數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科畢業(yè)論文-不等式證明的若干種方法

1、<p><b>　　本科生畢業(yè)論文</b></p><p>　　題　　目　 不等式證明的若干種方法 </p><p>　　姓　　名　 　 </p><p><b>　　學(xué)　　號　　 </b></p><p>　　院 　系　　　 數(shù)學(xué)系　　　　　 </p&

2、gt;<p>　　?！　I(yè)　 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)　　 </p><p>　　指導(dǎo)教師　 莎仁格日勒 　 </p><p><b>　　2013 年5 月</b></p><p>　　本科生畢業(yè)設(shè)計（論文、創(chuàng)作）聲明</p><p>　　本人鄭重聲明：所呈交的畢業(yè)設(shè)計，是本人在指導(dǎo)教

3、師指導(dǎo)下，進(jìn)行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本設(shè)計的研究成果不包含任何他人創(chuàng)作的、已公開發(fā)表或沒有公開發(fā)表的作品內(nèi)容。對本論文所涉及的研究工作做出貢獻(xiàn)的其他個人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本設(shè)計創(chuàng)作聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān)。</p><p><b>　　作者簽名：</b></p><p>　　年 月 日</p>&

4、lt;p>　　本人聲明：該畢業(yè)設(shè)計是本人指導(dǎo)學(xué)生完成的研究成果，已經(jīng)審閱過畢業(yè)設(shè)計的全部內(nèi)容，保證題目、關(guān)鍵詞、摘要部分中英文內(nèi)容的一致性和準(zhǔn)確性，并通過一定檢測手段保證畢業(yè)設(shè)計未發(fā)現(xiàn)違背學(xué)術(shù)道德誠信的不端行為。</p><p><b>　　指導(dǎo)教師簽名：</b></p><p>　　年 月 日</p><p>　　不等式證

5、明的若干種方法</p><p><b>　　高銀梅</b></p><p>　?。瘜帋煼秾W(xué)院 數(shù)學(xué)系 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 2009級）</p><p>　　摘要：無論在初等數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)中，不等式都是十分重要的內(nèi)容。而不等式的證明則是不等式知識的重要組成部分。在本文中，我總結(jié)了一些數(shù)學(xué)中證明不等式的方法。在初等數(shù)學(xué)不等式的證明中經(jīng)常用到的有比較

6、法、綜合法、分析法、換元法、增量代換法、反證法、放縮發(fā)、構(gòu)造法、數(shù)學(xué)歸納法、判別式法等等。在高等數(shù)學(xué)不等式的證明中經(jīng)常利用中值定理、泰勒公式、拉格朗日函數(shù)以及一些著名不等式，如：柯西不等式、詹森不等式、施瓦茨不等式、赫爾德不等式等等。從而使不等式的證明方法更加完善，有利于我們進(jìn)一步探討和研究不等式的證明。通過學(xué)習(xí)這些證明方法，可以幫助我們解決一些實(shí)際問題，培養(yǎng)邏輯推理論證能力和抽象思維的能力以及養(yǎng)成勤于思考、善于思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。&l

7、t;/p><p>　　關(guān)鍵詞：不等式，證明方法，常用，特殊 </p><p>　　Abstract: both in elementary mathematics and higher mathematics, the inequality is very important content. Inequality and the proof is an important part of

8、knowledge. In this article, I summarized some mathematical proof of the method of inequality. Inequality in elementary mathematics analyst is often used with comparison method, synthesis, analysis, change element method,

9、 incremental substitution method, the reduction to absurdity, zooming, construction method, mathematical induction, discrimi</p><p>　　Keywords: inequality, the proof method, commonly used, special目錄</p>

10、;<p><b>　　1 前言6</b></p><p>　　2 利用常用方法證明不等式7</p><p><b>　　2.1 比較法7</b></p><p><b>　　2.2綜合法7</b></p><p><b>　　2.3分析法8

11、</b></p><p><b>　　2.4換元法8</b></p><p>　　2.5增量代換法8</p><p><b>　　2.6反證法9</b></p><p><b>　　2.7放縮法9</b></p><p><b&

