數(shù)學與應用數(shù)學畢業(yè)論文-特殊的積分不等式及其在高等數(shù)學中的應用

1、<p>　　特殊的積分不等式及其在高等數(shù)學中的應用</p><p><b>　　XXX</b></p><p>　　(數(shù)學科學學院，2006(4)班，06211420號)</p><p>　　[摘 要]積分不等式在高等數(shù)學中有著廣泛的應用，并已經(jīng)得到了很多深刻的研究結果，本文分別針對Putnam積分不等式, Chebyshev 積分不

2、等式,Kantorovich積分不等式和Gronwall積分不等式這四類積分不等式展開討論，觀察它們的證明及其推論以及它們在高等數(shù)學中的應用，力圖進一步明確積分不等式與高等數(shù)學的密切聯(lián)系，為高等數(shù)學的教學與研究提供新的素材與方法.</p><p>　　[關鍵詞]積分不等式 高等數(shù)學 應用</p><p>　　積分不等式在高等數(shù)學中有著重要的應用，因而得到大量的研究，并且取得了許多有價值

3、的研究成果，但是以前對不等式的研究多局限于幾種常見的積分不等式，而且對積分不等式在高等數(shù)學中的應用的研究較少，針對這些情況，本文著重對Putnam積分不等式、Chebyshev 積分不等式、Kantorovich積分不等式和Gronwall積分不等式展開討論，并對其在高等數(shù)學中的應用展開更為深入細致的研究,以期為高等數(shù)學教學與研究提供新的素材和方法.</p><p>　　一、Putnam不等式</p>

4、<p>　?。ㄒ唬㏄utnam不等式的證明及其推論

5、 定理1 設是上的可微函數(shù)且當時，則有</p><p>　　證 令</p><p><b>　　=-</b></p><p>　　因為,故我們只要證在（0，1）內，事實上</p><p>　　由微分中值定由題設，故</p><p&g

6、t;<b>　　因為要證明</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　從而要證明</p><p><b>　　，</b></p><p>　　記</p><p><b

7、>　　那么</b></p><p>　　因此因此我們得到從而命題成立，證畢. </p><p>　　我們可以把這個命題作如下推廣. </p><p>　　推論1 設是上的可微函數(shù),且當時則</p><p>　　其中為常數(shù). </p><

8、;p><b>　　證 令</b></p><p><b>　　有</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　故我們只要證明</p><p><b>　　，</b></p><p>　

9、　而這等價于，由上面的定理1知這是成立的，故推論得證.注1 如果，那么命題中的不等式取反號，這可以從上面的推論1證明中看出.</p><p>　　（二）Putnam不等式在高等數(shù)學中的應用例1 證明 </p><p><b>　　證令</b></p><p>　　, 可利用Putnam不等式得， <

10、/p><p>　　不等式右邊整理后可得</p><p>　　因此</p><p><b>　　例2 證明 .</b></p><p>　　證令</p><p>　　因為是上的可微函數(shù)，且當時，，，</p><p>　　則可利用Put

11、nam不等式得</p><p>　　不等式右邊整理后得 </p><p><b>　　則</b></p><p>　　不等式兩邊同乘以8得</p><p>　　注2 Putnam不等式常用于證明高等數(shù)學中滿足下列條件的積分不等式</p><p>　　（1）被積分的函數(shù)

12、在上是可微的；</p><p><b>　?。?）當時，有且.</b></p><p>　　二、Chebyshev不等式</p><p>　?。ㄒ唬〤hebyshev不等式的證明 定理2設在上是連續(xù)函數(shù)，并設是正的，而</p><p

13、>　　在上式單調增加的，則有下列的Chebyshev不等式</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　成立.</b></p><p>　　證任取由單調性，有</p><p>　　對積分得</p><p

14、><b>　　，</b></p><p><b>　　將不等式展開</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　兩邊同乘并對積分得</b></p><p><b>　　將變量換成表示得</b>&

15、lt;/p><p><b>　　證畢.</b></p><p>　　注3 如果都是單調減少的，上面的不等式（1）要變號.</p><p>　?。ǘ〤hebyshev不等式在高等數(shù)學中的應用</p><p>　　例3設在上連續(xù)，單調減少，</p><p><b>　　證取</b&

16、gt;</p><p>　　即</p><p><b>　　即</b></p><p>　　注4 若取由于單調性相反，利用不等式時不等號方面要改變符號.</p><p><b>　　例4 證明</b></p><p>　　證由于在上單調性相同，故由

17、不等式得</p><p><b>　　即</b></p><p><b>　?。?） </b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　（3）</b></p><p>　　聯(lián)立(2)(3)即得

18、</p><p>　　注5 Chebyshev不等式在證明高等數(shù)學中的積分不等式問題時要注意下列三點：</p><p>　　(1) 若積分不等式中已含有形如的式子，則要在給定的區(qū)間上是連續(xù)函數(shù),是正的且在給定的區(qū)間上單調性相同，則可利用Chebyshev不等式進行證明;</p><p>　　(2) 若積分不等式中未含有形如的式子，有的積分不等</p&g

19、t;<p>　　可通過人為的構造出含有該形式的式子，使其滿足（I）中的條件，則也可利用Chebyshev不等式進行證明;</p><p>　　(3) 對于形如的式子，注意在給定區(qū)間上同時</p><p>　　調增加和同時單調減少兩種情況下，利用Chebyshev不等式進行證明時不等號的改變情況.</p><p>　　三、Kantorovich不等式

20、</p><p>　?。ㄒ唬㎏antorovich不等式的證明及其推論</p><p>　　定理3 設在上是一個正值的連續(xù)函數(shù)，記，那么有 (4)</p><p>　　證 由題設，兩邊對積分得 </p><p>　　而由算術－

