積分不等式的若干推廣.pdf

1、盡管多數(shù)微分方程無法求出精確解，但是人們可以利用適當(dāng)?shù)牟坏仁郊记蓪?duì)解的模進(jìn)行估計(jì)．這樣的估計(jì)可以證實(shí)解的存在性、唯一性、有界性、穩(wěn)定性和不變流形等定性性質(zhì)．這樣的不等式就足所謂的積分不等式．自從兩位數(shù)學(xué)家Gronwall和IlBellman提出具有劃時(shí)代意義的不等式以來，Gronwall-Bellman積分不等式及其離散形式存不斷地得到推廣． 歐陽亮在1957年為了研究二階微分方程解的有界性，給出了左邊足未知函數(shù)平方的積分不等式

2、，這個(gè)不等式推廣了Gronwall-Bellman的積分不等式．De—fermos在1979年為了建立熱力學(xué)第二定律與穩(wěn)定性之間的聯(lián)系，進(jìn)一步把歐陽亮的不等式推廣成被積函數(shù)是未知函數(shù)的一次項(xiàng)與二次項(xiàng)的和的積分不等式．Pachpatte推廣了Defermos的積分不等式的離散化形式，推廣后的和差分不等式右邊的和號(hào)內(nèi)包含兩項(xiàng)，一項(xiàng)是未知函數(shù)的一次項(xiàng)，另一個(gè)是包含未知函數(shù)與一個(gè)非遞減函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的項(xiàng)．本文第二章進(jìn)一步把Pathpatte的和

3、差分不等式推廣成帶有時(shí)滯的和差分不等式，其中和號(hào)內(nèi)是多項(xiàng)的和，和號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)包含未知函數(shù)與一個(gè)不具有單調(diào)性的函數(shù)的復(fù)合函數(shù)．我們給出了不等式中未知函數(shù)的估計(jì)，并把所得結(jié)果用于研究時(shí)滯差分方程初值問題解的有界性與唯一性． 另一方面，Bihari在1956年把Gronwall-Bellman積分不等式中右邊被積函數(shù)中的未知函數(shù)推廣成未知函數(shù)與非遞減函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，Lipovan在2000年又把Bihari的積分不等式中的積分的上下限

4、從自變量推廣成可求導(dǎo)增函數(shù)，從而使積分不等式含有時(shí)滯．Agarwal等人在2005年又把Lipovan的積分不等式進(jìn)一步推廣成Gronwall類時(shí)滯積分不等式，其中積分號(hào)外的常數(shù)項(xiàng)推廣成函數(shù)項(xiàng)，把兩個(gè)積分項(xiàng)推廣成多個(gè)積分項(xiàng)．Cheung在2006年把Pachpatte的一元積分不等式和Lipovan的二元積分不等式推廣成二元時(shí)滯積分不等式，這個(gè)不等式的左邊是未知甬?dāng)?shù)的冪函數(shù)，右邊是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)與兩個(gè)積分項(xiàng)的和，其中一個(gè)積分項(xiàng)的被積函數(shù)含有

5、未知函數(shù)的冪函數(shù)，另一個(gè)積分項(xiàng)的被積函數(shù)含有未知函數(shù)與非遞減函數(shù)的復(fù)合函數(shù)．本文第三章第一節(jié)在Cheung和Agarwal等人結(jié)果的基礎(chǔ)上建立了一個(gè)具有時(shí)滯的Gronwall類二元積分不等式，與Cheung的不等式比較這個(gè)不等式把積分號(hào)外的常數(shù)項(xiàng)推廣成二元函數(shù)項(xiàng)，把二個(gè)積分項(xiàng)推廣成多個(gè)積分項(xiàng)，且不要求被積函數(shù)中與未知函數(shù)進(jìn)行復(fù)合的函數(shù)具有單調(diào)性．為了克服沒有單調(diào)性帶來的困難，我們采用了單調(diào)化技巧，由已知函數(shù)構(gòu)造出強(qiáng)單調(diào)函數(shù)序列(即，每個(gè)

6、函數(shù)單調(diào)，且列中后一個(gè)函數(shù)與前一個(gè)函數(shù)的比也足單調(diào)函數(shù))．為了說明未知函數(shù)估計(jì)的有效區(qū)域，必須確定在不同情況下給出的多個(gè)區(qū)域之間的包含關(guān)系，我們利用比較不同區(qū)域的邊界條件得出了它們的包含關(guān)系．我們給出不等式中了未知函數(shù)模的估計(jì)，并把所得結(jié)果用于研究偏微分方程邊值問題解的有界性、唯一性與連續(xù)依賴性．用我們的結(jié)果可以估計(jì)Cheung[Nonlinear Anal．，2006，64，2112—2128]的積分不等式中未知函數(shù)的模，也可以估計(jì)A

7、garwal等人[Appl．Math．Comput．，2005，165，599—612]的積分不等式中未知函數(shù)的模．Pachpatte在2002年建立了含四重積分的二元積分不等式，不等式中未知函數(shù)都足一次的．本文在第三章第二節(jié)推廣了Pachpatte的結(jié)果，把Pachpatte的不等式右邊的未知函數(shù)的一次項(xiàng)推廣成非遞減函數(shù)與未知函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，給出了未知函數(shù)模的估計(jì)，把所得結(jié)果用來討論積分微分方程解的唯一性與有界性．本文在第四章第一節(jié)把

8、[J．Math．Anal．Appl．，2006，319，708—724]中的不等式推廣成一個(gè)新的和差分不等式，這個(gè)不等式和號(hào)外是一個(gè)非常數(shù)項(xiàng)，和號(hào)內(nèi)包括未知函數(shù)與不具有單調(diào)性的函數(shù)的復(fù)合函數(shù)．我們給出了未知函數(shù)模的估計(jì)，并用我們的結(jié)果討論了偏差分方程邊界值問題解的有界性、唯一性和連續(xù)依賴性．第四章第二節(jié)把Pachpatte的關(guān)于未知函數(shù)是線性的和差分不等式推廣成關(guān)于未知函數(shù)足非線性的一個(gè)具有四重和的和差分不等式，并用所得結(jié)果討論了一類具

9、有雙重和的差分方程解的有界性與唯一性． 在動(dòng)力系統(tǒng)中不變曲線起著重要作用．人們通過把一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)限制存不變曲線上，可以把該系統(tǒng)簡(jiǎn)化成低微動(dòng)力系統(tǒng)．在1997年Ng等人研究了具有逐段常數(shù)變量的二階微分方程的不變曲線．司建國等人在2001年討論了不變曲線的解析性，在不動(dòng)點(diǎn)的特征值不在單位圓和特征值在單位圓上但滿足Diophantine條件的情況下，證明了解析不變曲線的存在性，在2002年研究了另一個(gè)平面映射的解析不變曲線．最近研究不