12、gt;　　2.8構(gòu)造法10</b></p><p>　　2.9數(shù)學(xué)歸納法10</p><p>　　2.10判別式法。11</p><p>　　2.11導(dǎo)數(shù)法11</p><p>　　2.12利用冪級數(shù)展開式證明不等式12</p><p>　　2.13向量法12</p><p&

13、gt;　　2.14利用定積分性質(zhì)證明不等式13</p><p>　　3 利用函數(shù)的性質(zhì)證明不等式14</p><p>　　4 利用柯西不等式證明15</p><p>　　5 利用均值不等式證明16</p><p>　　6 利用施瓦茨不等式證明17</p><p>　　7 利用中值定理法證明不等式1

14、8</p><p>　　7.1 拉格朗日中值定理：18</p><p>　　7.2積分第一中值定理：18</p><p>　　8 利用詹森不等式證明19</p><p><b>　　致謝20</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)21</b></p&

15、gt;<p><b>　　1 前言</b></p><p>　　不等式的證明問題，由于題型多變、方法多樣、技巧性強(qiáng)，加上無固定的規(guī)律可循，往往不是用一種方法就能解決的，它是多種方法的靈活運(yùn)用，也是各種思想方法的集中體現(xiàn)，因此難度較大，所以怎樣區(qū)分題目類型，弄清每種證明方法所適用的題型范圍，是學(xué)生掌握不等式證明的關(guān)鍵所在。解決這個問題的途徑在于熟練掌握不等式的性質(zhì)和一些基本的不

16、等式，靈活運(yùn)用常用和特殊的證明方法。不等式是數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學(xué)分支的重要工具，在數(shù)學(xué)中有重要的地位，也是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在高考和競賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強(qiáng)，它不僅能夠檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個重要標(biāo)志。</p><p>　　2 利用常用方法證明不等式</p><p><b>　　2.1 比較

17、法</b></p><p>　　所謂比較法，就是通過兩個實(shí)數(shù)與的差或商的符號（范圍）確定與大小關(guān)系的方法，有做差比較和作商比較兩種基本途徑。即通過“，，(為作差法)或，，(為作商法)?！眮泶_定，大小關(guān)系的方法。</p><p>　　例 已知：，，求證：.</p><p>　　分析：兩個多項(xiàng)式的大小比較可用作差法</p><p>&

18、lt;b>　　證明 ，</b></p><p><b>　　故得 .</b></p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p><b>　　例 設(shè)，求證：.</b></p><p>　　分析：對于含有冪指數(shù)類的用作商法</

19、p><p>　　證明 因?yàn)?，所以 ，.</p><p>　　而 ，故 ． </p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p><b>　　2.2綜合法</b></p><p>　　綜合法就是從已知式證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推出欲證的不

20、等式，通過一系列已確定的命題（包含不等式的性質(zhì)，已掌握的重要不等式）逐步推演，從而得到所要求證的不等式成立，這種方法叫做綜合法。</p><p>　　例 已知且 求證： ．</p><p><b>　　證： 所以</b></p><p><b>　　兩邊同時乘 得</b></p><p>

21、;<b>　　即．</b></p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p><b>　　2.3分析法</b></p><p>　　從求證的不等式出發(fā)分析不等式成立的條件，把證明這個不等式轉(zhuǎn)化為判定使這個不等式成立的條件是否具備的問題。如果能夠肯定這些條件都以具備，那么就可以判定這

22、個不等式成立，這種證明方法叫做分析法。</p><p><b>　　例 求證： ．</b></p><p><b>　　證即：因?yàn)?lt;/b></p><p>　　因?yàn)闉榱俗C明原不等式成立，只需證明</p><p>　　即 即 即 </p><p><b>