21、幾何平均值不等式得</p><p>　　從而得</p><p>　　上式兩邊平方并同除以，我們就得到（4）式成立,證畢.</p><p>　　推論2 在中插入個點，設為個實數(shù)</p><p>　　且滿足，令</p><p><b>　　,</b></p>

22、<p><b>　　則</b></p><p><b>　　記則定理變?yōu)?lt;/b></p><p>　　注6 推論2說明所建立的不等式被稱為Kantorovich不等式的一種積分形式.</p><p>　?。ǘ㎏antorovich不等式在高等數(shù)學中的應用</p><p&

23、gt;<b>　　例5 證明 </b></p><p><b>　　證 等價于</b></p><p>　　令</p><p><b>　　則</b></p><p>　　因為是上的一個正值的連續(xù)函數(shù)，則可利用Kantorovich不等式得<

24、;/p><p>　　因為</p><p>　　故</p><p>　　即</p><p><b>　　例6 證明 </b></p><p><b>　　證等價于</b></p>

25、<p>　　令</p><p><b>　　則</b></p><p>　　因為是上的一個正值的連續(xù)函數(shù)，故可利用Kantorovich不等式得</p><p>　　因為</p><p><b>　　故</b&

26、gt;</p><p>　　即 </p><p><b>　　證畢.</b></p><p>　　注7 Kantorovich不等式常用于證明滿足下列條件的積分不等式</p><p>　　(1) 被積分函數(shù)在某個區(qū)間上是連續(xù)的正函數(shù)；</p><p>　　(2)函數(shù)在

27、給定區(qū)間內存在最大值和最小值.</p><p>　　四、Gronwall不等式的證明及其推論</p><p>　?。ㄒ唬〨ronwall不等式的證明及其推論</p><p>　　定理4設與為區(qū)間上的連續(xù)非負實數(shù)值函數(shù),為非負常數(shù)，對有</p><p><b>　　則當時有</b></p><p>

28、;　　證 （1）當因為非負連續(xù)實數(shù)值函數(shù)，而</p><p>　　兩邊同時在到上積分得</p><p>　　即</p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　(2)當

29、時，此時</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　而，為非負連續(xù)實數(shù)值函數(shù)，則,有界,不妨設</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　

30、.</b></p><p>　　只有時上式恒成立.綜上所述，定理成立.</p><p>　　推論3設與是區(qū)間上的非負實數(shù)值函數(shù)，常數(shù)和非負，若對有</p><p><b>　　則當時</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　?。ǘ〨r

31、onwall不等式在高等數(shù)學中的應用</p><p>　　例7如果在：，上連續(xù)且關于滿足Lipschitz條件，方程有在區(qū)間上的連續(xù)解且滿足初始條件：，這里.</p><p>　　證明：滿足這樣初始條件的解是唯一的.</p><p>　　證因為所給的微分方程等價于積分方程</p><p>　　設滿足初始條件的解還有則</p

32、><p>　　（為Lipschitz常數(shù)），</p><p><b>　　由定理4（）知</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　即證明了方程解的唯一性.</p><

33、p>　　例8設在全空間連續(xù)，對滿足局部Lipschitz條件且，為常數(shù).則對Cauchy初值問題</p><p><b>　　的解的區(qū)間均為.</b></p><p>　　證只需證明在任一有限區(qū)間上，Cauchy初值問題的解都是有界的即可.假設存在有限數(shù)使得解在上無界，</p><p>　　當時有<

34、/p><p><b>　　由定理4得</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　這與在上無界矛盾，因此假設不成立，所以解向右對可延拓至,同時可證向左對可延拓至.</p><p>　　注8 Gronwall不等式適用于解決高等數(shù)學中有關求證解的唯一性和解的區(qū)間方面的問題.<

35、;/p><p>　　本文主要討論了Putnam積分不等式, Chebyshev 積分不等式,Kantorovich積分不等式和Gronwall積分不等式及其在高等數(shù)學中的應用，之所以選擇這四種特殊的積分不等式是因為這四種特殊的積分不等式與高等數(shù)學的聯(lián)系比較密切，而且這四種特殊的積分不等式在不等式理論中有極重要的應用，探討這些重要不等式的性質及其應用對于深刻理解積分理論和不等式理論有很好的借鑒作用，另外還有幾種積分不等

36、式與高等數(shù)學的聯(lián)系比較密切，限于篇幅暫不討論.</p><p><b>　　[參考文獻]</b></p><p>　　[1]魏章志,梅宇.不等式及其應用.宿州師專學報,2003.1.65-66</p><p>　　[2]汪明瑾.不等式的積分形式.高等數(shù)學研究,2005.1.18-21</p><p>　　[3]武璽,林明

37、花.積分性不等式妙用.高等數(shù)學研究,2006.1.46-48</p><p>　　[4]薛昌興.一個積分不等式及其應用.甘肅教育學院報,2003.10.1-4</p><p>　　[5]張新燕.幾個常見的積分不等式.數(shù)學學習與研究（科研版）,2009.3.85</p><p>　　[6]王成新,王梅.不等式的推廣及應用.泰山學院學報,2003.5.17-20<

38、/p><p>　　[7]喬希民.積分不等式的加強式及應用.寶雞文理學院學報,2004.12.266-267</p><p>　　Special Integration Inequalities and Its Applications</p><p>　　in Higher Mathematics</p><p>　　Xiao Jingjing&

39、lt;/p><p>　　[Abstract] Integration inequalities have been used widely, and there are many profound researches on them. This paper respectively for Putnam integration inequalities, Chebyshev integration inequali

40、ties, Kantorovich integration inequalities Gronwall integration inequalities. The four such points inequalities extensive discussion, Observe them and the corollary and in the application of the mathematical.To further c