構(gòu)造函數(shù)法證明導(dǎo)數(shù)不等式的八種方法

1、第1頁共8頁構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的八種方法1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)。2、解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。以下介紹構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的八種方法：一、移、移項(xiàng)法構(gòu)造函造函數(shù)【例1】1】已知函數(shù)，求證：當(dāng)時(shí)，恒有xxx

2、f???)1ln()(1??xxxx?????)1ln(111分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數(shù)證明，左邊構(gòu)造函數(shù)，從其導(dǎo)數(shù)入手即可證明。111)1ln()(?????xxxg【解】1111)(???????xxxxf∴當(dāng)時(shí)，，即在上為增函數(shù)01???x0)(??xf)(xf)01(??x當(dāng)時(shí)，，即在上為減函數(shù)0?x0)(??xf)(xf)0(???x故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間()fx)01(?)0(??于是函數(shù)在上

3、的最大值為，因此，當(dāng)時(shí)，，()fx)1(???0)0()(max??fxf1??x0)0()(??fxf即∴（右面得證），0)1ln(???xxxx??)1ln(現(xiàn)證左面，令，111)1ln()(?????xxxg22)1()1(111)(???????xxxxxg則當(dāng)，0)()0(0)()01(?????????xgxxgx時(shí)當(dāng)時(shí)即在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，)(xg)01(??x)0(???x故函數(shù)在上的最小值為，)(xg)1(??

4、?0)0()(min??gxg∴當(dāng)時(shí)，，即1??x0)0()(??gxg0111)1ln(?????xx∴，綜上可知，當(dāng)111)1ln(????xxxxxx???????)1ln(1111有時(shí)【警示警示啟迪】如果是函數(shù)在區(qū)間上的最大（?。┲担瑒t有（或），那么要()fa()fx()fx?()fa()fx?()fa證不等式，只要求函數(shù)的最大值不超過就可得證02、作差法、作差法構(gòu)造函造函數(shù)證數(shù)證明【例2】已知函數(shù)求證：在區(qū)間上，函數(shù)的圖象在函

5、數(shù)的圖象的下.ln21)(2xxxf??)1(??)(xf332)(xxg?方；方；分析：函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方問題，)(xf)(xg)()(xgxf??不等式即，只需證明在區(qū)間上，恒有成立，設(shè)，3232ln21xxx??)1(??3232ln21xxx??)()()(xfxgxF??第3頁共8頁則x0，從而在R上為增函數(shù)。?)(xF)(xf?)(xf)(xF∴即ab?ba?)()(bFaF?)(af)(bf【警示警示啟迪】由條件

6、移項(xiàng)后，容易想到是一個(gè)積的導(dǎo)數(shù)，從而可以構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)即)()(xfxfx??)()(xxfxF?可完成證明。若題目中的條件改為，則移項(xiàng)后，要想到是一個(gè)商的導(dǎo)數(shù)的)()(xfxfx??)()(xfxfx??分子，平時(shí)解題多注意總結(jié)。5、主元法、主元法構(gòu)造函造函數(shù)例（全國）已知函數(shù)xxxgxxxfln)()1ln()(????(1)求函數(shù)的最大值；)(xf(2)設(shè)證明：.ba??02ln)()2(2)()(0abbagbgag??????

7、分析：對于（II）絕大部分的學(xué)生都會望而生畏.學(xué)生的盲點(diǎn)也主要就在對所給函數(shù)用不上.如果能挖掘一下所給函數(shù)與所證不等式間的聯(lián)系，想一想大小關(guān)系又與函數(shù)的單調(diào)性密切相關(guān)，由此就可過渡到根據(jù)所要證的不等式構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，借助單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，以期達(dá)到證明不等式的目的.證明如下：證明：對求導(dǎo)則.xxxgln)(?1ln)(??xxg在中以b為主變元構(gòu)造函數(shù))2(2)()(bagbgag???設(shè)則.)2(2)()

8、()(xagxgagxF????2lnln)]2([2)()(xaxxagxgxF??????當(dāng)時(shí)，因此在內(nèi)為減函數(shù).ax??00)(?xF)(xF)0(a當(dāng)時(shí)因此在上為增函數(shù).ax?0)(?xF)(xF)(??a從而當(dāng)時(shí)有極小值.ax?)(xF)(aF因?yàn)樗约?)(abaF??0)(?bF.0)2(2)()(????bagbgag又設(shè).則.2ln)()()(axxFxG???)ln(ln2ln2lnln)(xaxxaxxG?????