23、　　故原不等式成立。</b></p><p><b>　　2.4換元法</b></p><p>　　換元法實(shí)質(zhì)上就是變量代換法，即對所證不等式的題設(shè)和結(jié)論中的字母作適當(dāng)?shù)淖儞Q，以達(dá)到化難為易的目的。</p><p>　　例 －1≤－x≤．</p><p>　　證明：∵1－x≥0，∴－1≤x≤1，故可設(shè)x

24、= cos，其中0≤≤．</p><p>　　則－x =－cos= sin－cos=sin(－)，∵－≤－≤，∴－1≤sin(－)≤，即－1≤－x≤．</p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p><b>　　2.5增量代換法</b></p><p>　　在對稱式(任意互換兩

25、個字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如a＞b＞c)的不等式，常用增量進(jìn)行代換，代換的目的是減少變量的個數(shù)，使要證的結(jié)論更清晰，思路更直觀，這樣可以使問題化難為易，化繁為簡。</p><p>　　例 已知a，bR，且a＋b = 1，求證：(a＋2)＋(b＋2)≥．</p><p>　　證明：∵a，bR，且a＋b = 1，∴設(shè)a =＋t，b=－t， (tR)</p><p

26、>　　則(a＋2)＋(b＋2)= (＋t＋2)＋(－t＋2)= (t＋)＋(t－)= 2t＋≥．</p><p>　　∴(a＋2)＋(b＋2)≥．</p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p><b>　　2.6反證法</b></p><p>　　反證法的原理是：否定之

27、否定等于肯定。反證法的思路是“假設(shè)矛盾肯定”，采用反證法時，應(yīng)從與結(jié)論相反的假設(shè)出發(fā)，推出矛盾的過程中，每一步推理必須是正確的。</p><p>　　例 已知 求證 ： ．</p><p><b>　　證：假設(shè)成立則．</b></p><p><b>　　即?。?lt;/b></p><p><

28、;b>　　．</b></p><p><b>　?。?．</b></p><p>　　由此得，這是不可能的，得出矛盾。 ．</p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p><b>　　2.7放縮法</b></p>&l

29、t;p>　　放縮法是證明不等式的一種特殊的方法。從不等式的一邊入手，逐漸放大或縮小不等式，直到不等式的另一邊，這種方法叫做放縮法。</p><p>　　例 求證： </p><p><b>　　證：有．</b></p><p><b>　　．</b></p><p><b>

30、　　所以 ．</b></p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p><b>　　2.8構(gòu)造法</b></p><p>　　構(gòu)造法是通過類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化，合理的構(gòu)造函數(shù)模型，從而使問題迎刃而解。過程簡單，一目了然。</p><p>　　例 已知三角形ABC的三邊長

31、是a,b,c,且m為正數(shù)，求證：.</p><p>　　證明：設(shè)顯然函數(shù)在是增函數(shù)。</p><p>　　a,b,c是三角形ABC的三邊長.</p><p><b>　　，，即，</b></p><p><b>　　又．</b></p><p><b>　?。?lt

32、;/b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p><b>　　2.9數(shù)學(xué)歸納法</b></p><p>　　證明有關(guān)自然數(shù)的不等式，可以采用數(shù)學(xué)歸納法來證明。</p><p>　

33、　驗(yàn)證取第一個數(shù)值時，不等式成立，</p><p>　　2.假設(shè)取某一自然數(shù)時，不等式成立。（歸納假設(shè)），由此</p><p>　　推演出取時，此不等式成立。</p><p>　　例 求證： </p><p>　　證：（1）當(dāng)時，左邊=1，右邊=2不等式顯然成立。</p><p>　?。?）假設(shè)時，．則時，

34、 </p><p><b>　　左邊 =．</b></p><p>　　=． 時不等式也成立.</p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p><b>　　2.10判別式法。</b></p><p>　　判別式法是根據(jù)已知的或

35、構(gòu)造出來的一元二次方程，一元二次不等式，二次函數(shù)的根，函數(shù)解集的性質(zhì)等特征來確定判別式所應(yīng)滿足的不等式，從而推出欲證的不等式的方程。</p><p>　　例 設(shè) ， 求證：．</p><p><b>　　證：．</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　因?yàn)?的系數(shù)為

