā)現(xiàn)問(wèn)題——猜測(cè)結(jié)論——分析論證——推廣結(jié)論——應(yīng)用結(jié)果。又如利用類比歸納的方法掌握對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行多層次全方位的推廣研究，向高維的推廣、向縱深的推廣、類比橫向的推廣、反向的推廣以及這幾種推用的廣方法的聯(lián)合使再推廣。</p><p>　　在數(shù)學(xué)分析、調(diào)和函數(shù)、分析函數(shù)和偏微方

65、程等學(xué)科中上述不等式的身影處處可見(jiàn)，是使用得最為頻繁，最為廣泛的知識(shí)工具。本文的目的就是通過(guò)對(duì)若干重要不等式的推廣及應(yīng)用相關(guān)內(nèi)容的整理歸納，使人們能夠更加清楚的認(rèn)識(shí)到它們的作用。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] Mitrinovic D S, Lackovic I B. Hermite and convexity[J].Aeq

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