36、 ， ． </p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p><b>　　2.11導(dǎo)數(shù)法</b></p><p>　　當(dāng)屬于某個區(qū)間，有，則單調(diào)遞增；若，則單調(diào)遞減.推廣之，若證，只須證及即可.</p><p>　　例 證明不等 ，</p><p

37、>　　證明 設(shè)則故當(dāng)時，遞增；當(dāng)遞減.</p><p><b>　　則當(dāng)時， </b></p><p><b>　　從而證得 </b></p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p>　　2.12利用冪級數(shù)展開式證明不等式</p>

38、<p><b>　　例 當(dāng)，證明.</b></p><p>　　證明：因，分別可寫成冪級數(shù)展開式：</p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=,;</b></p><p><b>　　=,.</b></p&

39、gt;<p>　　則要證不等式左邊的一般項(xiàng)為，右邊的一般項(xiàng)為，因此當(dāng)，，有.所以，.</p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p><b>　　2.13向量法</b></p><p>　　利用向量的數(shù)量積及不等式關(guān)系</p><p>　　例 已知a、b、c都是

40、正實(shí)數(shù)，求證．</p><p><b>　　證明：設(shè)，，則</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　．</b></p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p>　　2.14

41、利用定積分性質(zhì)證明不等式</p><p>　　對可積函數(shù)，，若，則．</p><p><b>　　例 證明：．</b></p><p>　　證明 當(dāng)時，，，則，因在（1,2）上均為連續(xù)函數(shù)。則在（1,2）均可導(dǎo)，由定積分性質(zhì)可知</p><p><b>　　．</b></p>&l

42、t;p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p>　　3 利用函數(shù)的性質(zhì)證明不等式</p><p>　　設(shè)，和為增函數(shù)，滿足，，證明：，利用復(fù)合函數(shù)及其單調(diào)性質(zhì)。</p><p>　　證明：因?qū)τ谌我獾?，有，且，和均為增函?shù)，所以有?。?lt;/p><p><b>　　即．</b>&

43、lt;/p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p>　　4 利用柯西不等式證明</p><p>　　設(shè)均為實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時成立.</p><p>　　例 15 若，求證．</p><p>　　證明：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝</p><

44、;p><b>　　當(dāng)時等號成立。</b></p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p>　　5 利用均值不等式證明</p><p>　　均值不等式公式：①，（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”）；</p><p>　?、冢ó?dāng)且僅當(dāng)時取“”）。</p><p>

45、　　均值不等式是高考中一個重要知識點(diǎn)，其變形多，約束條件“苛刻“（一正、二定，三相等）。</p><p>　　例 已知a，b，c為不全相等的正數(shù)，求證： a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc. </p><p>　　分析：觀察要證不等式的兩端都是關(guān)于a，b，c的3次多項(xiàng)式，左側(cè)6項(xiàng)，右側(cè)6項(xiàng)，左和右積，具備均值不等式的特征。 </p>&l

46、t;p>　　證明: ∵ b2+c2≥2bc, a>0, ∴ a(b2+c2)≥2abc </p><p>　　同理，b(c2+a2)≥2bac, c(a2+b2)≥2cab, </p><p>　　又 因?yàn)閍，b，c不全相等， </p><p>　　所以上述三個不等式中等號不能同時成立，</p><p><b>　　因此

47、　．</b></p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p><b>　　例 若，求證：．</b></p><p><b>　　證明：</b></p><p><b>　?。郑?lt;/b></p><p

48、><b>　?。?lt;/b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．</p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p>　　6 利用施瓦茨不等式證明</p><p>　　施瓦茨不等式：若和在上可積，則</p><p><b>　　．&l

49、t;/b></p><p>　　例 證明：若在上可積，則．</p><p>　　證明：根據(jù)施瓦茨不等式有：</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　所以．</b></p><p><b>　　故原不等式成立。</b>&

50、lt;/p><p>　　7 利用中值定理法證明不等式</p><p>　　7.1 拉格朗日中值定理</p><p>　　若函數(shù)滿足如下條件：</p><p>　　在閉區(qū)間上連續(xù)（2）在開區(qū)間（）內(nèi)可導(dǎo)，則在（）內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得．</p><p><b>　　例 證明：，其中．</b></

51、p><p>　　證明：設(shè)，顯然在上滿足拉格朗日中值定理的條件，且，故，使．</p><p><b>　　即而，故有．</b></p><p><b>　　即．</b></p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p>　　7.2積分第一中

52、值定理</p><p>　　若在上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)，使得</p><p><b>　　．</b></p><p><b>　　例 證明：．</b></p><p>　　證明：在上，，且函數(shù)不恒等于1和，所以有</p><p><b>　　．</b>

53、</p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p>　　8 利用詹森不等式證明</p><p>　　詹森不等式：若為上凸函數(shù)，則對任意，有．</p><p>　　例 證明：不等式,其中，，均為正數(shù)</p><p>　　證明：設(shè)，，由的一階和二階導(dǎo)數(shù)，可見，在時為嚴(yán)格凸函數(shù)，

54、依詹森不等式有：</p><p>　?。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?lt;/p><p><b>　　從而　　?。?lt;/b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　即，又因，再兩邊同乘以次方得</p><p><b>　?。?lt;

55、/b></p><p><b>　　所以．</b></p><p><b>　　故原不等式成立。</b></p><p>　　總之，不等式的證明方法有很多，我們應(yīng)該在教學(xué)和學(xué)習(xí)中努力將這些好的方法發(fā)揚(yáng)光大，使我們的教學(xué)和學(xué)習(xí)更加輕松。</p><p><b>　　致謝</b&g

56、t;</p><p>　　踉踉蹌蹌地忙碌了兩個多月，我的畢業(yè)設(shè)計課題將告一段落了。我從中明白了做每一件事，不必過于在乎最終的結(jié)果，可貴的是在做事過程中的收獲。</p><p>　　畢業(yè)設(shè)計，也許是我大學(xué)生涯交上的最后一個作業(yè)。我想借此機(jī)會感謝四年來給我?guī)椭乃欣蠋?、同學(xué)、家人、親戚，和你們之間的友誼是我人生的財富，是我生命中不可或缺的一部分。我的畢業(yè)指導(dǎo)老師莎仁格日勒老師，她以一位長輩的

57、風(fēng)范來容諒我的無知和沖動，給我不厭其煩的指導(dǎo)。在此，要特別向她道聲謝謝。</p><p>　　大學(xué)生活即將過去，但我卻能無悔地說：“我曾經(jīng)來過?！贝髮W(xué)四年，但它給我的影響卻不能用時間來衡量，這四年來，我經(jīng)歷過的所有事，結(jié)交的所有人，都將是我以后生活中回味一輩子的寶貴精神財富，也是日后我為人處事的指南針。就要離開學(xué)校，走上工作崗位了，這將是我人生歷程的又一個起點(diǎn)，在這里深深祝福大學(xué)里跟我風(fēng)雨同舟的朋友們，祝你們幸福

58、。也祝愿學(xué)校的每一位師長都幸?？鞓贰?lt;/p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 段志強(qiáng). 一個不等式的妙用[J]. 數(shù)學(xué)通訊, 2004,(17).</p><p>　　[2] 佟成軍. 一個不等式的加強(qiáng)及證明[J]. 數(shù)學(xué)通訊, 2006,(07).</p><p>　　[3] 曾峰.

59、一個不等式的證明及應(yīng)用[J]. 中學(xué)課程輔導(dǎo)(初二版), 2005,(02). </p><p>　　[4] 黃長風(fēng). 聯(lián)想證明不等式[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究, 2005,(03). </p><p>　　[5] 李歆. 不等式的幾個推論及應(yīng)用[J]. 中學(xué)生數(shù)學(xué), 2005,(05). </p><p>　　[6] 方輝. 淺談哥西不等式的應(yīng)用[J]. 黃山學(xué)院學(xué)報